(上海专用)新高考数学一轮复习讲练测专题14 复数(练习)（2份，原卷版+解析版）

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1．（2022·上海·华师大二附中高三开学考试）已知（其中为虚数单位），则___________.
【答案】
【分析】先求出，再由模长公式计算即可．
【解析】，
故答案为：
2．（2022·上海市七宝中学模拟预测）若复数z满足：，则______.
【答案】
【分析】设，根据题设等量关系及复数的乘除运算可得求a、b，写出复数.
【解析】设，原式化为，则解得
∴.
故答案为：
3．（2022·上海市晋元高级中学高一期末）已知为虚数单位，则___________.
【答案】##
【分析】根据除法运算先化简，然后根据周期性即可求解.
【解析】，且，
故
故答案为：
4．（2022·上海市嘉定区第二中学高一期末）复数的三角形式的辐角主值为___________.
【答案】##
【分析】直接由辐角主值的概念求解即可.
【解析】由辐角主值的概念知，的辐角主值为.
故答案为：.
5．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期末）关于的实系数一元二次方程的一根为，则__________．
【答案】4
【分析】由实系数一元二次方程的虚数根成对出现得另一根为，再由根与系数关系得结论．
【解析】由题意方程另一根为，
所以．
故答案为：4．
6．（2022·上海市延安中学高一阶段练习）已知复平面上平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为、、，则向量所对应的复数是______．
【答案】##
【分析】由为平行四边形，可得，即可求出，进而可得出答案.
【解析】∵四边形为平行四边形， A、B、C，
∴．
而，，
∴，
∴向量所对应的复数为.
7．（2022·上海中学高一期末）已知为虚数，且是实数，也是实数，则的值为__________．
【答案】1
【分析】设，根据已知条件可得且，故可求，从而可求.
【解析】设，因为为虚数，故，
又，
因为，故为实数，
所以，故，
而也为实数，同理可得为实数，
故，，
故，所以，
故，
若，则，
同理若，则，
故答案为：1.
8．（2022·上海市建平中学高三开学考试）已知集合，，若，则b的取值范围是______
【答案】
【分析】令，则可得集合A表示复平面内直线上的点，集合B表示复平面内单位圆上的点，再由可得或，从而可求得结果.
【解析】令，
由，得，
化简得，
所以集合A表示复平面内直线上的点，
集合B表示复平面内单位圆上的点，
因为，
所以或，
解得或，
所以b的取值范围为，
故答案为：
9．（2022·上海市松江二中高一期末）已知方程的两个虚根满足，则的值是___________.
【答案】
【分析】由题意设，，利用根与系数的关系结合，求得与的值，则可求．
【解析】方程程的两个虚根为、，
可设，．
，，
因为，，
联立解得：，．
．
故答案为：．
10．（2022·上海奉贤区致远高级中学高二开学考试）复数满足：，，，则______．
【答案】
【分析】根据给定条件，结合复数模公式计算作答.
【解析】设复数，，，
由得，由得，由得，因此，
所以
故答案为：5
11．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期末）已知z是虚数，是实数，是虚数z的共轭复数，则的最小值是__________．
【答案】.
【分析】设，，且，根据是实数，得到，表示出，结合二次函数的性质求出其最小值即可．
【解析】解：设，，且，
则，
因为是实数，所以，
因为，所以，所以，则，
因为，所以，所以，
所以，
因为，所以，，
则，当时，取到最值.
故答案为：．
12．（2022·上海市浦东复旦附中分校高二阶段练习）已知为虚数单位，则取到最小值时，的值为___________．
【答案】##
【分析】结合复数的几何意义和可知其表示以为圆心，1为半径的圆，而表示点与圆上点的距离，利用圆的几何性质即可求出结果.
【解析】设复数，
则，
得，表示以为圆心，为半径的圆，
，
表示圆C上的点到定点的距离，
当点、、三点共线时，到的距离最小，
即取到最小值，此时，所以.
故答案为：.
13．（2022·上海市建平中学高一期末）设关于x的实系数一元二次方程的两个虚数根分别为、，若，则＝____．
【答案】2
【分析】由实系数一元二次方程有两虚根得到，，再由等量关系列方程求结果.
【解析】由题设，，且，，
由，即，故.
故答案为：2
14．（2022·上海·高三专题练习）已知为虚数单位，则集合中元素的个数为___________.
【答案】
【分析】根据，分类讨论即可求出．
【解析】当时，；
当时，；
当时，；
当时，，所以集合中元素的个数为．
故答案为：．
15．（2022·上海虹口·二模）已知，，是的内角，若，其中为虚数单位，则等于_________.
【答案】##
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数相等，得到方程组，再根据两角和的正弦、余弦公式计算可得；
【解析】解：因为
即，
所以，
即，，
因为，所以，
所以；
故答案为：
16．（2022·上海·位育中学模拟预测）如果复数满足 ， 那么 的最大值是_____.
【答案】5
【分析】设，，根据题干条件得到，，化简得到，根据求出最大值.
【解析】设，，则，
变形为，两边平方后得到，
两边平方后得到，将代入，
即，故，
则，
当时，取得最大值，最大值为5
故答案为：5
17．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）已知关于的方程：有实数根，若复数满足，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】首先由方程求，再根据模的公式化简为，再根据几何意义求的最小值.
【解析】由条件可知，，
所以，
即，解得：，
设，，，
因为，所以，
即，
所以点在以为圆心，为半径的圆上，所以表示圆上的点到原点的距离，由图可知.
故答案为：
18．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）在复数范围内，下列命题中为真命题的序号是______．
①； ②若，则；
③若，则； ④；
⑤，则； ⑥；
⑦两个共轭复数的差是纯虚数；⑧若，则z必为实数．
【答案】①⑤⑧
【分析】根据复数的四则运算法则以及模长公式逐一判断，判断一个真命题需要证明，判断一个假命题需要举反例.
【解析】①设，则，
所以①正确
②设，
，但与不能比较大小
所以②不正确
③设，，
则
所以③不正确
④设，
则，
所以④不正确
⑤设，
则，
⑥当，时，，
所以⑥不正确
⑦如果两个复数是实数，差值也是实数，
所以⑦不正确
⑧设（，），则，
所以⑧正确
故答案为：①⑤⑧
19．（2022·上海·高三专题练习）已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，若向量，则向量的取值范围为_________
【答案】
【分析】根据已知条件一元二次方程根的特征可知，也是的虚数根，结合已知条件，利用根与系数之间的关系和判别式求出的取值范围，然后再利用向量的模长公式和一元二次函数性质即可求解.
【解析】不妨设，，
因为是实系数一元二次方程的一个虚数根，
所以也是的一个虚数根，
从而 ①，
又因为无实根，
所以 ②，
由①②可得，，
因为，所以，
由一元二次函数性质易知，
当时，有最小值5；当时，；当时，，
故当时，，即，
故向量的取值范围为：.
故答案为：.
20．（2022·上海·高三专题练习）为求方程的虚根，可以把原方程变形为，
由此可得原方程的一个虚根为______
【答案】,中的一个
【解析】解：，
二、单选题
21．（2022·上海·高三专题练习）若复数（a，b为实数）则“”是“复数z为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据当且时，复数z为纯虚数判断即可.
【解析】解：根据复数的概念，当且时，复数z为纯虚数，
反之，当复数z为纯虚数时，且
所以“”是“复数z为纯虚数”的必要不充分条件
故选：B
22．（2022·上海·高三专题练习）复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】设,代入方程得整理得，在结合方程有实数根得，进而分和两种情况求解即可.
【解析】设,因为,所以,
所以将代入方程整理
，
因为关于的方程有实根，
所以
所以当时，解得，此时关于的方程为或，易知方程无实数根，故舍去，所以；
当时，解得，，所以，所以，此时方程有实数根，满足条件.
综上，或.
故这样的复数的个数为个.
故选：C
【点睛】本题考查复数方程有实数根，求对应的复数，考查运算求解能力，分类讨论思想，是中档题.本题解题的关键在于设，进而根据题意得，即，进而求解.
23．（2022·上海·高三专题练习）设、均为实数，关于的方程在复数集上给出下列两个结论：
①存在、，使得该方程仅有两个共轭虚根；
②存在、，使得该方程最多有个互不相等的根．
其中正确的是（ ）．
A．①与②均正确B．①正确，②不正确
C．①不正确，②正确D．①与②均不正确
【答案】A
【解析】取可知①正确；分析根为实根和虚根的两种情况，讨论根的个数即可.
【解析】解：令，为正实数，则存在两个共轭的虚根，如，则存在两个共轭虚根，，故①正确；
若为实数，则方程可看做，只需保证有两个正解即可，此时方程有四个实根；若为虚数，则设， 有，等价于，所以，又为虚数，所以，则有，即，，即最多有两个根，所以方程最多有6个解.
只需即可，如，方程有四个实根，有 两个虚根.故②正确；
故选：A.
【点睛】本题考查复数范围内求解，属于中档题.
易错点睛：（1）根为复数时，设，代入计算，可得；
（2）把握求实根和虚根时，两个方程之间的关系，保证一个最多方程4个根，一个方程最多2个根.
24．（2020·上海·高三专题练习）方程在复数集中的解有
A．2个B．4个C．6个D．8个
【答案】C
【解析】设，代入方程，化简后按或进行分类讨论，由此求得方程的解，进而得出正确选项.
【解析】设，代入方程得，
化简得①，
所以或，
当时，由①得，
即，
对应的复数为.
当时，由①得，解得或，
对应的复数为、.
综上所述，共有个解.
故选：C
【点睛】本小题主要考查方程在复数范围内的解，属于中档题.
25．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期末）以下数都在复数范围内
（1）如果，则，；
（2）；
（3）；
（4）若，则.
其中错误命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据复数相等的定义、复数的模、复数的运算判断．
【解析】由复数相等的定义只有在时，（1）才能正确，因此题中（1）错误；
如，则是实数，，，因此（2）错；
，（3）正确；
若，，，则，但不成立，（4）错．
故选：D．
26．（2022·上海市延安中学高一阶段练习）设复数，在复平面所对应的点为与，则关于点、与以原点为圆心，10为半径的圆的位置关系，描述正确的是（ ）
A．点在圆上，点不在圆上；B．点不在圆上，点在圆上；
C．点、都在圆上；D．点、都不在圆上．
【答案】A
【分析】根据复数的几何意义确定与，再根据与到的距离，结合点与圆位置关系的判定分析即可
【解析】由题意，，，因为到的距离，到的距离，故点在圆上，点不在圆上
故选：A
27．（2022·上海·高三专题练习）已知下列4个命题：
①若复数的模相等，则是共轭复数．
②都是复数，若是虚数，则的共轭复数．
③复数是实数的充要条件是．（是的共轭复数）．
④已知复数（是虚数单位），它们对应的点分别为A，B，C. O为坐标原点．若（），则.
则其中正确命题的个数为.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本道题结合复数的概念和向量的加减法，代入，即可．
【解析】1号可能复数相等，故错误．2号明显正确，因为如果为共轭复数，则相加为实数，不会为虚数．4号,,计算得到b=0,故正确．3号，由题可知，
，建立等式,
建立等式，得到，解得，故错误．故选B．
【点睛】本道题考查了复数的概念和向量坐标运算，代入，即可得出答案．
28．（2015·上海黄浦·高三期末（理））已知i是虚数单位），，定义：，．给出下列命题：
（1）对任意，都有；
（2）若是复数的共轭复数，则恒成立；
（3）若，则；
（4）对任意，结论恒成立，则其中真命题是（ ）．
A．（1）（2）（3）（4）B．（2）（3）（4）C．（2）（4）D．（2）（3）
【答案】C
【分析】参照新定义，对四个选项一一验证：
对于（1）：取特殊值z=0，直接否定结论；
对于（2）：由于共轭复数的定义及直接证明；
对于（3）：取特殊值直接否定结论；
对于（4）：设参照定义,直接证明.
【解析】对于（1）：取特殊值z=0，,故（1）错误；
对于（2）：由于共轭复数的实部相等而虚部互为相反数，所以成立，故（2）正确；
对于（3）：取满足，但是.故（3）错误；
对于（4）：设则；
；
.
由,得恒成立,故(4)正确
故选：C．
三、解答题
29．（2022·上海·华师大二附中高二开学考试）对任意复数，定义．
(1)若，求复数z；
(2)若中的a为常数，则令，对任意b，是否一定有常数使得？若存在，则m是否唯一？请说明理由．
【答案】(1)，
(2)，，m不唯一，理由见解析
【分析】（1）由复数相等的性质分析可得到结果；
（2）利用诱导公式，即可说明理由.
（1）
由，得，
即，由得，进而，
当时，，解得，此时；
当时，，无解，舍去.
所以，，故.
（2）
由题意得，，
因为，，，
所以，
所以令，，则有，同时取不同值时，也有相应的不同值，故不唯一.
30．（2022·上海市川沙中学高一期末）已知复数z＝a＋bi（其中a、），存在实数t，使得成立．
(1)求2a＋b的值；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）直接利用复数相等的条件列式即可证明结论；
（2）写出，用含有的代数式表示，再由配方法求最值得答案．
(1)
（其中、，存在实数，使，
则，可得，消去可得；
(2)
．即
31．（2022·上海市复兴高级中学高一期末）设方程的两根为．
(1)若，求的值；
(2)若方程至少有一根的模为1，求的值．
【答案】(1)
(2)的值为-2，0，1
【分析】（1）利用方程根与系数的关系得到，结合即可得出结论；
（2）讨论两根为实数根和虚数根的情况分别求解的值.
(1)
解：因为方程的两根为，
所以，，
又，则，所以.
故.
(2)
解：①若为实数根，则，即，
设，则，
将代入方程得，即（满足），
将代入方程得，即（满足）；
②若为共轭虚根，则，即，
设，则，
故（满足）.
综上，的值为-2，0，1.
32．（2022·上海师范大学附属中学闵行分校高一期末）已知为虚数，若，且.
(1)求的实部的取值范围；
(2)设，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设复数，根据复数的四则运算化简可得，进而可得的取值范围；
（2）根据复数的四则运算，结合基本不等式可得最小值.
(1)
设，
则，
又，则，
所以，
所以，即，
解得；
(2)
，
由（1）得，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以，
即的最小值为.
33．（2022·上海市嘉定区第二中学高一期末）已知复数，若和互为共轭复数.
(1)求实数a的值；
(2)求满足不等式的实数m的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）由共轭复数的概念列方程组求参数a；
（2）应用复数的四则运算化简，根据模的范围解不等式求m范围.
(1)
由题意，可得.
(2)
由（1）知：，
所以，
则，即，可得或.
34．（2022·上海市嘉定区第一中学高一期末）已知向量，，，在复平面坐标系中，为虚数单位，复数对应的点为．
(1)求；
(2)若复数z满足（为的共轭复数），且复数z对应的点为Z，求点Z与点之间的最小距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算先求出，再利用复数代数形式的除法运算即可得到复数，从而求出其模．
（2）利用复数的几何意义可得曲线是复平面内以圆心，半径为1的圆，再利用点与圆的位置关系求解．
(1)
解： 因为，，，
所以，
所以，
所以，
所以；
(2)
解：由（1）可得，，
曲线，即，
因此曲线是复平面内以圆心，半径为1的圆，
如图，
故与之间的距离为，
所以与之间的最小距离为，
35．（2022·上海·华师大二附中高一阶段练习）设复数数列满足：，且对任意正整数n，均有：.若复数对应复平面的点为，O为坐标原点.
(1)求的面积；
(2)求；
(3)证明：对任意正整数m，均有.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）将化为，即可求得或，从而，结合等比数列的通项公式求得答案；
（2）利用，结合（1）的结论，即可求解；
（3）分m偶数和奇数两种情况讨论，当m为偶数时，设，利用（2）可得，利用等比数列的前n项和公式即可证明，当m为奇数时，设，，利用前面结论可证明.
(1)
由题意可知，故，或，
故，，从而，
由或，结合几何意义知，
故.
(2)
由（1）可得：.
(3)
当m为偶数时，设，利用（2）可得
.
当m为奇数时，设，由（1）､（2）可知，故
.
综上，对任意正整数m，均有.
36．（2022·上海市川沙中学高二开学考试）对于一组复数，，，…，，令，如果存在，使得，那么称是该复数组的“复数”.
（1）设，若是复数组，，的“复数”，求实数的取值范围；
（2）已知，，是否存在复数使得，，均是复数组，，的“复数”？若存在，求出所有的，若不存在，说明理由；
（3）若，复数组，，，…，是否存在“复数”？给出你的结论并说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，；（3）不存在，答案见解析.
【分析】（1），，，由是复数组，，的“复数”，从而，由此能求出结果．
（2）由，，存在复数使得，，均是复数组，，的“复数”，列不等式组求出结果．
（3）严格减．推导出当为奇数时，复数组，，，，存在“复数”，当为偶数时，复数组，，，，不存在“复数”．
【解析】解：（1），，，∵是复数组，，的“复数”，
∴，代入得，化简得，∴．
（2）若，，均是复数组，，的“复数”，则，设，，2，3，则，
相加得，所以，所以．
（3）因为严格递减
当为奇数时，，
，∴，
所以当为奇数时，复数组，，，…，存在“复数”，是复数组，，，…，的“复数”．
为偶数时，，
，
∴，所以当为偶数时，复数组，，，…，不存在“复数”．