新高考数学二轮复习大题题型归纳训练第03讲 分组法和并项法求数列前n项和（2份，原卷版+解析版）

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考法一：分组法求数列前n项和
例题分析
【例 1】已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)在相邻两项中间插入这两项的等差中项，求所得新数列的前2n项和.
满分秘籍
若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组分别求和法求数列{cn}的前n项和．
变式训练
【变式1-1】已知正项数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【变式1-2】在等比数列中，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【变式1-3】在等比数列中，，且，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求满足的k的值．
【变式1-4】为数列的前项和，已知，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列依次为：，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列的前100项的和.
考法二：并项法求数列前n项和
例题分析
【例2】已知数列的前项和满足，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
满分秘籍
“并项求和”一般包括两类问题：①同一数列的相邻两项(三项或多项)并成“大项”之后，各个“大项”又呈现出有规律特征，进而通过“大项”的求和得出结果．②两个数列对应项的和(差)并成“大项”，通过求“大项”的和得出结果．
变式训练
【变式2-1】已知是等差数列，，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记，求.
【变式2-2】记为数列的前项和，已知，且满足.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
【变式2-3】已知是各项均为正数的数列，为的前n项和，且，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
【变式2-4】设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（，）.
(1)求数列的通项公式；
(2)试确定的值，使得数列为等差数列；
(3)当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列.设是数列的前项和，试求.
真题专练
1．已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
2．已知数列和满足：，，（为常数，且）．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若当和时，数列的前n项和取得最大值，求的表达式．
3．已知数列的前项和为，满足.等差数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)将数列满足__________（在①②中任选一个条件）的第项取出，并按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和.①，②，其中.
4．已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列的前项和为（取整函数表示不超过的整数，如），求数列的前100项的和.
5．已知各项均不为零的数列满足，其前n项和记为，且，，，数列满足，．
(1)求，，；
(2)求数列的前n项和．
6．设数列的前项和满足，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的通项公式与前项和.
7．已知正项数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前2023项的和.
8．已知等比数列的公比，前n项和为，满足：.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
9．已知等差数列与等比数列的前项和分别为：，且满足：，
(1)求数列的通项公式；
(2)若求数列的前项的和.
10．已知为等差数列，是公比为正数的等比数列，
(1)求和的通项公式;
(2)设满足 ，记的前项和为，求.
11．已知数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和
12．已知数列满足．
(1)证明是等比数列；
(2)若，求的前项和．
13．已知等差数列满足，．
(1)求；
(2)数列满足，为数列的前项和，求．
14．设等比数列的前项和为，已知，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
15．已知数列和满足．
(1)证明：和都是等比数列；
(2)求的前项和．
16．已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前2023项和.
17．记是公差不为的等差数列的前项和，若，．
(1)求的通项公式；
(2)设，，求数列的前项的和．
18．已知数列的首项，其前n项和为，且满足．
(1)求；
(2)设，求数列的最大项．
19．已知公差不为零的等差数列的首项为1，且是一个等比数列的前三项，记数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前20项的和．
20．已知正项数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)将数列和数列中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求的前100项和.
21．已知数列满足：，，
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，求.
22．设为公差不为0的等差数列的前项和，若成等比数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
23．已知，分别为等差数列，等比数列，且，，，.
(1)求，的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
24．已知等差数列的前项的和为，且，，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，集合且，求中所有元素的和.
25．已知数列的前项和，等比数列满足，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
26．已知数列为非零数列，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
27．已知数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
28．在正项数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
29．已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前40项和.
20．已知正项等比数列和数列，满足是和的等差中项，.
(1)证明：数列是等差数列，
(2)若数列的前项积满足，记，求数列的前20项和.