新高考数学二轮复习大题题型归纳训练第02讲 数列的证明和通项公式的四种求法（2份，原卷版+解析版）

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考法一：等差、等比数列基本量的运算
例题分析
【例 1】已知为正项等差数列，为正项等比数列，其中，且，成等比数列，．
求的通项公式；
【答案】(1)，
【详解】解：（1）设等差数列的公差为，则．
因为，且成等比数列，
所以解得或（舍去）
所以．
因为，即，可得或（舍去），
所以．
满分秘籍
在等差数列五个基本量a1，d，n，an，Sn中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前n项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意等差数列性质、整体代换及方程思想的应用.
等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．
变式训练
【变式1-1】已知数列是等差数列，其前n和为，，，数列满足.
(1)求数列，的通项公式；
【答案】(1)，
【分析】（1）根据等差数列基本量相关运算直接得到的通项公式，结合已知等式令得到第二个等式，两式相减并验证的情况得到的通项公式；
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d，
因为，，
所以，即，
解得，所以
①
当时，②，
可得，，，所以，
当时，适合，
所以
【变式1-2】已知数列是等差数列，是各项均为正数的等比数列，数列的前n项和为，且，，．
(1)求数列，的通项公式；
【答案】(1)，
【分析】（1）由数列是等差数列，是各项均为正数的等比数列，设出公差和公比，根据题意列出方程组求解即可；
【详解】（1）设数列的公差为d，数列的公比为，
由题意可得，，即，
所以，
因为，所以，
所以，．
【变式1-3】已知正项等比数列的前n项和为，且，，等差数列满足，.
(1)求数列，的通项公式；
【答案】(1)；
【分析】（1）根据等差等比数列的基本量的运算求解；
【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，
由，，可得，
即，化简得，
即，解得（舍）或，
从而可得，所以；
又因为，，
所以，解得，
所以.
【变式1-4】已知等差数列满足，，等比数列满足，．
(1)求与的通项公式；
【分析】（1）设的公差为，由题意可得，求得， ，进而可求；设的公比为，由题意可得，求得或，再分，两种情况求解即可.
【详解】（1）设的公差为，因为，，
所以，解得，从而，
所以．
设的公比为，因为，则有
，，解得或，
当时，因为，所以，所以．
当时，因为，所以，所以．
【变式1-5】已知等差数列满足，数列是以1为首项，公比为3的等比数列.
(1)求和；
【答案】(1)，
【分析】（1）方法一：由等比数列通项公式求，由数列的通项公式求其前三项，由条件列方程求，由此可得；
方法二：由等比数列通项公式求，设数列的公差为，由条件结合等差数列通项公式化简条件可求，由此可得；
【详解】（1）解法一：因为数列是以1为首项，公比为3的等比数列，
所以，
因为，
所以，，.
因为数列是等差数列，
所以，即，
解得.
所以，
所以.
解法二：因为数列是以1为首项，公比为3的等比数列，
所以，
因为数列是等差数列，设公差为，则.
所以，
所以，
所以.
【变式1-6】已知是等差数列，，，且，，成等比数列.
求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据等比中项的性质及等差数列通项公式得到方程，求出，即可求出通项；
【详解】（1）因为是等差数列，，，且，，成等比数列，
所以，即，解得或（舍去），
所以．
考法二：等差、等比数列的证明
例题分析
【例2】已知等比数列的公比，，且，的等差中项等于．
(1)求的通项公式；
(2)设，证明：数列为等差数列．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差中项以及等比数列基本量的计算即可得公比和首项，即可求解，
（2）根据对数的运算性质，即可由等差数列的定义证明.
【详解】（1）由，的等差中项等于，得，
所以，即．
解得或（舍）．
由，得．
所以．
（2）因为，
所以，．
所以数列是首项为3，公差为的等差数列．
满分秘籍
证明等差数列的常用方法：(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数；(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2；(3)通项公式法：得出an＝pn＋q(p，q是常数)；(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn(A，B是常数).
等比数列的四种常用判定方法
（1）定义法：若eq \f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)或eq \f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列；（2）中项公式法：若数列{an}中，an≠0且aeq \\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列；（3）通项公式法：若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列；（4）前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列。
变式训练
【变式2-1】已知正项等比数列和数列，满足是和的等差中项，.
(1)证明：数列是等差数列，
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）利用等差数列的定义法判断即可.
【详解】（1）由题知，是等比数列，
设其公比为，
由，
可得：当时，，
两式相减得，，
故数列是等差数列.
【变式2-2】设数列的前项和为，且与的等差中项为.
(1)证明：数列是等比数列；
【答案】(1)证明见解析
【分析】(1)利用与关系，得到与间的关系，再利用定义即可证明结论；【详解】（1）依题知得
.
当时，
当时，
.
，得到，可变形为，
.
所以，数列是等比数列.
【变式2-3】已知数列的前n项和为，且满足，是3与的等差中项．
(1)设，证明数列是等比数列；
【答案】(1)证明见解析
【分析】(1)根据等差中项的应用可得，利用与的关系即可证明；
【详解】（1）由题设得①，有②，
在①中令得，
，
由②-①，得
，
又，所以，
数列是首项为4，公比为2的等比数列．
【变式2-4】已知正项数列满足，，且对任意的正整数，是和的等差中项.
(1)证明：是等差数列，并求的通项公式；
【答案】(1)证明见解析；.
【分析】（1）证明是以为首项，公差为2的等差数列，再求出即得解；
（1）证明：由题知，得，所以是以为首项，公差为2的等差数列，即，当时， ，当时，也符合题意，所以，又所以.
【变式2-5】已知数列的前项和为，．
(1)证明：是等差数列；
(2)求数列的前项积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据与的关系化简，可得，由等差数列的定义得证；
（2）由（1）求出，再由累乘法求解.
【详解】（1）由，得．
所以，
即，整理得，
上式两边同时除以，得．
又，所以，即，
所以是首项为2，公差为1的等差数列．
（2）由（1）知，．
所以．
所以．
【变式2-6】已知数列满足，．
(1)证明：数列为等差数列；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）等式两边同时除以，得到，再根据等差数列的定义即可证明.
【详解】（1）依题，在两边同时除以，
得，，
故数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
考法三：累加法求数列的通项公式
例题分析
【例3】数列满足，且，求通项.
【答案】
【分析】构造法求证为等比数列并写出通项公式，再应用累加法求数列通项公式.
【详解】因为，所以，
又，所以，
由等比数列定义知，数列是以为首项，3为公比的等比数列，
所以，
累加法可得：，
所以，又符合该式，
故.
满分秘籍
当出现an＝an－1＋f(n)时，一般用累加法求通项．
变式训练
【变式3-1】已知数列满足，求数列的通项公式．
【答案】
【分析】先将条件变形为，再利用累加法即可求得数列的通项公式.
【详解】两边除以，得
，则，故
，
，
则数列的通项公式为．
【变式3-2】已知数列各项均为正数，，，且.
(1)若数列为等差数列，求数列的前项和；
(2)若数列为等比数列，且数列不为等比数列，求数列的通项公式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列定义结合条件数列为等差数列，证明，由此证明为等差数列，结合等差数列求和公式可求，
（2）设数列的公比为，根据等比数列定义结合条件求，化简可得，利用累加法求，由此可得.
【详解】（1）因为，所以，
两式相减，可得
又∵为等差数列，∴，
则，
又∵，∴，∴，
所以，即为等差数列，且公差，
所以.
（2）设的公比为，
因为，所以
所以，因为所以，
因为不是等比数列，所以不是常数，所以，，
又，所以，即，
由累加法可知， ，
经检验，也满足，
所以.
【变式3-3】数列中，，，求的通项.
【答案】
【分析】将两边取到数，可得，设，即得，利用叠加法可求得，即可求得答案.
【详解】由题意得，∴ ，
设，∴ ，∴，∴ ，
，∴，…，，，
∴，
而，∴，
∴ ，由于适合该式，
故的通项为.
考法四：累乘法求数列的通项公式
例题分析
【例4】已知数列的前项和为，且，是公差为2的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）推导出，则，两式相减得，再由累乘法能求出的通项公式；
（2）分奇数偶数两种情况讨论，利用并项求和能求出.
【详解】（1）由题意可知，整理可得，①
则②
由②①可得，
整理可得，
因为，所以由累乘法可得，
因为，所以，
满分秘籍
当出现eq \f(an,an－1)＝f(n)时，一般用累乘法求通项．
变式训练
【变式4-1】已知数列，为数列的前项和，且满足，．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）当时，由可得出，两式作差推导出，然后利用累乘法可求得数列的通项公式；
【详解】（1）解：对任意的，
当时，，两式相减．
整理得，
当时，，
也满足，从而．
【变式4-2】在数列中，，求.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用累乘法列式求解即可.
【详解】在数列中，，
则当时，
，而满足上式，
所以.
【变式4-3】已知数列中，．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由，得到，再利用累乘法求解；
【详解】（1）因为，，
所以，
所以
当时， 满足条件，
所以；
考法五：已知Sn求数列的通项公式
例题分析
【例5】已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
【答案】(1)；
【分析】（1）根据给定的递推公式，结合“”求解作答.
【详解】（1）在数列中，，当时，，两式相减得，
即，而，有，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，
所以的通项公式是.
满分秘籍
通过Sn求an.已知数列{an}前n项和Sn.
则当n=1时 a1=S1
n≥2时 an=Sn-S(n-1)
变式训练
【变式5-1】设数列的前n项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)；
【分析】（1）利用给定条件，结合“”求解作答.
【详解】（1）在数列中，，当时，，解得，
当时，，则，
因此数列是等比数列，首项为1，公比为2的等比数列，则，
所以数列的通项公式是.
【变式5-2】设正项数列的前项和为，．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据推出，再由等差数列的通项公式可求出结果；
【详解】（1）当时，，得，
当时，，
则，
化简得，
又，所以，．
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以；
【变式5-3】已知数列的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：对任意，都有，使得成等比数列.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由与的关系求得的通项公式；
（2）对任意，根据成等比数列求出满足条件的即可.
【详解】（1）∵
∴当时
又时，
∴；
（2）要使得成等比数列，只需要，即.
对任意，，所以
∴对任意，都有，使得成等比数列.
【变式5-4】已知是数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）利用与的关系及等比数列的定义，结合等比数列的通项公式即可求解；
【详解】（1）当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴是以、公比为2的等比数列，
∴.
考法六：构造法求数列的通项公式
例题分析
【例6】已知：，时，，求的通项公式．
【答案】
【分析】构造等比数列，即可由等比数列的性质求解.
【详解】设，所以，
∴ ，解得：，
又 ，∴ 是以3为首项， 为公比的等比数列，
∴ ，∴ ．
满分秘籍
构造法的常见类型一般有：①an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0，其中a1＝a)，②an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)；③an＋1＝pan＋qn(p≠0,1，q≠0,1)．
构造法的构造方法：①形如an＋1＝αan＋β(α≠0,1，β≠0)的递推式可用构造法求通项，构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或等比数列．
②递推公式an＋1＝αan＋β的推广式an＋1＝αan＋β×γn(α≠0,1，β≠0，γ≠0,1)，两边同时除以γn＋1后得到eq \f(an＋1,γn＋1)＝eq \f(α,γ)·eq \f(an,γn)＋eq \f(β,γ)，转化为bn＋1＝kbn＋eq \f(β,γ)(k≠0,1)的形式，通过构造公比是k的等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn－\f(β,γ(1－k))))求解．
变式训练
【变式训练6-1】已知数列中，设，求数列的通项公式.
【答案】
【分析】记，令，求出不动点，得到，则是等比数列，求出，进而可得答案.
【详解】依题，
记，令，求出不动点；
由定理2知：
，
；
两式相除得到，
∴是以为公比，为首项的等比数列，
∴，
从而．
【变式训练6-2】已知数列的前项和为（为常数）.
(1)若，求的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据递推公式，利用构造法可得为等比数列，然后可解；
【详解】（1）当时，，得
又，所以是首项为3，公比为3的等比数列，
所以，即.
【变式训练6-3】已知数列满足，，，求
【答案】=．+ ．
【分析】法1：构造为等比数列，求出其通项，再分奇偶讨论，利用累加法求解即可；法2：利用二阶特征根方程求解得到，根据，列方程组求出和即可.
【详解】法1：已知，所以，
则是首项为，公比为3的等比数列，
故，则，
得，
当n为奇数时，，，，，，
累加可得，，
所以，
当n为偶数时，，
综上，；
法2：由特征根方程得，，，
所以，其中，解得，，
.
真题专练
1记为数列的前项和，已知的等差中项为.
(1)求证为等比数列；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）利用等差中项性质化简，再利用与的关系求出，利用等比数列定义即可证明；
【详解】（1）因为的等差中项为，所以，
因为时，，则，所以，
由得，
又，两式相减得，即，
所以有，所以，
所以是等比数列，其首项为，公比为2.
2．记为数列的前n项和，已知.
(1)求数列{}的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由，可得，则数列{}是首项与公差都是2的等差数列，进而可得答案.
【详解】（1）由，
由可得，
则时，
两式相减可得，
化为，因为，
所以，数列{}是首项与公差都是2的等差数列，
所以；
3．已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前n项和.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由与的关系式即可证得数列是以1为首项，2为公差的等差数列，即可求出数列的通项公式；
【详解】（1）∵，∴
当时，，解得.
当时，，
即，
∵，∴，
∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴.
4．已知数列和，，，.
(1)求证数列是等比数列；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）通过题中关系，可得，进而可得数列是以为首项，公比为的等比数列.
【详解】（1）由，，得，
整理得，而，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列
5．设数列的前项和为，已知，且数列是公比为的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由题意求出，则，两式相减化简变形可得，从而得数列是以为首项，以3为公比的等比数列，进而可求出通项公式；
【详解】（1）因为，
所以由题意可得数列是首项为1，公比为的等比数列，
所以，即，
所以，
两式作差得：，
化简得：即，
所以，
所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列，
故数列的通项公式为；
6．已知数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由与的关系求通项；
【详解】（1）由已知①，
当时，，即，解得，
当时，②，
①②得，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
7．已知正项数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）利用和与项的关系可得，由可得，再利用等差数列的通项公式即可求解；
【详解】（1），
当时，，两式子作差可得
，
又，所以，
可得数列为公差为2 的等差数列，
当时，，
所以，数列的通项公式为.
8．在等比数列中，，且成等差数列.
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）设的公比为，由题意解出，可得数列通项；
【详解】（1）设的公比为，由，则，解得.
成等差数列，.
得，解得，
.
9．已知数列的前项和为，且.
(1)求证：数列是等差数列；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）利用与的关系变形给定的递推公式，构造常数列求出数列的通项，再利用等差数列定义推理作答.
【详解】（1）数列中，，当时，，
两式相减得，即，则，
于是，因此数列是常数列，则，
从而，即，
所以数列是以1为首项，为公差的等差数列.
10．已知数列的前项和为，且满足，数列是首项为1，公差为2的等差数列．
(1)分别求出数列的通项公式；
【答案】(1)，
【分析】（1）当时，根据，利用两式相减得，由等比数列的通项公式可求出；根据等差数列的通项公式可求出；
【详解】（1）当时，，得，
当时，，所以，
所以，即，因为，
所以，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以.
因为数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，则，
11．在等差数列中，，其前项和满足.
(1)求实数的值，并求数列的通项公式；
【答案】(1)，
【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意的，进而得，即可得到数列的通项公式；
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，
所以，所以. …
所以，所以.
所以.
12．已知公差为正数的等差数列的前项和为，且成等比数列.
(1)求和.
【答案】(1)，
【分析】（1）根据条件设出等差数列的公差，结合等比数列的性质列式求出公差，然后根据等差数列通项公式和求和公式即可得到答案；
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，成等比数列，
所以，即，
得，
解得或（舍），
所以，
所以，
.
13．已知数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由与的关系可求出通项公式；
【详解】（1）当时，，得，
当时，，得，
所以数列是以2为首项，公比为3的等比数列，
所以.
14．已知各项为正数的数列的前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据条件，利用与间的关系即可求出结果；
【详解】（1），
两式相减得：，
由于，则，
当时，，得，
，则，
所以是首项和公差均为2的等差数列，故．
15．已知数列的前n项和为，数列的前n项积为，且满足 ．
(1)求证：为等差数列；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据所给递推公式及前项和、积的定义化简，由等差数列定义可得证；
【详解】（1）因为，
当时，，解得或，
又，所以，故，
由，可得，所以，
当时，．
所以，即，
所以，所以
所以是以为首项，1为公差的等差数列.
16．已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据与的关系可直接求解；
【详解】（1）因为，所以，
所以当时，，所以；
当时，，
所以，
所以，
又满足上式，
所以数列的通项公式为.
17．已知为数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据数列递推式可得，采用两式相减的方法可得，从而构造数列，可求得的通项公式；
【详解】（1）当时，，则，
因为，
所以，
两式相减得： ，
所以，，
，，则，即也适合上式，
所以是以5为首项，公比为2的等比数列，
故：，
故；
18．设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；
【详解】（1），，解得，
，
又，
，
即，解得或（舍去），
.
19．设等差数列的前项和为，公比是正数的等比数列的前项和为，已知，，，，求，的通项公式．
【答案】，
【分析】设数列的公差为，数列的公比为，由等差数列和等比数列通项公式和前项和定义化简条件，解方程求，结合通项公式求解.
【详解】设的公差为，数列的公比为，由已知，
由得①
由得
故②
由①②及解得，
故所求的通项公式为，．
20．已知数列的首项，前n项和为，且．
(1)证明数列是等比数列；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）利用时，将原式变形为，最后根据等比数列定义给以证明；
【详解】（1）由已知可得，，
两式相减得，即，从而，
当时，，所以，
又，所以，从而．
故总有，，
又，，从而，
即数列是以6为首项，2为公比的等比数列.