新高考数学二轮复习大题题型归纳训练第01讲 三角恒等变换和解三角形（2份，原卷版+解析版）

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考法一：三角函数和三角恒等变换
例题分析
【例 1】（2023·北京·统考高考真题）设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．
【详解】（1）因为
所以，
因为，所以.
（2）因为，
所以，所以的最大值为，最小值为.
若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以,所以,,
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以.
所以，；
若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.
以下与条件②相同．
满分秘籍
变式训练
【变式1-1】（2021·陕西咸阳·校考二模）已知函数
(1)求函数的对称轴和对称中心；
(2)当，求函数的值域．
【答案】(1)函数的对称轴为，对称中心
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质运算求解；
（2）采用整体替换的方法，先确定出的取值范围，然后根据正弦函数确定出最值，由此求解出的值域.
【详解】（1）因为，
令，解得；
令，解得；
所以函数的对称轴为，对称中心.
（2）因为，则，
当，即时，函数取到最大值；
当，即时，函数取到最小值；
所以函数的值域为.
【变式1-2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）已知函数在区间上单调，其中，，且．
(1)求的图象的一个对称中心的坐标；
(2)若点在函数的图象上，求函数的表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦函数的对称性，即可得出答案.
（2）由点在函数的图象上，可得，知函数在区间上单调递减，再由和，可得，又，可得出，即可得出结果.
【详解】（1）由函数在区间上单调，
且，可知，
故的图象的一个对称中心的坐标为
（2）由点在函数的图象上，
有，又由，
，
可知函数在区间上单调递减，
由函数的图象和性质，
有，
又，有，
将上面两式相加，有，
有，
又由，可得，
则，
又由函数在区间上单调，
有，可得，可得，
故．
【变式1-3】（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测） ，，，
(1)若，求的值；
(2)若函数的最小正周期为
①求的值；
②当时，对任意，不等式恒成立，求的取值范围
【答案】(1)
(2)①；②见解析.
【分析】（1）首先代入向量数量积的坐标公式，利用三角恒等变形，化简函数，并代入求值；
（2）首先根据周期公式求，并利用三角函数的性质求的最大值，最后转化为二次函数恒成立问题，即可求解.
【详解】（1）依题意，
，
当时，，
（2）①由（1）知，
最小正周期，得，
②当时， ，当时，
，当，即时，的最大值为2，
不等式恒成立，即恒成立，
整理为，恒成立，
当时，恒成立，
当时，，得，
综上可得，，
当时， ，当时，
，当，即时，的最大值为0
不等式恒成立，即恒成立，
整理为，恒成立，
当时，恒成立，
当时，，得，
综上可得，，
综上可知，当时，，当时，.
【变式1-4】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知函数.
(1)求的值；
(2)从①；②这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数在上的最小值，并直接写出函数的一个周期.
【答案】(1)2
(2)详见解析
【分析】（1）代入公式即可求得的值；
（2）选①时，先化简题给解析式再利用三角函数的性质即可求得函数的周期和在上的最小值；选②时，利用二次函数性质即可求得函数在上的最小值，并直接得到函数的一个周期.
【详解】（1），则
（2）选①时，
由，可得，
则，则，
则当，即时函数取得最小值，
函数的周期为
选②时，
由，可得，则
则当或时函数取得最小值1，
函数的周期为.
【变式1-5】（2023·上海松江·校考模拟预测）已知向量，其中，若函数的最小正周期为.
(1)求的单调增区间；
(2)在中，若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由辅助角公式将函数化简，再由函数周期即可求得，再根据正弦型函数的单调区间即可得到结果；
（2）根据题意，由（1）中函数的解析式可得，再由正弦定理可得，再结合平面向量数量积的定义代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）
的最小正周期为.
故，
令，解得，
故函数的单调增区间为
（2）设中角所对的边分别是.
，即，解得.
，
，
.
考法二：直接用正弦、余弦定理解三角形
例题分析
【例2】（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）在中，三边所对的角分别为，已知，
(1)若，求；
(2)若边上的中线长为，求的长.
【分析】（1）根据题意，由正弦定理整理得，得到，求得，再由正弦定理，即可求解；
（2）设边上的中线为，得到，结合向量的运算，求得，再利用余弦定理，即可求解.
【详解】（1）解：因为且，
由正弦定理得，
整理得，
因为，可得，
可得，
又因为，可得，所以，即，
因为，所以，
由正弦定理的且，可得.
（2）解：设边上的中线为，则，
所以，
因为边上的中线长为，可得，整理得，
解得或（舍去），
所以.

满分秘籍
变式训练
【变式2-1】（2023·全国·模拟预测）在三角形中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且．
(1)从下列中选择一个证明：
①证明：；②证明：
(2)求三角形面积的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据向量关系，利用数量积运算证明正弦余弦定理；
（2）根据面积公式，结合变的最小值，求面积的最小值.
【详解】（1）若选择①，由条件可知，角都是锐角，过点作与垂直的单位向量，则与垂直的夹角为，则与垂直的夹角为，
因为，所以,
，
,
即；
若选择②，如图，设，，，
则，两边平方后，
则，即
（2），
因为，所以，
所以的面积的最小值为.
【变式2-2】（2022·上海奉贤·统考一模）在中，所对边满足.
(1)求的值；
(2)若，，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用题干条件和余弦定理求出；（2）先求出，利用正弦定理求出，再利用余弦定理求出，求出周长.
【详解】（1）化简得：，两边同除以，及，因为，所以.
（2）因为，且，所以，因为，由正弦定理得：，故，由余弦定理得：，即，解得：，其中，所以，故的周长为
【变式2-3】（2021·广东佛山·统考二模）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题.
问题：已知的内角A、B、C的对边分别为a，b，c；，，求的面积.
【答案】答案见解析.
【分析】若选①：先根据二倍角公式得到，然后根据正弦定理进行化简即可求出的值，再根据面积公式可求解出结果；
若选②：先根据向量的数量积公式和余弦定理得到的一个关系式，然后根据角的余弦定理得到的另一个关系式，由此求解出的值，再根据面积公式可求解出结果；
若选③：根据以及两角差的正弦求解出的值，由此可求解出的值，结合正弦定理可求解出的值，再根据面积公式可求解出结果.
【详解】若选①：因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，
又因为，所以，所以；
若选②：因为，所以，所以，所以，
又因为，所以，所以，
所以，所以；
若选③：因为，所以，所以，
所以，又，所以，
所以，所以，所以，
又因为，所以，所以，
所以.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于正余弦定理、三角形的面积公式、三角恒等变换公式以及向量的数量积公式的使用，对于转化能力要求较高；在使用正余弦定理时，要注意选取合适的边和角去计算.
【变式2-4】（2023·四川绵阳·四川省绵阳江油中学校考模拟预测）如图，在梯形中，，，，．
(1)若，求梯形的面积；
(2)若，求．
【答案】(1)；(2)．
【分析】(1)中，利用含的余弦定理表达式建立BC的方程，求出BC而得面积，再利用面积关系求的面积得解；
(2)由题设中角的信息用表示出与中的相关角，再在这两个三角形中利用正弦定理建立两个方程，联立整理得的方程，解之即得.
【详解】(1)设，在中，由余弦定理得：
，即，而x>0，解得，
所以，则的面积，
梯形中，，与等高，且，
所以的面积，
则梯形的面积；
(2)在梯形中，设，而，
则，，，，
在中，由正弦定理得：，
在中，由正弦定理得：，
两式相除得：，
整理得，
即
解得或，
因为，则，即．
【点睛】(1)三角形中已知两边及一边对角求第三边，利用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解；
(2)涉及平面多边形问题，把图形拆分成若干个三角形，再在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.
【变式2-5】（2019·河南·校联考二模）在中，内角、、的对边分别为、、，且满足.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）2；（2）
【分析】（1）对两边同除以，即可求得，结合正弦定理即可得解．
（2）由余弦定理及可得，再利用余弦定理即可求得，问题得解．
【详解】（1）因为，，
所以，得或（舍去），
由正弦定理得.
（2）由余弦定理得 ①
将，即代入①，得，得，
由余弦定理得：，即：，
则.
【点睛】本题主要考查了正、余弦定理及同角三角函数基本关系，考查计算能力及方程思想，属于中档题．
【变式2-6】（2023·广东东莞·校考三模）在中，内角，，所对的边分别为，，.已知.
(1)求角的大小；
(2)设，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用正弦定理求解；
（2）运用两角差公式求解.
【详解】（1）在中，由正弦定理得：，
因为，所以，可得，
即，，又，可得；
（2）在中，由余弦定理得：，
由，以及，可得，
因为，所以A是锐角，所以，
因此，，
所以，，
综上，，.
考法三：利用正弦定理求外接圆半径
例题分析
【例3】（2023·山东烟台·统考二模）已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，．
(1)求角B的大小；
(2)若为钝角三角形，且，求外接圆半径的取值范围．
【分析】（1）利用正弦定理结合条件，进行边角转化即可得出结果；
（2）利用正弦定理，将边转角，再结合条件得到，再利用角的范围即可得出结果.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
得到，又，所以，
故，即，所以，
又，所以，得到.
（2）由正弦定理，得到，，
所以
，所以，
又因为为钝角三角形，且，又由（1）知，所以，
所以，由的图像与性质知，所以
满分秘籍
变式训练
【变式3-1】（2023·河北·统考模拟预测）已知的内角，，所对的边分别为，，，若_________．在以下两个条件中任选一个：①；②，并解答下列问题．
(1)求角；
(2)若的外接圆半径为．求面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答．则按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①利用正弦定理和余弦定理即可求解；若选②利用正弦定理将边化角即可求解；
（2）结合（1）结论，利用正弦定理求出，再由余弦定理和基本不等式得到，再利用三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）若选①：因为，
所以由正弦定理得，
即，
又由余弦定理得，所以，
又因为，所以．
选②：由得，
则由正弦定理得，
因为A，，所以，所以，
所以．
（2）由（1）可知，又正弦定理可得，
解得，
则由余弦定理得
，当且仅当时取等号，
又，所以，
所以，
所以面积的最大值为．
【变式3-2】（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．
(1)求的外接圆半径R；
(2)求内切圆半径r的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦边角关系可得，应用余弦定理即可求，进而确定其大小；
（2）由正弦定理有，，根据余弦定理有，结合（1）及，应用三角恒等变换有 ，由三角形内角性质、正弦函数性质求范围即可.
【详解】（1）因为，由正弦边角关系得，即，
由余弦定理，得，又，所以，
由，则.
（2）由正弦定理得，所以，，
由余弦定理，得，所以，
利用等面积法可得，
则
，
∵，∴，故，则，
所以，故.
【变式3-3】（2023·全国·模拟预测）已知△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，满足，且，
(1)求C；
(2)求△ABC外接圆的半径R.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知结合余弦定理求得结果；
（2）根据已知结合余弦定理先求出，再利用正弦定理求出结果.
【详解】（1）由可得，
∴，
∵，∴.
（2）∵，，
∴，
整理得，∴.
由正弦定理可得，
∴，即△ABC外接圆的半径为.
【变式3-4】（2023·山东聊城·统考一模）在四边形中，．
(1)证明：；
(2)若，，，，求外接圆的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)由平行关系得到角的数量关系，在两个三角形中分别使用正弦定理，在根据数量关系进行传递.(2)根据已知的数量关系对未知角的大小进行求解，再在使用余弦定理对未知边的大小进行求解，最后在中使用正弦定理得到外接圆半径.
【详解】（1）因为，所以,在中，由正弦定理可知，在中，由正弦定理可知，，所以，，故有.
（2）由(1)可知，，设，又因为，可得，即，解得，所以，在中，由正弦定理可知，，所以，所以的外接圆的面积为.
【变式3-5】（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．从①②③中选取两个作为条件，补充在下面的问题中，并解答．①；②的面积是；③．
问题：已知角A为钝角，，______．
(1)求外接圆的面积；
(2)AD为角A的平分线，D在BC上，求AD的长．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】(1)选①②：由求得，再结合三角形面积公式可求得，利用余弦定理求得，再利用正弦定理求得外接圆的半径，从而可解；
选①③：利用余弦定理求得，再利用正弦定理求得外接圆的半径，从而可解；
选②③：利用三角形面积公式可求得，再求得，利用余弦定理求得，再利用正弦定理求得外接圆的半径，从而可解.
(2)设，则有，求得，再利用等面积法可求.
【详解】（1）选①②，
，，
又，即，得，
由余弦定理，得，
由正弦定理，得，，
所以，外接圆的面积为．
选①③，因为，．
所以由余弦定理，得，
由正弦定理，得，，
所以，外接圆的面积为．
选②③，
由，，A为钝角，得，
由余弦定理，得，
由正弦定理，得，，
所以，外接圆的面积为．
（2）由AD为角A的平分线，设，，
则有，
由的面积，
即，解得．
故AD的长为.
考法四：正弦和余弦定理边角互化的应用
例题分析
【例4】（2023·山东泰安·统考模拟预测）如图，平面四边形中，的三内角对应的三边为．
给出以下三个条件：
①
②
③的面积为
(1)从以上三个条件中任选一个，求角；
(2)设，在（1）的条件下，求四边形的面积的最大值．
【分析】（1）对于①②：利用正、余弦定理结合三角恒等变换运算求解；对于③：利用余弦定理和面积公式运算求解；
（2）根据题意利用余弦定理建立边角关系，结合面积公式整理可得，进而可得结果.
【详解】（1）若选①：，
则，
整理得：，
由正弦定理得，所以，
因为，所以；
若选②：因为，则，
可得，
由正弦定理得：，
因为，，所以，
因为，则，可得，
所以，，即．
若选③：的面积为，则，
所以，
所以，
因为，所以．
（2）因为，由（1）可知，所以为正三角形，
设，则，
可得，
在中，由余弦定理，
可得，
所以四边形的面积
，
因为，所以，
所以当，即时，四边形的面积取到最大值.
满分秘籍
变式训练
【变式4-1】（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，已知
(1)求角的大小；
(2)若，，求边及的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可求，根据角的范围即可求解的值；
（2）由已知利用正弦定理可得的值，利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用二倍角公式可求，的值，由余弦定理可得，解方程可求的值，利用两角和的余弦公式即可求解的值．
【详解】（1）因为，可得，
所以由正弦定理可得，
又为三角形内角，，
所以，
因为，，，
所以，可得，
所以；
（2）因为，，，
所以由正弦定理，可得，
所以为锐角，，，，
由余弦定理，可得，
整理可得，解得或（舍去），
所以．
【变式4-2】（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)证明：；
(2)点是线段上靠近点的三等分点，且，求的周长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）结合两角和关系，诱导公式，两角差正弦公式化简条件，再结合正弦定理可证结论；
（2）根据向量线性运算可得，结合数量积的运算性质和余弦定理列方程化简可求，由此可求周长.
【详解】（1）因为，
所以，
所以
即，
由正弦定理得：.
（2）因为点是线段靠近点的三等分点，
所以，所以，
则.
由余弦定理得：.
由（1）知，，则，
所以，
解得，则，
所以的周长为.
【变式4-3】（2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）已知分别为锐角ABC内角的对边，．
(1)证明：；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，三角恒等变换解决即可；
（2）由条件求的范围，结合正弦函数性质求的范围，利用三角恒等变换得，由此可求其范围.
【详解】（1）∵．
∴，
∴，
因为为锐角三角形内角，所以，，
所以，
所以，即；
（2）由题意得，解得，
所以，
由正弦定理得，
因为函数在上单调递减，
所以当时，，
所以当时，，
所以，
∴的取值范围为．
【变式4-4】（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A的大小；
(2)若， ，求BC边上高的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角变换可得答案；
（2）利用余弦定理求出边，根据面积相等可得答案.
【详解】（1）∵，∴，
∴，
即.
又∵，，∴，.
（2）设BC边上的高为h，∵，即，解得 ，
∴，解得，即BC边上的高为 .
【变式4-5】（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且．
(1)求角B的大小；
(2)若点M为BC中点，且，求．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用向量共线的坐标表示，再利用正弦定理边化角及和角的正弦公式求解作答.
（2）取CM中点D，连接AD，利用直角三角形边角关系及正弦定理求解作答.
【详解】（1）向量，，且，于是，
在中，由正弦定理，得，
即，整理得，
又，因此，而，
所以．
（2）取CM中点D，连接AD，由，得，令，而点M为BC中点，则，
由（1）知，于是，，
在中，由正弦定理知，
所以．
【变式4-6】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知中，角的对边分别为，满足．
(1)求角；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据以及两角和的正弦公式可求出结果；
（2）利用正弦定理得，，代入可求出结果.
【详解】（1）由得 ，
得，
得，因为，所以，
因为，所以.
（2）由（1）知，，
所以，，
由，得，得，
因为，所以，，
所以，所以.
【变式4-7】（2023·广东深圳·校考二模）记的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知.
(1)证明：；
(2)若角B的平分线交AC于点D，且，，求的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用余弦定理结合条件即得；
（2）利用余弦定理结合条件可得，然后利用角平分线定理及余弦定理即得.
【详解】（1）由正弦定理得：
所以可化为,
因为,
，所以
所以，
所以，即，
所以；
（2）角B的平分线交AC于点D，且，,
由角平分线定理可得，,
,又，
由余弦定理得：，，
在中，由余弦定理得：，
所以.
所以.
【变式4-8】（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）在中，，，分别为角，，所对的边，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（2）利用二倍角公式、辅助角公式及诱导公式求出，即可求出，再由两角差的余弦公式计算可得.
【详解】（1）中，，，分别为角，，所对的边，且．
由余弦定理得，整理得，
，
，
．
（2）因为，
，
，即，
所以，
又，，
，
．
考法五：求三角形面积及面积最值或范围
例题分析
【例5】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.
(1)求B；
(2)D为AC的中点，,求的面积.
【分析】（1）由诱导公式化简，再应用正弦定理，最后由余弦即可求出.
（2）由D为AC的中点，求出关系,可得，最后求出面积即可.
【详解】（1）
（2）D为AC的中点，,
,,
,,
或,
当时,，
时,
所以的面积为或.
满分秘籍
变式训练
【变式5-1】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在中，角的对边分别是，且.
(1)求角；
(2)若的中线长为，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换计算即可；
（2）利用平面向量知，利用数量积与模关系及基本不等式可得，再根据面积公式求最值即可.
【详解】（1）在中，由正弦定理得：，
而，
所以，
化简得，
因为，所以，，
即，所以，
又因为，所以，即.
（2）由是的中线，，
所以，
即，所以，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以三角形面积，
即的面积的最大值为.
【变式5-2】（2023·福建漳州·统考模拟预测）在平面四边形中，，，，.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，由正弦定理可得，从而求得.
（2）解法一：由（1）求得 ，
，从而 ，再利用，即可求得面积的取值范围；解法二：作于，作于，交于，求得，，，分别求出，，利用即可求得范围.
【详解】（1）在中，
由正弦定理可得，
所以，
又，
所以.
（2）解法一：由（1）可知，
，
因为为锐角，
所以，
所以
，
在中，由正弦定理得，
所以
，
，
因为，
且为锐角三角形，
所以，
所以，
所以
，
所以，
所以，
即，
所以的面积的取值范围为.

解法二：由（1）可知，
，
因为为锐角，所以，，
如图，作于，作于，交于，

所以，
，
所以，
又，
所以.
由图可知，
仅当在线段上（不含端点）时，为锐角三角形，
所以，即.
所以面积的取值范围为.
【变式5-3】（2022·贵州安顺·统考模拟预测）如图，为测量某雕像AB的高度（B，C，D，F在同一水平面上，雕像垂直该水平面于点B，且B，C，D三点共线），某校研究性学习小组同学在C，D，F三点处测得顶点A的仰角分别为，，，米．

(1)求雕像AB的高度；
(2)当观景点C与F之间的距离为多少米时，△CDF的面积最大？并求出最大面积．
【答案】(1)
(2)时，的面积最大，最大值为
【分析】（1）根据已知条件，在中，可求出.然后在中，根据已知即可求得答案；
（2）根据（1）可求出.由已知可得出.进而根据面积公式表示出的面积.即可得出面积的最大值以及，由勾股定理即可求出.
【详解】（1）由已知可得，
在中，有，，，
所以，，
所以，为等腰三角形，.
在中，有，，，
所以，，
所以，.
（2）由（1）可得，，
在中，，所以.
因为的边上的高，
且的边上的高也等于，
所以的面积为 .
当，即时，面积最大，最大值为.
此时有.
【变式5-4】（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知向量（，），（，），.
(1)求函数的最大值及相应x的值；
(2)在△ABC中，角A为锐角且，，BC=2，求的面积.
【答案】(1)，时，取最大值 ；
(2).
【分析】（1）由平面向量的数量积运算，三角函数恒等变换可得的解析式，利用正弦函数的性质可求的最大值及相应的值；
（2）由（1）及角A的范围可求角A，进而求出角B，角C，再由正弦定理可得AC的边长值，代入三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）依题意，，
即，
所以，当，
即，时，取最大值 ；
（2）由（1）及得：，
即，
由，则，
因此，，则，
而，有，所以，
在中，由正弦定理得，
，
，
所以的面积为.
【变式5-5】（2022·贵州安顺·统考模拟预测）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且．
(1)求证：；
(2)求△ABC面积的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据已知余弦定理角化边化简可得出，根据基本不等式结合余弦定理可得出，根据的范围，即可得出答案；
（2）根据（1）的结论，由面积公式，即可得出答案.
【详解】（1）由以及余弦定理角化边可得，，
整理得，，解得或（舍去）.
根据基本不等式得，，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以，
，又，
所以，.
（2）由（1）知，，，所以，
所以，.
所以面积最大值为.
【变式5-6】（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，其中，．
(1)求角B的大小；
(2)若，求△ABC面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方法一：利用正弦定理化边为角，再结合三角形内角和定理及两角和的正弦公式即可得解；
方法二：利用余弦定理化角为边，即可得解；
（2）利用余弦定理结合已知及基本不等式求出的最大值，再根据三角形的面积公式即可得解.
【详解】（1）方法一：由，
根据正弦定理边化角得：，
即，所以，
因为，所以，又，所以，
又，所以；
方法二：由，
根据余弦定理：得，
即，
因为，所以，
所以，又，得；
（2）由（1）及余弦定理知，
所以，
因为，
所以，化简得，
因为，，所以，，
所以，当且仅当，即，时取等号，
所以的面积，
所以面积的最大值为.
考法六：求三角形边长（比）或周长范围
例题分析
【例6】在中，角的对边分别为，.
(1)若，求的面积；
(2)若，求周长的取值范围.
【分析】（1）利用正弦定理把边化为角，结合三角变换与同角基本关系可求得，结合已知与面积公式即可求解；
（2）用正弦定理把边化角，结合三角恒等变换化简，利用三角函数的值域求解，即可得到答案.
【详解】（1）因为，
由正弦定理，可得，
又由，可得，
所以，
所以，
即，
因为，可得，所以，即，
又因为，所以，
所以的面积为.
（2）由（1）可知，
由正弦定理得，所以，
所以
，
因为，
所以，所以，
所以，
故周长的取值范围为.
满分秘籍
变式训练
【变式训练6-1】（四川省巴中市2022-2023学年高一下学期期末数学试题）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
(1)求角A的大小；
(2)若，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理化简计算可得；
（2）由正弦定理边角关系可得，再应用辅助角公式、正弦函数的性质即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，所以，
又，所以；
（2）由正弦定理可知:，则，
所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，
所以周长的取值范围为.
【变式训练6-2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．
(1)求角B的大小；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理即可求解；
（2）根据（1）的结论及三角的内角和定理，利用正弦定理的边角化及两角差的正弦公式，结合锐角三角形求出角的范围及正切函数的性质即可求解.
【详解】（1）由及余弦定理，得，
由锐角，知，
所以．
（2）由（1）知，得，故，
由正弦定理，得，
由为锐角三角形得解得，
∴，
∴．
故的取值范围为.
【变式训练6-3】（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知在中，内角，，所对的边分别为，，，．
(1)若，求出的值；
(2)若为锐角三角形，，求边长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由立方差公式及余弦定理求出，由将弦化切，利用两角和的正弦公式求出，从而求出，最后根据两角差的余弦公式计算可得；
（2）由正弦定理得到，再转化为角的三角函数，结合正切函数的性质求出的取值范围.
【详解】（1）因为由正弦定理可得，
即，因为，所以，
所以，因为，所以，
由，所以，
所以，所以，
即，所以，所以，
因为，所以，
所以
.
（2）因为为锐角三角形，且，所以，
所以，解得，
又，由正弦定理，
所以
，
因为，所以，所以，所以，
即边长的取值范围为.
【变式训练6-4】（2023·山东·山东省实验中学校考二模）在中，内角、、所对的边分别为、、，已知．
(1)求角；
(2)若为边上一点（不包含端点），且满足，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）分析可得，，，求出角的取值范围，由正弦定理可得出，结合正切函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】（1）解：由结合正弦定理可得：
，则，
因为、，则，所以，，
可得，故.
（2）解：由可得，所以，，
所以，，故，

在中，，，
由正弦定理可得，
所以，，
因为，则，所以，.
所以，的取值范围是.
【变式训练6-5】（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）在凸四边形中，.
(1)若.求的长；
(2)若四边形有外接圆，求的最大值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由同角关系可得正弦值，进而由和差角公式，结合余弦定理即可求解，
（2）根据正弦定理可得，同理可知，进而由三角函数的性质即可求解最值.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
由余弦定理可知，，即
（2）因为四边形有外接圆，所以，
因为，且由正弦定理可知，，
所以，即，
设，则，
由正弦定理可知，，
所以，同理可知，
所以，
因为，所以，所以当，
即时，取得最大值为.

真题专练
1．（2023·全国·统考高考真题）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得；
(2)由题意可得，则，据此即可求得的面积.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
则，，
.
（2）由三角形面积公式可得，
则.
2．（2023·全国·统考高考真题）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可.
【详解】（1），
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由 ，
由正弦定理，，可得，
，
.
3．（2023·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．
【详解】（1）因为，所以，解得：．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
4．（2023·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答.
（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答.
【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，

则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，
所以.
方法2：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，则，
，过作于，于是，，
所以.
（2）方法1：在与中，由余弦定理得，
整理得，而，则，
又，解得，而，于是，
所以.
方法2：在中，因为为中点，则，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以.
5．（2023·天津·统考高考真题）在中，角所对的边分別是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理即可解出；
（3）由正弦定理求出，再由平方关系求出，即可由两角差的正弦公式求出．
【详解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；
（2）由余弦定理可得，，即，
解得：或（舍去）．
（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，
所以都为锐角，因此，，
故．
6．（2023·全国·统考高考真题）设，函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）分和讨论即可;
（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.
【详解】（1）若,则,
即,解得,即,
若,则,
解得,即,
综上,不等式的解集为.
（2）.
画出的草图,则与轴围成,
的高为,所以,
所以,解得.
7．（2022·天津·统考高考真题）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出；
（2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出；
（3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出．
【详解】（1）因为，即，而，代入得，解得：．
（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．
（3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以，
故．
8．（2022·浙江·统考高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积．
【详解】（1）由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
（2）因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．
9．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
【详解】（1）由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，则，.
10．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
【分析】（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
11．（2022·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)14
【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.
【详解】（1）证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以；
（2）解：因为，
由（1）得，
由余弦定理可得，
则，
所以，
故，
所以，
所以的周长为.
12．（2022·北京·统考高考真题）在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.
【详解】（1）解：因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
（2）解：由三角形的面积公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.
13．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
14．（2021·天津·统考高考真题）在，角所对的边分别为，已知，．
（I）求a的值；
（II）求的值；
（III）求的值．
【答案】（I）；（II）；（III）
【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；
（II）由余弦定理即可计算；
（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.
【详解】（I）因为，由正弦定理可得，
，；
（II）由余弦定理可得；
（III），，
，，
所以 .
15．（2021·全国·统考高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，且.
【分析】（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.
【详解】（1）因为，则，则，故，，
，所以，为锐角，则，
因此，；
（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，
由余弦定理可得，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，，故.
16．（2021·北京·统考高考真题）在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；
【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．
【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；
（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；
若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；
若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.
【详解】（1），则由正弦定理可得，
，，，，
，解得；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，
与矛盾，故这样的不存在；
若选择②：由（1）可得，
设的外接圆半径为，
则由正弦定理可得，
，
则周长，
解得，则，
由余弦定理可得边上的中线的长度为：
；
若选择③：由（1）可得，即，
则，解得，
则由余弦定理可得边上的中线的长度为：
.
17．（2021·浙江·统考高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
18．（2021·全国·统考高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.
（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值.
【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，
得，
因为，所以，即．
又因为，所以．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为，如图，在中，，①
在中，．②
由①②得，整理得．
又因为，所以，解得或，
当时，（舍去）．
当时，．
所以．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知，则，
即，
而，即，
故有，从而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
则．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化简得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作，交于点E，则．
由，得．
在中，．
在中．
因为，
所以，
整理得．
又因为，所以，
即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为，所以．
以向量为基底，有．
所以，
即，
又因为，所以．③
由余弦定理得，
所以④
联立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则．
由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设，则．⑤
由知，，
即．⑥
联立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．
【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
19．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）的角的对边分别为的面积为.
(1)若，求的周长；
(2)设为中点，求到距离的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件得出和，联立求得，进而求得，结合余弦定理求出的值，进而求得结果.
（2）利用面积公式和基本不等式求最值，即可得出结果.
【详解】（1）因为，得①，
又因为的面积为，所以有②，
显然，由①②得，
所以，代入得，
在中，因为，
所以，得，
所以的周长为.

（2）因为为边上的中点，所以，
因为，
所以，
因为，当且仅当时取等号，
所以.
设点到直线距离为，
因为，所以，
即点到直线距离最大值为.
120．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知的内角A，，的对边分别为，，，，.
(1)若，证明：；
(2)若边上的高为，求的周长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据已知变形结合正弦定理可得出，进而得出，即可求出，进而求出的值，代入两角和的余弦公式，即可得出答案；
（2）根据已知得出以及.根据余弦定理变形整理可得，代入数值即可求出的值，进而得出答案.
【详解】（1）由已知可得，
由正弦定理可得，，
所以有.
又，所以，.
又，所以.
，
，
.
又，，函数在上单调递减，
则.
（2）由题意得的面积.
又，则.
由余弦定理，
得，
所以，.
所以，的周长为.
21．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在中，角的对边分别为，已知，
(1)求角的大小；
(2)若的角平分线交于点，且，求的最小值，
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦函数的和差公式化简题设条件，从而得到，由此得解；
（2）利用三角面积公式推得，从而利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
由于，则，所以，即，
又，所以.
（2）因为的角平分线交于点，且，，

根据三角形面积公式可得，
等式两边同除以可得，则，
则，
当且仅当，即时，等式成立，
故的最小值为.
22．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知中角的对边分别为，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知和正弦定理可得答案；
（2）由面积公式和余弦定理可得答案.
【详解】（1）由和正弦定理可得，
，
因为，所以，
所以，，，
，；
（2），，
又，
，
，
的周长为.
23．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求的值；
(2)若，，求的值.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用二倍角公式及诱导公式计算可得；
（2）由面积公式求出，再由余弦定理得到关于的方程，解得即可.
【详解】（1）因为，
所以
.
（2）因为，所以，
因为，即，所以，
再由余弦定理知，即，
即，解得或，
所以或（负值舍去）.
24．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知的内角所对的边分别为，且，角A的平分线与边交于点.
(1)求角A；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)
(2)18
【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简计算即可；
（2）由结合（1）及可得出，基本不等式计算即可.
【详解】（1）由正弦定理化简可得：
，
∴，
即，
由∴
又∵，∴，∴，
又，∴.
（2）
根据角A的平分线与边交于点，所以，
，即，
所以，即.
当且仅当时，即时，等号成立.
所以的小值为18.
25．（2023·广东佛山·统考模拟预测）在中，，，M点为BC的中点，N点在线段AC上且，.
(1)求AC；
(2)若点P为AM与BN的交点，求的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两次余弦定理建立方程求解即可；
（2）把的余弦值转化为求，向量分解表示，利用数量积夹角公式求解即可.
【详解】（1）在中，，，
由余弦定理得，
在中，，，，
由余弦定理得，
所以，即，解得；
（2）由（1）知，又，所以，
所以，又M点为BC的中点，所以，
因为，所以，
所以，
又，且，
所以.
26．（2023·河北·校联考三模）在中，角的对边分别为，且．
(1)判断的形状；
(2)若，点分别在边上，且，求的面积．
【答案】(1)是直角三角形
(2)
【分析】（1）利用余弦定理化角为边，整理即可得出结论；
（2）根据求解即可.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
化简得，
所以是直角三角形；
（2）由（1）得，
因为，所以，
则，
因为，
所以，
,
,
，
，
所以.
27．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）的内角的对边分别为且．
(1)判断的形状；
(2)若为锐角三角形，且，求的最大值．
【答案】(1)直角三角形或等腰三角形．
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换对原式进行化简，可得或，根据角的范围即可求解；
（2）由结合正弦定理可得，通过锐角三角形可得到，令，故 ，根据二次函数的性质即可求得最大值
【详解】（1）由题意：，
整理得，
故或，
因为，所以或，
为直角三角形或等腰三角形．
（2）由正弦定理得，
∴，又，
，
因为为锐角三角形，所以，解得，
令，易知，
∴ ，
故当时，即取最大值，最大值为，
综上，最大值为．
28．（2023·山东泰安·校考模拟预测）在锐角中，内角所对的边分别为，满足，且．
(1)求证：；
(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化化简，再由余弦定理即可得到，再由正弦定理的边角互化即可证明；
（2）根据题意，由正弦定理可得，再由的范围，即可得到结果.
【详解】（1）由题意得，即．
所以，
由正弦定理得，又由余弦定理得，
所以，故，
故，整理得．
又为锐角三角形，则，，，
所以，因此．
（2）在中，由正弦定理得，所以．
所以．因为为锐角三角形，且，
所以，解得．
故，所以．因此线段长度的取值范围.
29．（2023·河南·校联考模拟预测）在中，角的对边分别为，.
(1)若，求；
(2)若，点在边上，且平分，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两角和、差的余弦公式求出，由诱导公式求出，即可求出，最后由计算可得；
（2）利用二倍角公式求出，再由求出，最后由面积公式计算可得.
【详解】（1）因为，
则，，
又，，则，
又，所以，
则.
（2）由（1）知，则，
由得，
即，
则，即，解得，
所以的面积.
30.（2023·江西宜春·校联考模拟预测）在中，角，，的对边分别是，，，满足.
(1)求角；
(2)若点D在AB上，CD＝2，∠BCD＝90°，求△ABC面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理边角化即可求解，
（2）由面积公式以及基本不等式即可求解.
【详解】（1）由可得：，
由余弦定理知，，
又，因此.-
（2）∵ ，即 ，
∴ ≥
∴ab≥，当且仅当b=2a，即a=，b=取等号
∴=≥
∴△ABC面积的最小值为