2025年高考数学大题题型归纳精讲(新高考通用)第01讲三角恒等变换和解三角形练习(学生版+解析）

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考法一：三角函数和三角恒等变换
例题分析
【例 1】（2023·北京·统考高考真题）设函数f(x)=sinωxcsφ+csωxsinφω>0,|φ|0，0a．
(1)从下列中选择一个证明：
①证明：asinA=bsinB；②证明：csA=b2+c2-a22bc
(2)求三角形△ABC面积的最小值．
【变式2-2】（2022·上海奉贤·统考一模）在△ABC中，A､B､C所对边a､b､c满足a+b-ca-b+c=bc.
(1)求A的值；
(2)若a=3，csB=45，求△ABC的周长.
【变式2-3】（2021·广东佛山·统考二模）在①cs2Aa2-cs2Bb2=12，②BA⋅BC=34，③sinA-sinB=22这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题.
问题：已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c；a=1，C=π3，求△ABC的面积.
【变式2-4】（2023·四川绵阳·四川省绵阳江油中学校考模拟预测）如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，CD=5，∠ABC=2π3．
(1)若AC=27，求梯形ABCD的面积；
(2)若AC⊥BD，求tan∠ABD．
【变式2-5】（2019·河南·校联考二模）在ΔABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足sin2A+sinAsinB-6sin2B=0.
（1）求ab的值；
（2）若csC=34，求sinB的值.
【变式2-6】（2023·广东东莞·校考三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA=acsB-π6.
(1)求角B的大小；
(2)设a=2，c=3，求sin2A-B的值.
考法三：利用正弦定理求外接圆半径
例题分析
【例3】（2023·山东烟台·统考二模）已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，bcsC+3csinB=a+c．
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC为钝角三角形，且a-c=2，求△ABC外接圆半径的取值范围．
满分秘籍
变式训练
【变式3-2】（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，且sinA+sinBsinC=b-cb-a．
(1)求△ABC的外接圆半径R；
(2)求△ABC内切圆半径r的取值范围．
【变式3-3】（2023·全国·模拟预测）已知△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，满足b+ca=b-ab-c，且ab=13，a+b-2c=0
(1)求C；
(2)求△ABC外接圆的半径R.
【变式3-4】（2023·山东聊城·统考一模）在四边形ABCD中，AB//CD．
(1)证明：AD⋅sin∠BAD=BC⋅sin∠BCD；
(2)若AD=1，AB=3，BC=3，∠BAD=2∠BCD，求△BCD外接圆的面积．
【变式3-5】（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．从①②③中选取两个作为条件，补充在下面的问题中，并解答．①csA=-1725；②△ABC的面积是6215；③c=3．
问题：已知角A为钝角，b=5，______．
(1)求△ABC外接圆的面积；
(2)AD为角A的平分线，D在BC上，求AD的长．
考法四：正弦和余弦定理边角互化的应用
例题分析
【例4】（2023·山东泰安·统考模拟预测）如图，平面四边形OACB中，△ABC的三内角A,B,C对应的三边为a,b,c．
给出以下三个条件：
①cs2A-cs2C=2sin2B-2sinAsinB
②asinA+B2=csinA
③△ABC的面积为34a2+b2-c2
(1)从以上三个条件中任选一个，求角C；
(2)设OA=OB=2,AB=AC，在（1）的条件下，求四边形OACB的面积的最大值．
满分秘籍
变式训练
【变式4-1】（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知csinB+C2=asinC
(1)求角A的大小；
(2)若b=1，sinB=217，求边c及cs(2B+A)的值．
【变式4-2】（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(2A+B)=2sinA(1-csC).
(1)证明：b=2a；
(2)点D是线段AB上靠近点B的三等分点，且CD=AD=1，求△ABC的周长.
【变式4-3】（2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）已知a,b,c分别为锐角△ABC内角A,B,C的对边，b-2acsC=a．
(1)证明：C=2A；
(2)求sinAcsC的取值范围．
【变式4-4】（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acsB+3b=2c.
(1)求A的大小；
(2)若b=3， c=3，求BC边上高的长.
【变式4-5】（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=2b,1，n=2a-c,csC，且m//n．
(1)求角B的大小；
(2)若点M为BC中点，且AM=AC，求sin∠BAC．
【变式4-6】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，满足b=3,2sinBcsA=2sinC-sinA．
(1)求角B；
(2)若acsC-ccsA=1，求A-C．
【变式4-7】（2023·广东深圳·校考二模）记△ABC的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知sinBsinCcs2A2=2sin2A.
(1)证明：b+c=3a；
(2)若角B的平分线交AC于点D，且BD=465，ADDC=32，求△ABC的面积.
【变式4-8】（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且2bcsC=2a+c.
(1)求角B的大小；
(2)若23sinA2+π6csA2+π6-2sin2A2+π6=1113，求csC的值.
考法五：求三角形面积及面积最值或范围
例题分析
【例5】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinAa=csA+CsinC，c=2.
(1)求B；
(2)D为AC的中点，BD2=34BC,求△ABC的面积.
满分秘籍
变式训练
【变式5-1】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且ccsA+3csinA=a+b.
(1)求角C；
(2)若△ABC的中线CD长为23，求△ABC面积的最大值.
【变式5-2】（2023·福建漳州·统考模拟预测）在平面四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠C=135°，BD=5，CD=2.
(1)求cs∠CBD；
(2)若△ABD为锐角三角形，求△ABD的面积的取值范围.
【变式5-3】（2022·贵州安顺·统考模拟预测）如图，为测量某雕像AB的高度（B，C，D，F在同一水平面上，雕像垂直该水平面于点B，且B，C，D三点共线），某校研究性学习小组同学在C，D，F三点处测得顶点A的仰角分别为60°，30°，45°，CD=20米．

(1)求雕像AB的高度；
(2)当观景点C与F之间的距离为多少米时，△CDF的面积最大？并求出最大面积．
【变式5-4】（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知向量a=（sinx，1+cs2x），b=（csx，12），fx=a⋅b-12.
(1)求函数y=fx的最大值及相应x的值；
(2)在△ABC中，角A为锐角且A+B=7π12，fA=12，BC=2，求△ABC的面积.
【变式5-5】（2022·贵州安顺·统考模拟预测）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a2=bcsC+ccsB，且b+c=2．
(1)求证：A≤π3；
(2)求△ABC面积的最大值．
【变式5-6】（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b-b2+c2-a22b=2acsBcsC，其中，C≠π2．
(1)求角B的大小；
(2)若b2+3c2=12-5ac，求△ABC面积的最大值．
考法六：求三角形边长（比）或周长范围
例题分析
【例6】在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，33bsinC+ccsB=a.
(1)若a=2,b=1，求△ABC的面积；
(2)若c=2，求△ABC周长的取值范围.
满分秘籍
变式训练
【变式训练6-1】（四川省巴中市2022-2023学年高一下学期期末数学试题）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2-c2-12bc=abcsC.
(1)求角A的大小；
(2)若a=23，求△ABC周长的取值范围.
【变式训练6-2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+c2-ac=4，b=2．
(1)求角B的大小；
(2)求ac的取值范围．
【变式训练6-3】（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bsin2B+csin2C=b+c⋅sin2A．
(1)若tanB+tanC=3sinAcsC，求出csC的值；
(2)若△ABC为锐角三角形，c=2，求边长b的取值范围．
【变式训练6-4】（2023·山东·山东省实验中学校考二模）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知bsinA+π3-asinB=0．
(1)求角A；
(2)若D为边BC上一点（不包含端点），且满足∠ADB=2∠ACB，求BDCD的取值范围．
【变式训练6-5】（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）在凸四边形ABCD中，AB=BC=7,∠ABC=2π3.
(1)若BD=27,cs∠ABD=17.求CD的长；
(2)若四边形ABCD有外接圆，求AD+CD的最大值.
真题专练
1．（2023·全国·统考高考真题）在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1.
(1)求sin∠ABC；
(2)若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求△ADC的面积.
2．（2023·全国·统考高考真题）已知在△ABC中，A+B=3C,2sinA-C=sinB．
(1)求sinA；
(2)设AB=5，求AB边上的高．
3．（2023·全国·统考高考真题）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b2+c2-a2csA=2．
(1)求bc；
(2)若acsB-bcsAacsB+bcsA-bc=1，求△ABC面积．
4．（2023·全国·统考高考真题）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知△ABC的面积为3，D为BC中点，且AD=1．
(1)若∠ADC=π3，求tanB；
(2)若b2+c2=8，求b,c．
5．（2023·天津·统考高考真题）在△ABC中，角A,B,C所对的边分別是a,b,c．已知a=39,b=2,∠A=120∘．
(1)求sinB的值；
(2)求c的值；
(3)求sinB-C．
6．（2023·全国·统考高考真题）设a>0，函数f(x)=2x-a-a．
(1)求不等式fx