新高考数学二轮复习大题题型归纳训练专题21 条件概率与正态分布（2份，原卷版+解析版）

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1．在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取局胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）
(1)求甲队最终获胜且种子选手上场的概率；
(2)已知甲队获得最终胜利，求种子选手上场的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设事件“种子选手第局上场”，事件“甲队最终获胜且种子选手上场”，求出、的值，利用全概率公式可求得的值；
（2）设事件“种子选手未上场”，事件“甲队获得胜利”，计算出、的值，利用贝叶斯公式可求得的值.
【详解】（1）解：设事件“种子选手第局上场”，
事件“甲队最终获胜且种子选手上场”.
由全概率公式知，
因为每名队员上场顺序随机，故，
，，.
所以，
所以甲队最终获胜且种子选手上场的概率为.
（2）解：设事件“种子选手未上场”，事件“甲队获得胜利”，
，，，
，
因为.
由（1）知，所以.
所以，已知甲队获得最终胜利，种子选手上场的概率为.
2．（1）若和是两个互斥事件，求证：；
（2）在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为，其中为显性基因，为隐性基因，且这三种基因型的比为，如果在子二代中任意选取株豌豆进行杂交试验，试求出子三代中基因型为的概率.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）根据互斥事件的概率公式及条件概率公式证明即可；
（2）子二代基因配型有六种情况：分别记为事件，“子三代中基因型为”记为事件，利用全概率公式求解即可.
【详解】（1）已知事件与事件互斥，所以事件与事件互斥，有
所以
（2）子二代基因配型有六种情况：分别记为事件，
“子三代中基因型为”记为事件，则
.
所以子三代中出现基因型为的概率是.
3．某地区举行数学核心素养测评，要求以学校为单位参赛，最终学校和学校进入决赛．决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有4道选择题和2道填空题，乙箱中有3道选择题和3道填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两校每位参赛同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱；环节二：由学校和学校分别派出一名代表进行比赛．两个环节按照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定名次．
(1)环节一结束后，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道从学校抽取12人，其答对题目的平均数为1，方差为1，从学校抽取8人，其答对题目的平均数为1.5，方差为0.25，求这20人答对题目的均值与方差；
(2)环节二，学校代表先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙箱中，然后学校代表再从乙箱中抽取题目，已知学校代表从乙箱中抽取的第一题是选择题，求学校代表从甲箱中取出的是两道选择题的概率．
【答案】(1)这20人答对题目的均值为，方差为
(2)
【分析】（1）根据均值和方差公式计算可得结果；
（2）根据贝叶斯公式可求出结果.
【详解】（1）设学校答对题目的样本数据为，学校答对题目的样本数据为，
由题意得，由题意得，
所以这20人答对题目的均值为，
由，得，
由，得，

，

，
这20人答对题目的方差为 .
（2）记“学校代表从乙箱中抽取的第一道题是选择题”，
“学校代表先从甲箱中依次抽取了两道选择题”，
“学校代表先从甲箱中依次抽取了一道选择题，一道填空题”，
“学校代表先从甲箱中依次抽取了两道填空题”，
易知彼此互斥，，
，，，
，，，
，
.
所以学校代表从甲箱中取出的是两道选择题的概率为.
4．一只不透朋的袋中装有10个相同的小球，分别标有数字0~9，先后从袋中随机取两只小球.用事件A表示“第二次取出小球的标号是2”，事件B表示“两次取出小球的标号之和是m”.
(1)若用不放回的方式取球，求；
(2)若用有放回的方式取球，求证：事件A与事件B相互独立的充要条件是.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式计算作答.
（2）利用列举法求出概率，结合独立性推理判断充分性，再利用条件概率公式推理判断必要性作答.
【详解】（1）用C表示“第一次取出小球的标号是2”，则，，，，
所以
.
（2）记第一次取出的球的标号为x，第二次的球的标号为y，用数组两次取球，则，
充分性：当时，
事件B发生包含的样本点为，
因此，事件AB发生包含的样本点为，则，
又，于是，所以事件A与事件B相互独立；
必要性
因为事件A与事件B相互独立，则，即，
而，，于是，
事件AB发生包含的样本点为，即，则，
又，，，
因此关于x的不等式组，有10组整数解，
即关于x的不等式组，有10组整数解，从而，得，
所以事件A与事件B相互独立的充要条件是.
5．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；
(2)如果取到的零件是次品，计算它是第1台车床所加工的概率（结果用分数表示）；
(3)参照第（2）问给出判断，求第1，2，3台车床操作员对加工次品分别应承担的份额.
【答案】(1)0.0525
(2)
(3)第1，2台车床操作员应承担，第3台车床操作员应承担.
【分析】（1）设“任取一零件为次品”，“零件为第i台车床加工”，
则，且，，两两互斥，求出、、，以及、、，由全概率公式得；
（2）“求次品为第1台车床所加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率由条件概率公式计算可得答案；
（3）由条件概率公式计算可得答案；
【详解】（1）设“任取一零件为次品”，“零件为第i台车床加工”，
则，且，，两两互斥，根据题意得，
，，，
，，，
由全概率公式，得
；
（2）“求次品为第1台车床所加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率，
；
（3）根据（2）
，
，
故第1，2台车床操作员应承担，第3台车床操作员应承担.
6．某辖区组织居民接种新冠疫苗，现有四种疫苗且每种都供应充足.前来接种的居民接种与号码机产生的号码对应的疫苗，号码机有四个号码，每次可随机产生一个号码，后一次产生的号码由前一次余下的三个号码中随机产生，张医生先接种与号码机产生的号码对应的种疫苗后，再为居民们接种，记第位居民（不包含张医生）接种四种疫苗的概率分别为.
(1)第2位居民接种哪种疫苗的概率最大；
(2)张医生认为，一段时间后接种四种疫苗的概率应该相差无几，请你通过计算第10位居民接种四种的概率，解释张医生观点的合理性.
参考数据：.
【答案】(1)疫苗
(2)答案见解析
【分析】（1）分类讨论，根据全概率公式计算；
（2）根据（1）的逻辑，讨论的通项公式，运用等比数列求出第10为居民使用A，B，C，D疫苗的概率即可.
【详解】（1）第1位居民接种疫苗的概率分别为，
若第2位居民接种疫苗，则第1位居民接种B，C，D疫苗，，
第2位居民接种疫苗，则第1位居民接种C，D疫苗，
同理，第2位居民接种疫苗的概率也等于，
故第2位居民接种疫苗的概率最大；
（2）因为，
所以，
故数列是公比为的等比数列.
又，所以
即，
从而，
同理，
，
所以 ，
第10位居民接种疫苗概率应该相差无几.
第位居民接种疫苗概率应该相差将会更小，所以张医生的话合理.
7．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得.现有抽奖人甲选择了2号箱，在打开2号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子.按游戏规则，主持人将随机打开甲的选择之外的一个空箱子.
(1)计算主持人打开4号箱的概率；
(2)当主持人打开4号箱后，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2号箱，还是改选1号或3号箱？（以获得奖品的概率最大为决策依据）
【答案】(1)
(2)甲应该改选1号或3号箱.
【分析】（1）设出事件，根据已知条件得出事件的概率以及条件概率，然后根据全概率公式即可得出答案；
（2）根据条件概率公式，求出抽奖人甲选择各个箱子，获得奖品的概率，即可得出答案.
【详解】（1）设分别表示1，2，3，4号箱子里有奖品，
设分别表示主持人打开号箱子，
则，且两两互斥.
由题意可知，事件的概率都是，，，，.
由全概率公式，得.
（2）在主持人打开4号箱的条件下，1号箱､2号箱､3号箱里有奖品的条件概率分别为，
，
，
通过概率大小比较，甲应该改选1号或3号箱.
8．杭州2022年第19届亚运会（The 19th Asian Games Hangzhu 2022）将于2023年9月23日至10月8日举办．本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．
传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军．双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？
这里我们简单研究一下两个赛制．假设四支队伍分别为，其中对阵其他三个队伍获胜概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时同组，同组．
(1)若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？
(2)分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？
【答案】(1)；；
(2)淘汰赛制获得冠军概率为，双败赛制获得冠军概率为；双败赛制下，会使得强者拿到冠军概率变大，弱者拿到冠军的概率变低，更加有利于筛选出“强者”，人们“对强者不公平”的质疑是不对的．
【分析】（1）若拿冠军则只需要连赢两场，对于想拿到冠军，首先得战胜，然后战胜中的胜者，然后根据独立事件的乘法公式计算即可；
（2）根据独立事件的乘法公式分别算出在不同赛制下拿冠军的概率，然后作差进行比较.
【详解】（1）记拿到冠军分别为事件淘汰赛赛制下，只需要连赢两场即可拿到冠军，因此，
对于想拿到冠军，首先得战胜，然后战胜中的胜者，
因此．
（2）记两种寒制下获得冠军的概率分别为，则.
而双败赛制下，获得冠军有三种可能性：
（1）直接连赢三局；（2）从胜者组掉入败者组然后杀回总决赛；（3）直接掉入败者组拿到冠军.
因此，，.
则不论哪种赛制下，获得冠军的概率均小于，.
若，双败赛制下，队伍获得冠军的概率更大，其他队伍获得冠军的概率会变小，
若，双败赛制下，以伍获得冠军的概率更小，其他队伍获得冠军的概率会变大，
综上可知：双败赛制下，会使得强者拿到冠军概率变大，弱者拿到冠军的概率变低，更加有利于筛选出“强者”，人们“对强者不公平”的质疑是不对的．
9．甲袋中装有3个红球，2个白球，乙袋中装有5个红球，5个白球，两个袋子均不透明，其中的小球除颜色外完全一致.现从甲袋中一次性抽取2个小球，记录颜色后放入乙袋，混匀后从乙袋一次性抽取3个小球，记录颜色.设随机变量表示在甲袋中抽取出的红球个数，表示时，在乙袋中抽取出的红球个数，表示在乙袋中抽取出的红球个数.
(1)求的分布列；
(2)求的数学期望（用含的代数式表示）；
(3)记的所有可取值为，证明：，并求.
【答案】(1)分布列见解析；
(2)；
(3)证明见解析，.
【分析】（1）根据题意，求得的取值，再求对应概率，即可求得分布列；
（2）服从超几何分布，直接写出期望即可；
（3）根据全期望公式，结合条件概率的和全概率公式，整理化简即可证明，再根据所证结论，直接计算即可.
【详解】（1）的所有可能取值为
，
所以的分布列为
（2）依题意，服从超几何分布，且，
故.
（3）的所有可能取值为0，1，2，3，则由全概率公式，

，；
因此
，
故.
【点睛】本题属于中档题，考查随机变量的分布列、期望、全概率公式.同四省联考一样，本题直接考查超几何分布的期望.作为重要的离散型随机变量之一，超几何分布的参数含义、均值一定要熟记，方差课本上不做要求，如果对自己要求较高的同学应掌握推导过程，具体证明可参见2023届“星云”五一联考22题.本题第（3）问的背景是重期望（或全期望）公式：对随机变量和，总有.
10．某车间在三天内，每天生产6件某产品，其中第一天、第二天、第三天分别生产出了2件、1件、1件次品，质检部门每天要从生产的6件产品中随机抽取3件进行检测，若发现其中有次品，则当天的产品不能通过.
(1)求第一天的产品通过检测的概率；
(2)求这三天内，恰有两天能通过检测的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由古典概型公式计算第一天通过检查的概率；
（2）由古典概型公式求出第i天的产品能通过检测的概率为（，2，3），利用独立事件乘法公式计算三天内，恰有两天能通过的概率；
【详解】（1）因为第一天有4件正品，随意抽取3件产品检查，第一天通过检查的概率为.
（2）依题意知，记第i天的产品能通过检测的概率为（，2，3），
则，，
则三天中恰有两天能通过的检测的概率是.
11．在数学研究性学习课程上，老师和班级同学玩了一个游戏.老师事先准备3张一模一样的卡片，编号为1、2、3后，放入一个不透明的袋子中，再准备若干枚1元硬币与5角硬币和一个储蓄罐；然后邀请同学从袋子中有放回地抽取1张卡片，若抽到的卡片编号为1或2，则将1枚1元硬币放入储蓄罐中，若抽到的卡片编号为3，则将2枚5角硬币放入储蓄罐中，如此重复k次试验后，记储蓄罐中的硬币总数量为.
(1)若，求的概率；
(2)若，记第n次抽卡且放置硬币后，5角硬币的数量为，1元硬币的数量为，求在的条件下的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对立事件，结合二项分布的概率公式即可求解.
（2）分两种情况，结合二项分布的概率乘法计算公式即可求解.
【详解】（1）“”表示储蓄罐中有4枚1元硬币或3枚1元硬币和2枚5角硬币，
故所求概率.
（2）依题意，的概率为.
若有2次抽到3号卡，即2次放置5角硬币，3次放置1元硬币，则在前3次中放了2次1元和1次5角，后2次放了1次1元和1次5角，即2次放5角，一次在前3次，另一次在后2次，
故其概率为；
若有3次抽到3号卡，即3次放置5角硬币，2次放置1元硬币，必须在前3次放了2次1元和1次5角，后2次放了2次5角，即2次放1元都在前3次，故所求概率为，其他情况不可能使得，
故.
12．果酒由水果本身的糖分被酵母菌发酵而成.研究表明，果酒中的芳香气味主要来自于酯类化合物.某学习小组在实验中使用了3种不同的酵母菌（A型，B型，C型）分别对三组（每组10瓶）相同的水果原液进行发酵，一段时间后测定发酵液中某种酯类化合物的含量，实验过程中部分发酵液因被污染而废弃，最终得到数据如下（“X”表示该瓶发酵液因废弃造成空缺）：
根据发酵液中该酯类化合物的含量t（μg/L）是否超过某一值来评定其品质，其标准如下：
假设用频率估计概率
(1)从样本未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，求其品质高的概率；
(2)设事件D为“从样本含A型，B型,C型酵母菌的未废弃的发酵液中各随机抽取一瓶，这三瓶中至少有一瓶品质高”，求事件D发生的概率；
(3)设事件E为“从样本未废弃的发酵液中不放回地随机抽取三瓶，这三瓶中至少有一瓶品质高”试比较事件E发生的概率与（2）中事件D发生的概率的大小.（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求未废弃的发酵液总数，再求品质高的瓶数，结合古典概率求解可得答案；
（2）设出事件，利用对立事件求解概率可得答案；
（3）先求事件E的概率，比较大小可得答案.
【详解】（1）设事件“从样本未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”，
由题可知，未废弃的发酵液共有6+4+5=15瓶，其品质高的有9瓶，
所以.
（2）事件“从样本含A型酵母菌的未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”，
事件“从样本含B型酵母菌的未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”，
事件“从样本含C型酵母菌的未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”，
由题意得;
.
（3）由题意，所以.
13．新冠病毒在传播过程中会发生变异，现在已有多种变异毒株，传播能力和重症率都各不相同．某地卫生部门统计了本地新冠确诊病例中感染每种毒株的患者在总病例中的比例和各自的重症率，数据统计如下表所示．
已知当地将阿尔法、贝尔塔、德尔塔三种类型病例全部集中收治在甲医院，奥密克戎病例全部单独收治在乙医院．以频率估计概率回答下列问题．
(1)某医生从甲医院新冠确诊病例名单中任取1人，求其为重症病例的概率；
(2)某医生从乙医院新冠确诊病例名单中任取2人，已知2人中有重症病例，求2人都是重症病例的概率（结果保留4位小数）．
【答案】(1)
(2)0.0101
【分析】（1）设事件“甲医院中任取1位病例为重症病例”，事件“甲医院中病例来自毒株类型”，，，，再利用利用条件概率公式和全概率公式即可得解；
（2）设事件“2人中有重症”，事件“2人都是重症”
则，因为，所以，利用即可得解.
【详解】（1）设事件“甲医院中任取1位病例为重症病例”，
事件“甲医院中病例来自毒株类型”，
其样本空间，且，，两两互斥，根据题意得，
，
，
．
则，；
，；
，．
根据全概率公式得
（2）设事件“2人中有重症”，事件“2人都是重症”
则，因为，所以，
．
所以，已知2人中有重症病例，2人都是重症病例的概率为0.0101．
14．甲、乙两个学校分别有位同学和n位同学参加某项活动，假定所有同学成功的概率都是，所有同学是否成功互不影响．记事件A＝“甲成功次数比乙成功次数多一次”，事件B＝“甲成功次数等于乙成功次数”．
(1)若，求事件A发生的条件下，恰有5位同学成功的概率；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知求出及甲成功次数比乙成功次数多一次且有5位同学成功的概率，再利用条件概率公式求事件A发生的条件下恰有5位同学成功的概率
（2）根据题设写出、，利用组合数的性质证明结论即可.
【详解】（1）由题设，甲乙学校分别有4个、3个学生参加活动，

，
而甲成功次数比乙成功次数多一次且有5位同学成功的概率为，
所以事件A发生的条件下，恰有5位同学成功的概率.
（2）由题设知：，
，
因为，，所以
15．双淘汰赛制是一种竞赛形式，比赛一般分两个组进行，即胜者组与负者组.在第一轮比赛后，获胜者编入胜者组，失败者编入负者组继续比赛.之后的每一轮，在负者组中的失败者将被淘汰；胜者组的情况也类似，只是失败者仅被淘汰出胜者组降入负者组，只有在负者组中再次失败后才会被淘汰出整个比赛.A、B、C、D四人参加的双淘汰赛制的流程如图所示，其中第6场比赛为决赛.

(1)假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为50%，求：
①队伍A和D在决赛中过招的概率；
②D在一共输了两场比赛的情况下，成为亚军的概率；
(2)若A的实力出类拔萃，即有A参加的比赛其胜率均为75%，其余三人实力旗鼓相当，求D进入决赛且先前与对手已有过招的概率.
【答案】(1)①；②.
(2)
【分析】（1）①队伍A和D在第一轮对阵，若A和D在决赛也对阵，必然有1个队伍在负者组对阵其他组都赢得比赛，且另一个队伍和其他组比赛也都胜利.第一轮胜利者需要再胜1次，失败者需要再胜两次，才能会师决赛.②为条件概率，根据条件概率公式去入手解决问题.
（2）可通过分类把复杂事件分为几个容易分析的事件，再解决问题.
【详解】（1）解：假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为50%，即概率为，
①由题意，第一轮队伍A和队伍D对阵，则获胜队伍需要赢得比赛3的胜利，失败队伍需要赢得比赛4和比赛5的胜利，他们才能在决赛中对阵，
所以A和D在决赛中过招的概率为；
②设表示队伍D在比赛中胜利，表示队伍D所参加的比赛中失败，
则事件：队伍D获得亚军，事件：队伍D所参加所有比赛中失败了两场，
事件：包括，，，，五种情况.
其中这五种情况彼此互斥，可得:
，
其中积事件包括，两种情况.
可得，
所以所求概率为.
（2）解：由题意，A获胜的概率为，B、C、D之间获胜的概率均为，
要使得D进入决赛且先前与对手已有过招，可分为两种情况：
①若A与D在决赛中相遇，分为A1胜，3胜，D1负4胜5胜，或A1负4胜5胜，D1胜，3胜，
可得概率为；
②若B与D决赛相遇，D1胜，3胜，B2胜3负5胜，或D1胜，3负，5胜，B2胜3胜，可得概率为，
③若C与D决赛相遇，同B与D在决赛中相遇，
可得概率为；
所以D进入决赛且先前与对手已有过招的概率.
【点睛】思路点睛：学会对复杂事件进行分解是解决复杂事件的概率的基本思路.一般把复杂事件分解成互斥事件的和事件或相互独立事件的积事件，另外要注意对立事件公式的运用，即正难则反；另外要注意看清题目，准确理解题目的意思.
16．某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为,乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响.
(1)求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率;
(2)若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲队第5个球员需出场罚球的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种:甲、乙均未罚进点球,或甲、乙均罚进点球.
(2) 甲队第5个球员需出场罚球,则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分,即四轮罚球结束时比分可能为2:1或2:2或3:2.
【详解】（1）设每一轮罚球中,甲队球员罚进点球的事件为,未罚进点球的事件为;乙队球员罚进点球的事件为,未罚进点球的事件为.
设每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的事件为C,由题意,得在每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种:甲、乙均未罚进点球,或甲、乙均罚进点球,
则,
故每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率为.
（2）因为甲队第5个球员需出场罚球,则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分,即四轮罚球结束时比分可能为2:1或2:2或3:2.
①比分为2:1的概率为
.
②比分为2:2的概率为.
③比分为3:2的概率为
.
综上,甲队第5个球员需出场罚球的概率为.
17．中学阶段，数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中．例如，甲乙两人进行比赛，若甲每场比赛获胜概率均为，且每场比赛结果相互独立，则由对称性可知，在5场比赛后，甲获胜次数不低于3场的概率为．现甲乙两人分别进行独立重复试验，每人抛掷一枚质地均匀的硬币．
(1)若两人各抛掷3次，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率；
(2)若甲抛掷次，乙抛掷n次，，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数的概率，根据对称性可知则甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率和甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数的概率相等可得答案；
（2）分①出现甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数；②出现甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数；③出现甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数，由对称性可得答案．
【详解】（1）设甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数的概率，
，
由对称性可知则甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率和甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数的概率相等，故；
（2）可以先考虑甲乙各抛赛n次的情形，
①如果出现甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数，将该情形概率设为，则第次甲必须再抛掷出证明朝上，才能使得最终甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数；
②如果出现甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数，则第次无论结果如何，甲正面朝上次数仍然不大于乙正面朝上次数，将该情形概率设为；
③如果出现甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数，则第次无论结果如何，甲正面朝上次数仍然大于乙正面朝上次数，将该情形概率设为，由对称性可知，
故，而由，
可得．
18．为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）
(1)求甲队明星队员在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；
(2)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；
(3)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员上场的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）事件“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，事件“甲队第局获胜”，利用互斥事件的概率求法求概率即可；
（2）讨论上场或不上场两种情况，应用全概率公式求甲队获得最终胜利的概率；
（3）利用贝叶斯公式求甲队明星队员上场的概率.
【详解】（1）事件“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，
事件“甲队第局获胜”，其中 相互独立.
又甲队明星队员前四局不出场，故，
，所以.
（2）设为甲3局获得最终胜利，为前3局甲队明星队员上场比赛，
由全概率公式知，，
因为每名队员上场顺序随机，故，
，
所以.
（3）由（2），.
19．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示．
当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题：
(1)请直接写出与的数值．
(2)证明是一个等差数列，并写出公差d．
(3)当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义．
【答案】(1)，
(2)证明见解析；
(3)时，，当时，，统计含义见解析
【分析】（1）明确和的含义，即可得答案；
（2）由全概率公式可得，整理为，即可证明结论；
（3）由（2）结论可得，即可求得，时，的数值，结合概率的变化趋势，即可得统计含义.
【详解】（1）当时，赌徒已经输光了，因此.
当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率.
（2）记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元上一场赢的事件,
,
即，
所以，
所以是一个等差数列，
设，则，
累加得，故，得，
（3），由得,即,
当时，，
当时，，
当时，，因此可知久赌无赢家，
即便是一个这样看似公平的游戏，
只要赌徒一直玩下去就会的概率输光．
【点睛】关键点睛：此题很新颖，题目的背景设置的虽然较为陌生复杂，但解答并不困难，该题将概率和数列知识综合到了一起，解答的关键是要弄明白题目的含义，即审清楚题意，明确，即可求解,
20．某校举行“强基计划”数学核心素养测评，要求以班级为单位参赛，最终高三一班（45人）和高三二班（30人）进入决赛．决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有4个选择题和2个填空题，乙箱中有3个选择题和3个填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两班级每位同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱．并分别统计两班级学生测评成绩的相关数据；环节二：由一班班长王刚和二班班长李明进行比赛，并分别统计两人的测评成绩的相关数据，两个环节按照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定班级的名次．
(1)环节一结束后，按照分层抽样的方法从两个班级抽取20名同学，并统计每位同学答对题目的数量，统计数据为：一班抽取同学答对题目的平均数为1，方差为1；二班抽取同学答对题目的平均数为1.5，方差为0.25，求这20人答对题目的均值与方差；
(2)环节二，王刚先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙箱中，然后李明再抽取题目，已知李明从乙箱中抽取的第一题是选择题，求王刚从甲箱中取出的是两道选择题的概率．
【答案】(1)样本均值为1.2，样本方差为0.76
(2)
【分析】（1）首先求分层抽取的两个班的人数，再根据两个班抽取人数的平均数和方差，结合总体平均数和方差公式，代入求值；
（2）根据全概率公式和条件概率公式，即可求解.
【详解】（1）一班抽取人，二班抽取人，
一班样本平均数为，样本方差为；二班样本的平均数为，样本方差为；总样本的平均数为．
记总样本的样本方差为，
则．
所以，这20人答对题目的样本均值为1.2，样本方差为0.76．
（2）设事件A为“李明同学从乙箱中抽出的第1个题是选择题”，
事件为“王刚同学从甲箱中取出2个题都是选择题”，
事件为“王刚同学从甲箱中取出1个选择题1个填空题"，
事件为“王刚同学从甲箱中取出2个题都是填空题”，
则、、，彼此互斥，且，
，，，
，，，
所求概率即是A发生的条件下发生的概率：
．
二、正态分布
21．抗体药物的研发是生物技术制药领域的一个重要组成部分，抗体药物的摄入量与体内抗体数量的关系成为研究抗体药物的一个重要方面.某研究团队收集了10组抗体药物的摄入量与体内抗体数量的数据，并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，抗体药物摄入量为x（单位：），体内抗体数量为y（单位：）.

(1)根据经验，我们选择作为体内抗体数量y关于抗体药物摄入量x的回归方程，将两边取对数，得，可以看出与具有线性相关关系，试根据参考数据建立关于的回归方程，并预测抗体药物摄入量为时，体内抗体数量的值；
(2)经技术改造后，该抗体药物的有效率z大幅提高，经试验统计得z服从正态分布，那这种抗体药物的有效率超过0.54的概率约为多少？
附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；
②若随机变量，则有，，；
③取.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）用最小二乘法求解回归直线方程，再求非线性回归方程即可；
（2）根据正态分布的对称性求解给定区间的概率即可.
【详解】（1）将两边取对数，得，
设，，则回归方程变为，
由表中数据可知，，，
所以，，
所以，即，
故y关于x的回归方程为，
当时，.
（2）因为z服从正态分布，其中，，
所以，
所以，
故这种抗体药物的有效率z超过0.54的概率约为.
22．法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包.该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是，上下浮动不超过.这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为，标准差为的正态分布.
(1)已知如下结论：若，从X的取值中随机抽取个数据，记这k个数据的平均值为Y，则随机变量，利用该结论解决下面问题.
（i）假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为Y，求；
（ii）庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在上，并经计算25个面包质量的平均值为.庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由；
(2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望.
附：①随机变量服从正态分布，则，，；
②通常把发生概率小于的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.
【答案】(1)（i）；（ii）理由见解析
(2)分布列见解析，
【分析】(1)(i)由正态分布的对称性及原则进行求解；(ii)结合第一问求解的概率及小概率事件进行说明；
(2)设取出黑色面包个数为随机变量，则的可能取值为0,1,2，求出相应的概率，进而求出的分布列及数学期望.
【详解】（1）（i）因为，所以，因为，所以，因为，
所以；
（ii）由第一问知，庞加莱计算25个面包质量的平均值为978.72g，，而，为小概率事件，小概率事件基本不会发生，这就是庞加莱举报该面包师的理由；
（2）设取出黑色面包个数为随机变量，则的可能取值为0，1，2.
则，
，故分布列为：
其中数学期望.
23．为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青 春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从 中抽取了200 份试卷进行调查，这200 份试卷的成绩（卷 面共100分）频率分布直方图如右图所示．
(1)用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
(2)可以认为这次竞赛成绩 X 近似地服从正态分布 N，2 （用样本平均数和标准差 s 分别作为  、 的近似值），已知样本标准差 s  7.36 ，如有84%的学生的竞赛 成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的平均分约为多少？（结果取整数）
(3)从得分区间80，90  和90，100 的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这 10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间80，90  的概率．
参考数据：若 X ~N ，2 ，则 P    X      0.68 ，P   2  X    2   0.95 ， P   3  X    3   0.99 .
【答案】(1)
(2)73
(3)
【分析】（1）根据平均数的求法求得平均数.
（2）根据正态分布的对称性求得正确答案.
（3）根据分层抽样、条件概率知识求得正确答案.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，
平均分；
（2）由（1）可知
设学校期望的平均分约为m，则，
因为，，
所以，即，
所以学校期望的平均分约为73分；
（3）由频率分布直方图可知，分数在和的频率分别为0.35和0.15，
那么按照分层抽样，抽取10人，其中分数在，应抽取人，
分数在应抽取人，
记事件：抽测的3份试卷来自于不同区间；事件B:取出的试卷有2份来自区间80，90 ，
则，，
则．
所以抽测3份试卷有2份来自区间80，90  的概率为.
24．随着《2023年中国诗词大会》在央视持续热播，它将经典古诗词与新时代精神相结合，使古诗词绽放出新时代的光彩，由此，它极大地鼓舞了人们学习古诗词的热情，掀起了学习古诗词的热潮.某省某校为了了解高二年级全部1000名学生学习古诗词的情况，举行了“古诗词”测试，现随机抽取100名学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示.

(1)根据频率分布直方图，估计这100名学生测试成绩的平均数（单位：分）；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
(2)若该校高二学生“古诗词”的测试成绩X近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，规定“古诗词”的测试成绩不低于87分的为“优秀”，据此估计该校高二年级学生中成绩为优秀的人数；（取整数）
(3)现该校为迎接该省的2023年第三季度“中国诗词大会”的选拔赛，在五一前夕举行了一场校内“诗词大会”.该“诗词大会”共有三个环节，依次为“诗词对抗赛”“画中有诗”“飞花令车轮战”，规则如下：三个环节均参与，在前两个环节中获胜得1分，第三个环节中获胜得4分，输了不得分.若学生甲在三个环节中获胜的概率依次为，，，假设学生甲在各环节中是否获胜是相互独立的.记学生甲在这次“诗词大会”中的累计得分为随机变量，求的分布列和数学期.
（参考数据：若，则，，.
【答案】(1)74分
(2)159人
(3)分布列见解析，
【分析】（1）根据频率分布直方图的平均数进行估值计算即可；
（2）根据正态分布的对称性求解概率即可；
（3）根据随机变量的所有可能取值为：，分别求概率，即可得分布列与数学期望.
【详解】（1）由频率分布直方图估计平均数为：
（分）
（2）由题意可得测试成绩X近似服从正态分布
所以，则
所以人
故该校高二年级学生中成绩为优秀的人数约为人；
（3）随机变量的所有可能取值为：
，
，
，
所以的分布列如下：
数学期望.
25．随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道．在凤梨销售旺季，某凤梨基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售凤梨的数量情况如下：
(1)求实数的值，并用组中值估计这100个购物群销售风梨总量的平均数（盒）；
(2)假设所有购物群销售凤梨的数量服从正态分布，其中为（1）中的平均数，．若该凤梨基地参与销售的购物群约有1000个，销售风梨的数量在（单位：盒）内的群为“一级群”，销售数量小于266盒的购物群为“二级群”，销售数量大于等于596盒的购物群为“优质群”．该凤梨基地对每个“优质群”奖励1000元，每个“一级群”奖励200元，“二级群”不奖励，则该风梨基地大约需要准备多少资金？（群的个数按四舍五入取整数）
附：若服从正态分布，则 ．
【答案】(1)，376
(2)186800元
【分析】（1）根据样本容量列方程求出m，利用组中数求出平均数；
（2）根据正态分布的概率计算公式求出对应的概率值，计算“优质群”和“一级群”的个数，求出奖励金.
【详解】（1）由题意得：，解得．
故平均数为.
（2）由题意，，
且，
故，
所以“优质群”约有个，
，
所以“一级群”约有个；
所以需要资金为，
故至少需要准备186800元．
26．为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习．第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间（满时长15小时），将其分成六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．

(1)求a的值；
(2)以样本估计总体，该地区教职工学习时间近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数，经计算知．若该地区有5000名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在内的人数；
(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在内的教职工平均人数．（四舍五入取整数）
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
【答案】(1)
(2)估计该地区教职工中学习时间在内的人数约为4093
(3)这3人中学习时间在内的教职工平均人数约为1
【分析】（1）根据频率之和为1即可求解，
（2）根据正态分布的对称性即可求解概率，进而可求人数，
（3）求出超几何分布的分布列，即可求解期望.
【详解】（1）由题意得，
解得．
（2）由题意知样本的平均数为 ，
所以．
又，所以 ．
则，
所以估计该地区教职工中学习时间在内的人数约为4093．
（3）对应的频率比为，即为，
所以抽取的5人中学习时间在内的人数分别为2，3，
设从这5人中抽取的3人学习时间在内的人数为，
则的所有可能取值为0，1，2，
，，，
所以．
则这3人中学习时间在内的教职工平均人数约为1．
27．某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.
(1)若甲第一关通过的概率为，第二关通过的概率为，求甲可以进入第三关的概率；
(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励.
①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由；
②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.
附：若随机变量，则；；.
【答案】(1)
(2)①能，理由见解析②假
【分析】（1）设为第次通过第一关，为第次通过第二关，计算即可；
（2）①由，且，计算，求出前400名参赛者的最低得分，与甲的得分比较即可；
②假设乙所说为真，由计算，求出，利用小概率事件即可得出结论．
【详解】（1）设：第i次通过第一关，：第i次通过第二关，甲可以进入第三关的概率为，由题意知
.
（2）设此次闯关活动的分数记为.①由题意可知，因为，且，
所以，则；而，
且，
所以前400名参赛者的最低得分高于，而甲的得分为270分，所以甲能够获得奖励；
②假设乙所说为真，则，
，
而，所以，从而，
而，
所以为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其一般不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假.
28．2022年，随着最低工资标准提高，商品价格上涨，每个家庭的日常消费也随着提高，某社会机构随机调查了200个家庭的日常消费金额并进行了统计整理，得到数据如下表：
以频率估计概率，如果家庭消费金额可视为服从正态分布，分别为这200个家庭消费金额的平均数及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）．
(1)求和的值；
(2)试估计这200个家庭消费金额为的概率（保留一位小数）；
(3)依据上面的统计结果，现要在10个家庭中随机抽取4个家庭进行更细致的消费调查，记消费金额为的家庭个数为，求的分布列及期望．
参考数据：；
若随机变量，则，，.
【答案】(1)4.3；2.06
(2)0.8
(3)分布列见解析，
【分析】（1）利用组中值和对应的频率可求和.
（2）利用正态分布的对称性可求消费金额为的概率.
（3）利用超几何分布可求的分布列及期望．
【详解】（1）由题意得

（2）由（1）得
所以
.
（3）由题意知这10个家庭中消费金额在范围内的有8个家庭，
故X的所有取值为2，3，4，
，，，
所以X的分布列为
所以．
29．书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
(2)若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；
(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望．
附参考数据：若，则①；②；③．
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析；期望为
【分析】（1）根据频率分布直方图以及平均数的计算方法计算即可；
（2）依据，利用正态分布的对称性计算即可；
（3）先由题意得到随机变量的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即可.
【详解】（1）根据频率分布直方图得：
．
（2）由题意知，即，
所以．
（3）由题意可知，和的频率之比为：，
故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人，
随机变量的取值可以为，
，，
，，
故的分布列为：
所以.
30．为了了解学生的运动情况，某中学对高中三个年级的学生运动情况进行了分层抽样调查.调查的样本中高一年级有的学生每周运动总时间超过5小时，高二年级有的学生每周运动总时间超过5小时，高三年级有的学生每周运动总时间超过5小时，且三个年级的学生人数之比为，用样本的频率估计总体的概率.
(1)从该校三个年级中随机抽取1名学生，估计该学生每周运动总时间超过5小时的概率；
(2)假设该校每名学生每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且.现从这三个年级中随机抽取5名学生，设这5名学生中每周运动总时间为5至6小时的人数为，求随机变量的期望.
【答案】(1)0.65；
(2)1.5.
【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率及全概率公式求解作答.
（2）由（1）的结论，结合正态分布的对称性求出该校学生每周运动总时间为5至6小时的概率，再利用二项分布求出期望作答.
【详解】（1）记随机抽取1名学生分别来自高一、高二、高三的事件为，抽取的1 名学生每周运动总时间超过5小时的事件为，
于是，,
因此
，
所以该学生每周运动总时间超过5小时的概率为0.65.
（2）该校每名学生每周运动总时间为随机变量（单位：小时），，
则有，由（1）知，，于是，
因此，即该校学生每周运动总时间为5至6小时的概率为0.3，
依题意，，则,
所以随机变量的期望为1.5.
31．2023年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球已知这种球的质量指标（单位：g）服从正态分布，其中，.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率为.
(1)令，则，且，求，并证明：；
(2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为，求出的最大值点，并以作为的值，解决下列问题.
（ⅰ）在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为，求的分布列；
（ⅱ）已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由.
参考数据：，则，，.
【答案】(1)0.02275；证明见解析.
(2)（ⅰ）分布列见解析
（ⅱ）能，.
【分析】（1）利用正态分布的对称性即可求得结果；
（2）先利用导数求出，再利用离散型随机变量及其分布列即可求得结果.
【详解】（1），又，
所以.
因为，根据正态曲线对称性，，
又因为，所以.
（2），
.
令，得.
当时，，在上为增函数；
当时，，在上为减函数.
所以的最大值点，从而.
（ⅰ）的可能取值为3，2，1，0.
，，
，，
所以的分布列为
（ⅱ）若，则1班10轮后的总积分为29分，2班即便第10轮和第11轮都积3分，
则11轮过后的总积分是28分，，所以，1班如果第10轮积3分，
则可提前一轮夺得冠军，其概率为.
32．2020年受疫情影响，我国企业曾一度停工停产，中央和地方政府纷纷出台各项政策支持企业复工复产，以减轻企业负担.为了深入研究疫情对我国企业生产经营的影响，帮扶困难职工，在甲、乙两行业里随机抽取了200名工人进行月薪情况的问卷调查，经统计发现他们的月薪在2000元到8000元之间，具体统计数据见下表.
将月薪不低于6000元的工人视为“I类收入群体”，低于6000元的工人视为“II类收入群体”，并将频率视为概率.
(1)根据所给数据完成下面的列联表：
根据上述列联表，判断是否有99%的把握认为“II类收入群体”与行业有关.
附件：，其中.
(2)经统计发现该地区工人的月薪X（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本的平均数（每组数据取区间的中点值）.若X落在区间外的左侧，则可认为该工人“生活困难”，政府将联系本人，咨询月薪过低的原因，并提供帮助.
①已知工人王强参与了本次调查，其月薪为2500元，试判断王强是否属于“生活困难”的工人；
②某超市对调查的工人举行了购物券赠送活动，赠送方式为：月薪低于的获得两次赠送，月薪不低于的获得一次赠送.每次赠送金额及对应的概率如下：
求王强获得的赠送总金额的数学期望.
【答案】(1)列联表见解析，没有99%的把握
(2)①不属于；②
【分析】（1）根据已知数据，补充列联表，进而计算即可判断；
（2）①根据题意，计算对应的平均数，再结合正态分布求解即可；②结合①获得的赠送总金额Y的可能取值为200，300，400，500，600，再求解相应的概率得出分布列，计算期望即可.
【详解】（1）列联表如下：
于是，
从而没有99%的把握认为“II类收入群体”与行业有关.
（2）①所调查的200名工人的月薪频率分布表如下：
所以.
因为这200名工人的月薪X服从正态分布，所以，
从而.
因为王强的月薪为2500元，，所以王强不属于“生活困难”的工人.
②由①知，王强的月薪为2500元，低于4920元，所以王强可获赠两次购物券，
从而他获得的赠送总金额Y的可能取值为200，300，400，500，600，
则，，
，，
，故Y的分布列如下：
所以王强获得的赠送总金额的数学期望
.
33．某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛.已知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：

(1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数的数学期望；
(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛?
(3)复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量，每一题都需要“花”掉（即减去）一定分数来获取答题资格，规定答第题时“花”掉的分数为（，2，…，n）；③每答对一题加2分，答错既不加分也不减分；④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩，已知参加复赛的学生甲答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量应为多少?
附：若，则，，；．
【答案】(1)；
(2)有
(3)7或8
【分析】（1）确定X的取值，算出预赛成绩在和范围内的样本量，根据超几何分布的概率计算求得至少有1人预赛成绩优良的概率，继而可求得X的分布列，求得期望；
（2）求出变量Z的均值，确定，即可求得，算出不低于91分的人数，可得结论；
（3）设学生甲答对的题目数为，复赛成绩为Y，可得，结合二项分布的均值计算公式可得表达式，结合二次函数知识，可得答案.
【详解】（1）预赛成绩在范围内的样本量为：，
预赛成绩在范围内的样本量为：，
设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为X，可能取值为，
则，
又，
则X的分布列为：
故.
（2），
，则，
又，
故，
故全市参加预赛学生中，成绩不低于91分的有人，
因为，故小明有资格参加复赛.
（3）设学生甲答对的题目数为，复赛成绩为Y，
则，故，
，
故
,
因为，所以答题数量为7或8时，学生甲可获得最佳的复赛成绩.
34．为了让学生了解毒品的危害，加强禁毒教育，某校组织了全体学生参加禁毒知识竞赛，现随机抽取50名学生的成绩（满分100分）进行分析，把他们的成绩分成以下6组：，，，，，．整理得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求图中a的值并估计全校学生的平均成绩μ．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)在（1）的条件下，若此次知识竞赛得分，为了激发学生学习禁毒知识的兴趣，对参赛学生制定如下奖励方案：得分不超过57分的不予奖励，得分超过57分但不超过81分的可获得学校食堂消费券5元，得分超过81分但不超过93分的可获得学校食堂消费券10元，超过93分可获得学校食堂消费券15元．试估计全校1000名学生参加知识竞赛共可获得食堂消费券多少元．（结果四舍五入保留整数）
参考数据：，，．
【答案】(1)，
(2)5114元
【分析】（1）由频率分布直方图所有小矩形面积之和为，即可求得，根据平均数公式计算即可得；
（2）利用参考数据由正态分布的对称性分别求出获得学校食堂消费券为元时的概率，即可得出一名学生的期望值为，便可计算出全校1000名学生共可获得食堂消费券为5114元．
【详解】（1）由题意可知，，
解得
（2）设参加知识竞赛的每位学生获得的学校食堂消费券为Y元，
，
，
，
，
Y的分布列如下表：
即一名学生获得的学校食堂消费券的期望值为
，
所以，全校学生可获得（元）．
故估计全校1000名学生参加知识竞赛共可获得食堂消费券5114元．
35．一水果连锁店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去30天苹果的日销售量（单位：kg），得到如下频率分布直方图．

(1)求过去30天内苹果的日平均销售量和方差（同一组数据用该组区间中点值代表）；
(2)若该店苹果的日销售量X近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，试估计360天中日销售量超过79.9kg的天数（结果保留整数）；
(3)该水果店在店庆期间举行“赢积分，送奖品”活动，规定：每位会员可以投掷n次骰子，若第一次掷骰子点数大于2，可以获得100个积分，否则获得50个积分，从第二次起若掷骰子点数大于2，则获得上一次积分的两倍，否则获得50个积分，直到投掷骰子结束．记会员甲第n次获得的积分为，求数学期望．
参考数据：若，则，，．
【答案】(1)，
(2)57
(3).
【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数和方差的计算方法即可计算；
（2）根据正态分布图的对称性即可求解；
（3）求出的分布列和，根据关系得的关系，构造等比数列即可求出.
【详解】（1）由题意得各组的频率依次为0.1，0.25，0.4，0.15，0.1，
则．
，
（2）由（1）得，，
因为日销售量X近似服从正态分布，
所以 ，
所以估计360天中日销售量超过79.9kg的天数为．
（3）依题意的可能取值为100，50，其分布列为：
所以，
由题意得，
所以，得，
又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
所以，
故．
36．据相关机构调查表明我国中小学生身体健康状况不容忽视，多项身体指标（如肺活量､柔㓞度､力量､速度､耐力等）自2000年起呈下降趋势，并且下降趋势明显，在国家的积极干预下，这种状况得到遏制，并向好的方向发展，到2019年中小学生在肺活量､柔㓞度､力量､速度､而力等多项指标出现好转，但肥胖､近视等问题依然严重，体育事业任重道远.某初中学校为提高学生身体素质，日常组织学生参加中短跑锻炼，学校在一次百米短跑测试中，抽取200名女生作为样本，统计她们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）.

(1)估计样本中女生短跑成绩的平均数；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）
(2)由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩，其中近似为女生短跑平均成绩近似为样本方差，经计算得，若从该校女生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在内的人数为，求（结果保留2个有效数字）.
附参考数据：，随机变量服从正态分布，则 .
【答案】(1)16.16
(2)0.073
【分析】（1）利用频率分布直方图求解平均数即可.
（2）根据，可求得成绩在内的概率，利用二项分布的概率公式求解即可.
【详解】（1）估计样本中女生短跑成绩的平均数为：
.
（2）由题意知，
则，
故该校女生短跑成绩在内的概率，
由题意可得，
所以，
，
所以.
37．为调查学生数学建模能力的总体水平，某地区组织10000名学生（其中男生4000名，女生6000名）参加数学建模能力竞赛活动.
(1)若将成绩在的学生定义为“有潜力的学生”，经统计，男生中有潜力的学生有2500名，女生中有潜力的学生有3500名，完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为学生是否有潜力与性别有关?
(2)经统计，男生成绩的均值为80，方差为49，女生成绩的均值为75，方差为64.
（ⅰ）求全体参赛学生成绩的均值及方差；
（ⅱ）若参赛学生的成绩服从正态分布，试估计成绩在的学生人数.
参考数据：
①
②若，则，，.
参考公式：，.
【答案】(1)列联表见解析，有99.9%的把握认为学生是否有潜力与性别有关
(2)（ⅰ），（ⅱ）人
【分析】(1)根据条件填写二联表，并根据卡方公式计算判断即可；
(2)(i)根据分层抽样的均值与方差计算公式计算即可；(ii)根据正态分布的三段区间公式计算并估计即可.
【详解】（1）列联表如下：
零假设为：学生是否有潜力与性别无关，
根据列联表中的数据，得
，
我们推断不成立，即有99.9%的把握认为学生是否有潜力与性别有关.
（2）（ⅰ）假设男生成绩为，女生成绩为，
则.
因为
，
即，
同理，即，
所以
（或者直接用公式计算：）
（ⅱ）由，得，
所以这次考试中成绩在的学生大约有人.
38．某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分100分）数据，统计结果如下表所示．
(1)已知此次问卷调查的得分，近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），求；
（附：若，则，，，）
(2)在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
②每次赠送的机制为：赠送20元话费的概率为，赠送40元话费的概率为．
现市民甲要参加此次问卷调查，记该市民参加问卷调查获赠的话费为元，求的分布及期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望为
【分析】（1）根据题中的统计表，求得，结合，进而求得的值.
（2）根据题得到话费可能的值有20，40，60，80元，根据互斥事件与独立事件的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解.
【详解】（1）解：根据题中的统计表，结合题设中的条件，可得：

，
又由，
所以.
（2）解：根据题，可得所得话费可能的值有20，40，60，80元，
其中；；
；，
所以随机变量的分布列为：
所以期望为.
39．为深入学习党的二十大精神，我校团委组织学生开展了“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如下：
(1)求抽取的100名学生竞赛成绩的方差（同一组中数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)以频率估计概率，发现我校参赛学生竞赛成绩X近似地服从正态分布，其中近似为样本平均分，近似为样本方差，若，参赛学生可获得“参赛纪念证书？”；若，参赛学生可获得“参赛先锋证书”.
①若我校有3000名学生参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数（结果保留整数）；
②试判断竞赛成绩为96分的学生能否获得“参赛先锋证书”.
附：若，则，，；抽取的这100名学生竞赛成绩的平均分.
【答案】(1)
(2)①2456②能获得“参赛先峰证书”
【分析】（1）利用公式直接求出方差即可；
（2）①结合给的概率和正态分布的性质，确定获得“参赛纪念证书”，进而计算可得人数；
②利用正态分布的知识求出，即，进而可得结果.
【详解】（1）由题意，抽取的这100名学生竞赛成绩的平均分，
所以100名学生本次竞赛成绩方差
；
（2）①由于近似为样本成绩平均分，近似为样本成绩方差，
所以，可知，，
由于竞赛成绩X近似地服从正态分布，
因此竞赛学生可获得“参赛纪念证书”的概率

，
所以，
故估计获得“参赛纪念证书”的学生人数为2456，
②当时，即时，参赛学生可获得“参赛先锋证书”，
所以竞赛成绩为96分的学生能获得“参赛先峰证书”.
40．影响身高的因素主要有以下凡点：第一、遗传，遗传基因直接影响人种、身高，第二、睡眠，身高的增长非常依赖于睡眠的质量，睡眠的时间有保障，晚上分泌的生长激素可以很好地作用于人体的骨骼，使人体增高．第三、营养，营养物质特别是蛋白质、钙、铁等要补充充分，为孩子增长身体提供原料、第四、运动，运动影响儿童身高非常明显，运动可以直接促进生长激素的分泌，使生长激素在夜晚增大分泌，促进食欲，还能保证健康的睡眠等等，对于长高有很大帮助．高中学生由于学业压力，缺少睡眠与运动等原因，导致身高偏矮；但同时也会由于营养增加与遗传等原因，导致身高偏高，某市教育局为督促各学校保证学生充足的睡眠、合理的营养搭配和体育锻炼时间，减轻学生学习压力，准备对各校男生身高指数进行抽查，并制定了身高指数档次及所对应得分如下表：
某校为迎接检查，学期初通过调查统计得到该校高三男生身高指数服从正态分布，并调整睡眠时间、合理的营养搭配和体育锻炼．6月中旬，教育局聘请第三方机构抽查的该校高三30名男生的身高指数频数分布表如下：
(1)试求学校调整前高三男生身高指数的偏矮率、正常率、偏高率、超高率；
(2)请你从偏高率、超高率、男生身高指数平均得分三个角度评价学校采取揹施的效果．
附：参考数据与公式：若，则①；②；③．
【答案】(1)偏矮率为，正常率为，偏高率为，超高率为
(2)调整后偏高率、超高率增加，身高指数平均得分增加，说明学校采取的措施效果好
【分析】（1）利用正态分布中概率求解公式求解即可.
（2）利用古典概型概率公式求解调整后的相对应的概率以及平均得分，分别与调整前的比较，即可得出结论.
【详解】（1）调整前，
偏矮率为，
正常率为，
偏高率为，
超高率为．
（2）由（1）知，调整前，
身高指数平均得分为；
调整后，偏高率为，
超高率为，
身高指数平均得分为，
由上可知，调整后偏高率、超高率增加，身高指数平均得分增加，
说明学校采取的措施效果好．
事件
配型
X
0
1
2
P
酵母菌类型
该酯类化合物的含量（μg/L）
A型
X
2747
2688
X
X
2817
2679
X
2692
2721
B型
1151
X
1308
X
994
X
X
X
1002
X
C型
2240
X
X
2340
2318
X
2519
2162
X
X
酵母菌类型
品质高
品质普通
A型
B型
C型
病毒类型
在确诊病例中的比例
重症率
阿尔法
10%
2.4%
贝尔特
15%
3.8%
德尔塔
25%
4%
奥密克戎
50%
2%
29.2
12
16
34.4
0
1
2
凤梨数量（盒）
购物群数量（个）
12
20
32
消费金额（千元）




人数
40
60
40
30
20
10
X
2
3
4
P
0
1
2
3
3
2
1
0
月薪/元
[2000，3000）
[3000，4000）
[4000，5000）
[5000，6000）
[6000，7000）
[7000，8000）
人数
20
36
44
50
40
10
I类收入群体
II类收入群体
总计
甲行业
60
乙行业
20
总计
3.841
6.635
10.828
0.050
0.010
0.001
赠送金额/元
100
200
300
概率
I类收入群体
II类收入群体
总计
甲行业
30
60
90
乙行业
20
90
110
总计
50
150
200
月薪/元
[2000，3000）
[3000，4000）
[4000，5000）
[5000，6000）
[6000，7000）
[7000，8000）
人数
20
36
44
50
40
10
频率
0.1
0.18
0.22
0.25
0.2
0.05
Y
200
300
400
500
600
P
X
0
1
2
P
Y
0
5
10
15
P
0.15865
0.6827
01359
0.02275
100
50
P
是否有潜力
性别
合计
男生
女生
有潜力
没有潜力
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
是否有潜力
性别
合计
男生
女生
有潜力
2500
3500
6000
没有潜力
1500
2500
4000
合计
4000
6000
10000
组别
频数
25
150
200
250
225
100
50
20
40
60
80
成绩（分）
人数
2
4
22
40
28
4
档次
偏矮
正常
偏高
超高
男生身高指数（单位：）
学生得分
50
70
80
90
档次
偏矮
正常
偏高
超高
男生身高指数（单位：）
人数
3
9
12
6