新高考数学二轮复习大题题型归纳训练专题01 三角函数与三角恒等变换（2份，原卷版+解析版）

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1．如图，是以原点为圆心的单位圆上的两个动点,若它们同时从点 出发，沿逆时针方向作匀角速度运动,其角速度分别为 （单位：弧度/秒），为线段 的中点，记经过秒后(其中 )，
(I)求的函数解析式；
(II)将图象上的各点均向右平移2个单位长度，得到 的图象，求函数 的单调递减区间．
【答案】（Ⅰ）f（x）＝csx，（0≤x≤6），（Ⅱ）[2，8]．
【分析】（Ⅰ）依题意可知∠POAx，∠QOAx，∠MOQx，从而求得f（x）＝|OM|＝cs∠MOQ 的解析式；
（Ⅱ）依题意可知g（x）＝cs（x）（2≤x≤8），由2kπx2kπ+π，求得x的范围，可得函数y＝g（x）在[2，8]上的单调递减区间．
【详解】解：（Ⅰ）依题意可知∠POAx，∠QOAx．
∵|OP|＝|OQ|＝1，∴|OM|＝|OQ|•cs∠MOQ＝cs∠MOQ，
∴∠MOQx，∴f（x）＝|OM|＝csx（0≤x≤6），
即 f（x）＝csx，（0≤x≤6）．
（Ⅱ）依题意可知g（x）＝cs（x﹣2）＝cs（x）（2≤x≤8），
由2kπx2kπ+π，得 24k+2≤x≤24k+14，
故函数y＝g（x）在[2，8]上的单调递减区间为[2，8]．
【点睛】本题主要考查直角三角形中的边角关系，余弦函数的单调性，考查转化能力与计算能力，属于基础题．
2．设函数，.
（Ⅰ）当时，求函数的值域；
（Ⅱ）已知函数的图象与直线有交点，求相邻两个交点间的最短距离.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【详解】试题分析：（Ⅰ）先根据两角差正弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数再根据基本三角函数性质求其值域；（Ⅱ）先根据方程解出交点坐标，再根据交点间距离求最小值
试题解析：（Ⅰ）解：因为

=，
因为 ，
所以，
所以 ，
即，
其中当时，取到最大值2；当时，取到最小值，
所以函数的值域为.
（Ⅱ）依题意，得，，
所以或 ，
所以或 ，
所以函数的图象与直线的两个相邻交点间的最短距离为.
考点：两角差正弦公式、二倍角公式、配角公式，三角函数性质
3．已知，且是第三象限角，
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】(1);(2).
【解析】（1）由同角三角函数的关系可得，结合，是第三象限角可得，的值；
（2）利用诱导公式将原式化简，代入，的值可得答案.
【详解】解：(1)由，可得，即，
可得，由是第三象限角，可得，
故的值为;
(2) ,
代入，的值，
可得原式.
【点睛】本题主要考查同角三角函数关系式的应用及诱导公式，注意运算的准确性，属于基础题型.
4．如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC．该曲线段是函数时的图象，且图象的最高点为B赛道的中间部分为长千米的直线跑道CD，且CD∥EF；赛道的后一部分是以为圆心的一段圆弧DE．
(1)求的值和∠DOE的大小；
(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，求“矩形草坪”面积的最大值，并求此时P点的位置．
【答案】（1）； （2）；
【分析】(1)依题意,得，根据周期公式可得,把B的坐标代入结合已知可得，从而可求的大小
(2)由(1)可知，矩形草坪的面积S关于的函数，有，结合正弦函数的性质可求S取得最大值
【详解】(1)由条件可得，，，，曲线段FBC的解析式为，当时，，又，
(2)由(1)，可知，又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P在弧DE上，
故，设， “矩形草坪”的面积为
,故当时，时，取得最大值，
此时
故面积最大值为：，点坐标为（）
【点睛】本题主要考查了实际问题中，由的部分图象确定函数的解析式，常规步骤为：由函数的最值确定A的值，由函数所过的特殊点确定周期T，利用周期公式求，再把函数所给的点(一般用最值点)的坐标代入求，从而求出函数的解析式；还考查了实际问题中的最值的求解，解题关键是要把实际问题转化为数学问题来求解
5． 在中，内角所对的边分别为.已知，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
【答案】(Ⅰ) ；
(Ⅱ) .
【分析】(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到的比例关系，然后利用余弦定理可得的值
(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式可得的值.
【详解】(Ⅰ)在中，由正弦定理得，
又由，得，即.
又因为，得到，.
由余弦定理可得 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，
从而，.
故.
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.
6．已知函数，直线是函数f(x)的图象的一条对称轴.
（1）求函数f(x)的单调递增区间;
（2）已知函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）首先化简函数，再根据是函数的一条对称轴，代入求，再求函数的单调递增区间；（2）先根据函数图象变换得到，并代入后，得，再利用角的变换求的值.
【详解】（1），
当时，，得，
，，
即，令，
解得：，，
函数的单调递增区间是；
（2），
，得，
，，，

【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及的性质，属于中档题型，的横坐标伸长（或缩短）到原来的倍，得到函数的解析式是，若向右（或左）平移（）个单位，得到函数的解析式是或.
7．已知函数．
(1)若，，求的对称中心；
(2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值；
(3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)或;
(2);
(3).
【分析】（1）由，可求得函数的最小正周期，进而确定参数的值，再由整体代换即可求得对称中心；（2）由三角函数的平移变换求得的解析式，再由零点的定义确定参数的值，结合图象可得的最小值；（3）将所给条件转化为和的值域的包含关系，即可求得参数的取值范围．
【详解】（1）∵的最小正周期为，
又∵，，∴的最小正周期是，
故，解得，
当时，，由，的对称中心为；
当时，，由，的对称中心为；
综上所述，的对称中心为或.
（2）∵函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，
∴.
又∵是的一个零点，
，即，
∴或，
解得或，
由可得
∴，最小正周期.
令，则
即或，解得或，；
若函数在（且）上恰好有10个零点，故
要使最小，须、恰好为的零点，故.
（3）由（2）知，对任意，存在，使得成立，则，
当时，，
当时，，
由可得，解得，
故实数的取值范围为.
【点睛】本题第（3）小问为不等式的恒成立问题，解决方法如下：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集．
8．已知函数，，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)的最小正周期；
(2)在区间上的最小值.
【答案】(1)选条件①；选条件②
(2)选条件①；选条件②
【分析】选条件①：；
（1）利用两角和与差的正弦公式化简可得 ，
由周期公式可得答案；
（2）根据的范围求得的范围可得答案；
选条件②：.
（1）利用两角和与差的正弦公式化简可得 ，
由周期公式可得答案；
（2）根据的范围求得的范围可得答案.
【详解】（1）选条件①：；
（1）
，
所以的最小正周期是.
选条件②：.

，
所以最小正周期是.
（2）选条件①：；
因为，
所以≤≤，
所以≤≤，
所以≤≤，
当，即时，有最小值.
选条件②：.
因为，
所以≤≤，
所以≤≤，
当，即时，有最小值.
9．在 中，内角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；
（2）利用正弦定理将边化角即可得到，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后根据利用两角和的正弦公式计算可得；
【详解】（1）解：因为，
即，由正弦定理可得，
又，
即，
所以，
即，因为，所以，又，所以
（2）解：因为，所以，
因为，所以，
所以
10．已知函数，是函数的对称轴，且在区间上单调．
(1)从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得的解析式存在，并求出其解析式；
条件①：函数的图象经过点；
条件②：是的对称中心；
条件③：是的对称中心.
(2)根据（1）中确定的，求函数的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得到和，
再根据选择的条件得到第三个方程，分析方程组即可求解；
（2）先求出所在的范围，再根据图像求出函数值域即可.
【详解】（1）因为在区间上单调，所以，
因为，且，解得；又因为是函数的对称轴，
所以；
若选条件①：因为函数的图象经过点，所以，
因为，所以， 所以，即，
当时，，满足题意，故.
若选条件②：因为是的对称中心，所以，
所以，此方程无解，故条件②无法解出满足题意得函数解析式.
若条件③：因为是的对称中心，所以，
所以，解得，所以.
（2）由（1）知，，
所以等价于，，
所以，所以，
即函数的值域为：.
11．已知向量．
(1)当时，求的值；
(2)设函数，已知在△ ABC中，内角A、B、C的对边分别为，若，求 ()的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，可得，化简可得，再代值计算即可，
（2）由题意利用向量的数量积运算和三角函数恒等变换公式化简可得，再利用正弦定理可求得，从而可得 ，由，得，再利用正弦函数的性质可求得其范围
【详解】（1）因为，，
所以，所以，
所以
（2）因为，
所以，
所以
，
在△ ABC中，，
所以由正弦定理得，，得，
因为，所以角为锐角，所以，
所以
，
因为，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以 ()的取值范围为
12．已知， .
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求 .的值
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据可得，解方程并结合角的范围求得；
（2）利用弦化切，将化为，可得答案；
（3）利用，将化为，继而化为，求得答案.
【详解】（1）由得，
解得或 ，
因为，故，则；
（2）；
（3）
.
13．已知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)若对任意，都有，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）的解析式可化简为，令，即可解得的单调递增区间
（2）对恒成立的不等式等价转化后，结合的范围可得，从而解得的范围
【详解】（1）
令
解之得
∴的单调递增区间为
（2）对任意，都有，
∵，
∴，
∴，
∴实数的范围为．
14．已知函数
(1)求函数的最小正周期及对称轴方程；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在[0，2π]上的单调递减区间.
【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为，
(2)
【分析】（1）利用两角和差的正余弦公式与辅助角公式化简可得，再根据周期的公式与余弦函数的对称轴公式求解即可；
（2）根据三角函数图形变换的性质可得，再根据余弦函数的单调区间求解即可.
【详解】（1），
，
所以函数的最小正周期为，
令，，得函数的对称轴方程为，
（2）将函数的图象向左平移个单位后所得图象的解析式为，
所以，
令，
所以.又，
所以在上的单调递减区间为.
15．已知函数，其中向量，．
(1)求的解析式及对称中心和单调减区间；
(2)不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，对称中心为，单调减区间是
(2)
【分析】(1)利用向量数量积的坐标运算和正余弦的二倍角公式可得，再利用正弦函数的性质即可求解；
(2)由题意可得：在上恒成立，求出的最值，转化为，解之即可.
【详解】（1）

令，对称中心
又令，
所以单调减区间是
（2）不等式在上恒成立，
，即在上恒成立，
，
因为 ，所以，
当，即时，取得最小值，
最小值为，
当，即时，取得最大值，
最大值为，
即，得，
即实数m的取值范围是
16．已知函数．
(1)求函数的对称中心及最小正周期；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)函数的对称中心为，，函数的最小正周期为；
(2).
【分析】(1)根据三角恒等变换公式化简函数的解析式，结合正弦函数性质求函数的对称中心及最小正周期；(2)由(1)可得，结合两角差正弦函数，二倍角公式，同角关系化简可求.
【详解】（1）

，
，
，
令，，可得，，
又，
所以函数的对称中心为，，
函数的最小正周期；
（2）因为，所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
故，
所以，
所以或，
又，故.
17．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根，，求实数a的取值范围以及的值.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）由三角函数图象的最大值与最小值，求出，得到最小正周期，求出，再代入特殊点的坐标，求出，得到函数解析式；
（2）先根据平移变换和伸缩变换得到，令，换元后利用整体法求出函数的单调性和端点值，得到，再根据对称性得到，相加后得到，求出答案.
【详解】（1）由图示得：，解得：，
又，所以，所以，
所以.
又因为过点，所以，即，
所以，解得，
又，所以，所以.
（2）图象上所有的点向右平移个单位长度，得到，
将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到，
当时，，
令，则，
令，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
且，
,
所以时，.当时，方程恰有三个不相等的实数根.
因为有三个不同的实数根，
且关于对称，关于对称，
则，
两式相加得：，
即，所以.
18．已知为奇函数，其中.
(1)求函数的最小正周期和的表达式；
(2)若，求的值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据列关于的等式，即可求出解析式，得到周期；
（2）根据，求出，与然后再求解.
【详解】（1）因为为奇函数，
所以，
化简得到求出
，所以
，最小正周期是；
（2）若
所以
19．已知函数同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③最大值为2；④最小正周期为.
(1)给出函数的解析式，并说明理由；
(2)求函数的单调递减区间.
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）由可以排除条件②，再利用条件①③④根据特殊值、最值与周期公式即可求解；
（2）运用整体思想直接代入正弦函数的单调递减区间即可求解.
【详解】（1）依题意，
若函数满足条件②，则，
这与矛盾，所以不能满足条件②，
所以应满足条件①③④
由条件④得，且，所以，
由条件③得，
再由条件①得，
且， 所以，
所以；
（2）由，
得，
所以的单调递减区间为.
20．已知函数（，）的部分图象如图所示.
(1)求的解析式，并求的单调递增区间；
(2)若对任意，都有，求实数的取值范围.
【答案】(1)，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）先求出的周期，再代点进去求出，从而得到的解析式后，进而利用整体法即可求得的单调递增区间；
（2）先根据三角恒等变换化简绝对值内的表达式，再利用正弦函数的性质进行解不等式即可.
【详解】（1）由图象可得的最小正周期，∴，又可知，
由，解得，，
又因为，得，∴.
由，，解得，，
所以函数的单调递增区间为.
（2）
.
由得，.
∵，∴，
作出的部分图像如下：
结合图像可知：，解得.
所以实数的取值范围为.
二、三角恒等变换
21．已知函数．
(1)如果，试求的值；
(2)求函数的单调区间．
【答案】(1)；
(2)递增区间是，递减区间是.
【分析】（1）利用二倍角公式、和角的正弦公式及辅助角公式变形函数，再利用诱导公式、二倍角公式求解作答.
（2）根据给定函数的定义域，结合余弦函数的单调性求解作答.
【详解】（1）函数中，，即，
，由，得，
所以.
（2）由（1）知，函数的定义域为，即有，
由，得，
由，得，
所以函数的递增区间是，递减区间是.
22．设.
(1)判断函数的奇偶性，并写出最小正周期；
(2)求函数在上的最大值.
【答案】(1)非奇非偶函数，
(2)
【分析】（1）根据三角函数恒等变换化简，结合函数奇偶性的定义以及正弦函数的周期，即可求得答案；
（2）化简，结合，求得，结合正弦函数的性质，即可求得答案.
【详解】（1）由题意得，
故
，令，,
由于不恒等于，也不等于，
故为非奇非偶函数，
其最小正周期为；
（2）由题意可得
，
因为，所以，故，
故的最大值为，
即函数在上的最大值为.
23．设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在.
(1)求函数的解析式；
(2)当，若函数恰有两个零点，求的取值范围.
条件①：；
条件②：的最小值为；
条件③：的图象的相邻两个对称中心之间的距离为.
【答案】(1)选择条件②③，
(2)
【分析】（1）由正弦函数和余弦函数的奇偶性可排除条件①，先利用辅助角公式化简，再根据正弦函数的图象和性质即可求解；
（2）根据的取值范围得到的取值范围，再求出函数在上的单调性，依题意的图象与直线在上有两个交点，即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）若选择条件①，
因为，所以，
由可得对恒成立，与矛盾，
所以选择条件②③.
由题意可得，
其中，，
因为的最小值为，所以，解得，
所以，设，则，
由的图象的相邻两个对称中心之间的距离为，可得，
所以，解得，
所以.
（2）当时，，
令，解得，所以在上单调递增，
且，则，
令，解得，所以在上单调递减，
且，则，
因为函数恰有两个零点，所以与在上有两个交点，
所以，即实数的取值范围为.
24．已知函数，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，______，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.①函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称且；②函数的图象的一个对称中心为且.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上恰有3个零点，求t的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简可得，根据最小正周期求出，若选①，则根据三角函数的图象平移变换求得，可得解析式；若选②，则根据三角函数的对称性求得，即得解析式；
（2）根据三角函数的伸缩变换可得，结合x的取值范围，确定，结合函数的零点个数即可求得t的取值范围.
【详解】（1）由题意可得
，
，
由于其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，故,
故.
若选①，函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数为，
由题意知该函数为偶函数，故，
由于且，即，故，
故；
若选②，函数的图象的一个对称中心为且，
则，
由于且，即，故，
故；
（2）由题意可得，
由于在区间上恰有3个零点，故，
即.
25．设函数的图象关于直线对称，其中为常数且
(1)求函数的解析式；
(2)在中，已知，且，求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）应用倍角正余弦公式化简函数式，根据对称轴有且，结合参数范围求参数值，即可得函数解析式；
（2）由题设得求得，根据已知求得，然后利用三角恒等变换结合条件即得.
【详解】（1）因为，
所以，
由题意且，则且，
由，则，故，
所以.
（2）由，则，，
所以，故，可得，
所以，而，故，
所以，且，
所以，
所以.
26．已知扇形OAB的半径为1，，P是圆弧上一点（不与A，B重合），过P作，M，N为垂足．

(1)若，求PN的长；
(2)设，PM，PN的线段之和为y，求y的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）在直角与直角中，利用锐角三角函数的定义求解作答.
（2）由（1）中信息，把y用x的函数表示出，再借助正弦函数的性质求解作答.
【详解】（1）在中，，则，显然，
则，从而，
在中，，所以.
（2）依题意，
，
因此，
显然，于是，
所以y的取值范围是.
27．设函数，其中.
(1)若的最小正周期为，求的单调增区间；
(2)若函数图像在上存在对称轴，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数表达式，然后根据最小正周期公式算出，然后利用正弦函数的单调性求解；
（2）利用正弦函数的对称轴公式求参数的范围.
【详解】（1）由题意，，
又，于是，则，则，
根据正弦函数的单调递增区间，令，
解得，,即为的单调递增区间.
（2）当，，
注意到题干，则，
根据正弦函数的对称轴，
显然只有时一条对称轴，
于是，解得，
结合可得
28．在①函数的图像关于直线对称；
②函数的图像关于点对称；
③函数的图像经过点；
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知函数最小正周期为，
(1)求函数的解析式；
(2)函数在上的最大值和最小值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）首先得出，根据最小正周期为得出，选①：根据的对称轴，结合的范围即可求得；选②：根据的对称中心，结合的范围即可求得；选③：将点的坐标代入，得出，再结合的范围即可求得；
（2）根据函数解析式，求出的范围，结合的图像，即可求出的最大值与最小值．
【详解】（1）由题意得，
因为 最小正周期为，
所以，即，
选①：函数的图像关于直线对称，
则，即，
又因为，
所以，即；
选②：函数的图像关于点对称，
则，即
又因为，
所以，即；
选③：函数的图像经过点，
则，即，
所以，
又因为，
所以，即，
综上所述，选①；选②；选③．
（2）选①，，
当时，，
所以，
所以函数在上的最大值为和最小值为；
选②，，
当时，，
所以，
所以函数在上的最大值为和最小值为；
选③，，
当时，，
所以，
所以函数在上的最大值为和最小值为；
综上所述，选①，函数在上的最大值为和最小值为；
选②，函数在上的最大值为和最小值为；
选③，函数在上的最大值为和最小值为．
29．已知函数 ，其图像的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，______，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.
①函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像关于y轴对称且；
②函数的图像的一个对称中心为且.
(1)求函数的解析式；
(2)若关于x的方程有实根，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由三角恒等变换化简，然后由条件可得，根据正弦型函数的性质结合条件即可求得；
（2）根据题意，将方程根问题转化为两函数交点问题，再结合换元法求得 的值域，即可得到结果.
【详解】（1）因为
，
又其图像的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，
所以，即，所以，即，
若选①，则函数向左平移个单位长度后为，
又其为偶函数，所以，即，
又因为，且，所以，所以；
若选②，因为函数的图像的一个对称中心为，
则，即，所以，
又因为，且，所以，所以，
故无论选①还是选②，都有
（2）因为
，令，则，
即，则
则方程有实根，即与有交点，所以，则
30．已知函数为奇函数，且其图象相邻两对称轴间的距离为.
(1)求和；
(2)当时，记方程的根为，，，求的范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换得，再利用相邻对称轴的距离求出，根据其为奇函数，利用即可求出；
（2）由（1）得，利用整体换元法和三角函数图象知，再根据三角函数的对称性和周期性得，，最后即可得其范围.
【详解】（1）
，
因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得.
又因为函数为奇函数，
所以，则，，解得.
由得.
此时，易知其为奇函数.
（2）由（1）知，，即.
因为，可得，
结合正弦函数图象知，，即.
且，，
则，，
故.
31．已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)若，求函数的单调区间.
【答案】(1)
(2)的单调递增区间为，单调递减区间为
【分析】（1）先列出关于x的不等式组，解之即可求得函数的定义域；
（2）先化简的解析式，再利用正弦函数的单调性即可求得函数的单调区间.
【详解】（1），即，则，即，
又有意义，则，，
综上可得，，，则函数的定义域为
（2）


∵，则，
由，解得，
由，解得，
即的单调递增区间为，单调递减区间为
32．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两角和的正切公式和诱导公式即可求解，
（2）根据三角函数的性质即可求解.
【详解】（1），
又,所以,
由于为三角形的内角，所以,
（2）由于，所以,
故,
由于为锐角三角形，所以且，故，
则，故，
故的取值范围为
33．已知，．
(1)若函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求的值；
(2)若函数的图象关于对称，且函数在上单调，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用辅助角公式将函数化简，依题意，即可求出，从而得到函数解析式，再代入计算可得；
（2）由对称性得到，，再由函数在区间上的单调性求出的范围，即可得解.
【详解】（1）因为，
因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，
所以，则，所以，解得，
所以，所以.
（2）由，函数的图象关于对称，
所以，，所以，，
由，，则，
又函数在上单调，所以，解得，
所以当时.
34．已知函数，且．
(1)求的值和的最小正周期；
(2)求在上的单调递增区间．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）根据代入求出，再利用三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的性质计算可得；
（2）由正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为，且，
所以，解得，
所以
，
即，所以的最小正周期；
（2）由，，
解得，，
所以的单调递增区间为，，
当时的单调递增区间为，
当时的单调递增区间为，
所以在上的单调递增区间为，.
35．已知
(1)若且 时，与的夹角为钝角，求的取值范围；
(2)若函数，求的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用向量数量积及共线向量的坐标表示列式，求出范围作答.
（2）利用数量积的坐标表示求出函数，再利用换元法结合二次函数性质求解作答.
【详解】（1）当 时， ，与的夹角为钝角，
于是，且与不共线，
则 ，解得，又，即，
则有，又当与共线时，，解得，
因此与不共线时，，
所以的取值范围是.
（2）依题意，当时，
，
令，则，
于是，而函数在上为增函数，
则当时，y有最小值，
所以的最小值为
36．在中，对应的边分别为，且．且
(1)求；
(2)若，上有一动点（异于B、C），将沿AP折起使BP与CP夹角为，求与平面所成角正弦值的范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方法一：边角转化得到之后，分类讨论和的大小；
（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量来求线面角；
方法二：利用等体积法结合几何体中的数据关系表示出线面角的正弦进行求解.
【详解】（1）方法一：由，结合二倍角公式可得，，
即.
若，则，于是，
根据正弦函数在上递增可得，
，类似的有，
于是，
这与矛盾；
若，则，于是，
根据正弦函数在上递增可得，
，
类似的有，于是，
这与矛盾；
若，即，此时确实成立.
综上所述，.
方法二：将代入可得
，
再利用两角和的正弦公式和二倍角的余弦公式，化简即可得
所以，
即，
再由和差化积公式可得：
，
所以
不妨设，则，
所以，
即，又，所以，
可得，所以.
（2）
由题意，折叠后的几何体如下，设，则
在中，若，由余弦定理得，.
下以为原点，分别为轴，过垂直于平面的直线为轴.
设，则，，由
①
②
③，
由①②解得：，
由①③解得：，
根据线面角的定义，（不妨取是正数），
则与平面所成角正弦值为.
记，则 ，
注意到，于是，
又
，而，
故，故，
根据多项式除法，约去因式，
得到，即，
根据求根公式可得，的正实根为，
故在上递增，在上递减，
经计算得到，故在上的值域为，注意到，
故，于是，故，即，
于是直线与平面所成角正弦值的范围是.
在中，若，同理可得，直线与平面所成角正弦值的范围是.
方法二：
作底面，垂足为，连接，设到平面的距离为，到平面的距离为，，由题意知.
先说明和平面不可能垂直，否则由平面可得，由，可得，这与矛盾，于是是平面的斜线，即.
由可得，，即.
设，根据线面角的定义，即为与平面所成角.
于是，即.
37．已知函数.在下面两个条件中选择其中一个，完成下面两个问题：
条件①：在图象上相邻的两个对称中心的距离为；
条件②：的一条对称轴为.
(1)求ω；
(2)将的图象向右平移个单位（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角函数的恒等变换对进行化简，再分别由条件①②求的值．
（2）由三角函数的平移变换得的解析式，再由函数的定义域求值域即可．
【详解】（1）
选①：图象上相邻两个对称中心的距离为，
则，则，
选②：的一条对称轴为，
则，
，又，则，
于是
（2）将的图象向右移个单位长度（纵坐标不变），
得到函数的图象
，
，
，
的值域为．
38．正弦信号是频率成分最为单一的信号，复杂的信号，例如电信号，都可以分解为许多频率不同、幅度不等的正弦型信号的叠加.正弦信号的波形可以用数学上的正弦型函数来描述：，其中表示正弦信号的瞬时大小电压V（单位：V）是关于时间t（单位：s）的函数，而表示正弦信号的幅度，是正弦信号的频率，相应的为正弦信号的周期，为正弦信号的初相.由于正弦信号是一种最简单的信号，所以在电路系统设计中，科学家和工程师们经常以正弦信号作为信号源（输入信号）去研究整个电路的工作机理.如图是一种典型的加法器电路图，图中的三角形图标是一个运算放大器，电路中有四个电阻，电阻值分别为，，，（单位：Ω）.和是两个输入信号，表示的是输出信号，根据加法器的工作原理，与和的关系为：.例如当，输入信号，时，输出信号：.
(1)若，输入信号，，求的最大值；
(2)已知，，，输入信号，.若（其中），求；
(3)已知，，，且，.若的最大值为，求满足条件的一组电阻值，.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用辅助角公式计算即可；
（2）将数值代入公式，待定系数法求值；
（3）利用三角恒等变换化简得：，再由条件确定一组，即可.
【详解】（1）由题意得，，则的最大值为；
（2）由题意知，，
整理得，
即，则，解得；
（3）由题意得，
，
又，则，当时，取得最大值，
则，整理得，即，解得，
又，则，取即满足题意，则（答案不唯一）.
39．如图是函数的部分图象，已知．
(1)求；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，则，再根据求得周期，即解；
（2）根据结合三角恒等变换化简计算即可的解.
【详解】（1）设，函数的最小正周期为T，则，
则，
故，解得(负值舍去)，
所以，所以；
（2）由（1）得，
，得，
即，
所以，
又因，则，
所以，所以.
40．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知函数______．
(1)求函数的最小正周期及单调递减区间；
(2)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为的面积．若在处有最小值，求面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)最小正周期，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）三个条件中任选一个，利用三角恒等变换化简，根据三角函数的性质求解；
（2）根据的解析式及三角函数的性质求得，．由余弦定理结合基本不等式可得，从而可得面积的最大值．
【详解】（1）选择条件①：
．
所以函数的最小正周期．
令，解得，
所以函数的单调递减区间为．
选择条件②：
，
所以函数的最小正周期．
令，解得，
所以函数的单调递减区间为．
选择条件③：

，
所以函数的最小正周期．
令，解得，
所以函数的单调递减区间为．
（2）因为，
所以当，即时，．
因为在处有最小值，且，所以，．
由余弦定理可得，
所以，
当且仅当时取等号，故面积的最大值为．