湖北省武汉市武汉经济技术开发区第一中学2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份湖北省武汉市武汉经济技术开发区第一中学2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．1D．i
2．已知事件A，B相互独立，且，，则（ ）
A．B．C．D．
3．若，，则等于（ ）
A．5B．－5C．7D．－1
4．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知为等比数列的前n项和，，，则（ ）．
A．30B．C．D．30或
6．若存在，使得不等式成立，则实数m的最大值为（ ）
A．B．C．4D．
7．数列满足，，则的值为（ ）
A．3B．C．2D．1
8．已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知数列的前项和，则（ ）
A．B．
C．有最小值D．数列不是等差数列
10．已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若在上单调递减，则的最大值为1
B．当时，
C．当时，
D．存在直线，使得与的图象有4个交点
三、填空题（本大题共3小题）
12．设函数的导数为，若，则 .
13．设动点在棱长为1的正方体的对角线上，记，当为锐角时，的取值范围是 ．
14．已知函数若对于任意的都有成立，则实数a的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数.
（1）求函数的导函数；
（2）求过点且与曲线相切的直线方程.
16．记数列{an}的前n项积为Tn，且．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和Sn．
17．如图1所示，在等腰梯形，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，点为棱上一个动点．
(1)求证：；
(2)若平面平面；
（i）求直线与平面所成角的正弦值；
（ii）在棱上是否存在点，使平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
18．已知椭圆，点，分别是椭圆短轴的端点，椭圆的焦点也是抛物线的焦点，且.过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)轴上是否存在定点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
(3)若点是定直线上任意一点，求证：三条直线，，的斜率成等差数列.
19．已知函数，其中e为自然对数的底数.
（1）当时，求函数的单调区间及极值；
（2）若，求实数的取值范围.
参考答案
1．【答案】A.
【详解】由，可得，所以，所以，
所以的虚部为.
故选A.
2．【答案】C
【详解】因为事件是相互独立事件，所以与相互独立，
所以，
则.
故选C.
3．【答案】B
【详解】因为，，两式相加得，
解得；两式相减得，解得，
所以，
故选B.
4．【答案】A
【详解】因为的顶点，，
所以线段的中点坐标为，线段所在直线的斜率，
所以线段的垂直平分线的斜率，
则线段的垂直平分线的方程为，即，
因为，所以的外心、重心、垂心都在线段的垂直平分线上，
所以的欧拉线方程为.
故选A.
5．【答案】A
【详解】由得，则等比数列的公比，
则得，令，则即，
解得或（舍去），，则．
故选A．
6．【答案】A
【详解】由存在，使得不等式成立得：
在有解，
令，则，
故时，，此时函数是单调递减，
时，，此时函数单调递增，
故时，，时，，
又，
故函数的最大值是，
，
故选A．
7．【答案】C
【详解】由已知得：，，，，…，即有，
，
故选C.
8．【答案】A
【详解】因为，由可得，即函数的定义域为，
可得，
即，
构造函数，其中，则，故函数在上单调递增，
所以，可得，则，
即，其中，令，其中，
则，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，解得.
综上，
故选A.
9．【答案】AC
【详解】因为，所以，故A正确；
当时，，
当时，也满足上式，所以数列的通项公式为，
所以，
所以数列是公差为2的等差数列，所以，故B错误；
因为，所以当时，；当时，，
所以有最小值或，故C正确；
因为，所以，
所以，所以数列是等差数列，故D错误.
故选AC.
10．【答案】ACD
【详解】设，则，
所以在上单调递减，
对于A，由，即，即，故A正确；
对于B，由，即，又，则，故B错误；
对于C，由，即，即，故C正确；
对于D，由，即，即，故D正确.
故选ACD.
11．【答案】BCD
【详解】解：，由，解得，的最大值为，故A不正确；
当时，，即.
设，则，
在处取得最小值，故B正确；
当时，，即.
由B选项的过程知，在时，，
在上单调递减，，故C正确；
画出的图象如图，
可知存在直线，使得与的图象有4个交点，故D正确，
故选BCD.
12．【答案】/
【详解】.
13．【答案】
【详解】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则，
由得，则，
因为为锐角，
所以，
解得或，
又因为动点在棱长为1的正方体的对角线上，
所以的取值范围为.
14．【答案】
【详解】对于任意的都有恒成立，
等价于在上恒成立.
令，则，，
当时，，即在上递增，
故，所以，
所以在上单调递增，
所以，所以，
所以实数的取值范围是.
15．【答案】（1）.（2）和.
【详解】分析：（1）根据多项式的求导法则求导即可；（2）设切点的坐标为，切线方程为：，将点的坐标代入上述方程可得求得或，进而得到切线方程.
详解：
（1）.
（2）由，设切点的坐标为，
由所求切线方程为：，
将点的坐标代入上述方程可得：，
整理为：，解得：或，
将或代入切线方程，可求得切线方程为：和.
点睛：这个题目考查了函数的导函数的求法，以及过某一点的切线方程的求法，其中应用到导数的几何意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：一：设切点，求导并且表示在切点处的斜率；二：根据点斜式写切点处的切线方程；三：将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；四：将切点代入切线方程，得到具体的表达式.
16．【答案】(1)答案见解析；
(2).
【详解】（1）证明：因为为数列的前项积，
所以可得，
因为，所以，
即，所以，
又，所以，
故是以4为首项，2为公比的等比数列；
（2）解：由（1）得：，所以，则
设①
②
则①-②得：
则
所以的前n项和
17．【答案】(1)证明见解析
(2)（i）；（ii）存在，且
【详解】（1）翻折前，在梯形中，，
翻折后，则有，，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，故.
（2）因为平面平面，平面平面，，平面，
所以，平面，且，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
（i），，，
设为平面的一个法向量，
可得，令，可得，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
（ii）设，其中，
则，
易知平面的一个法向量为，
若平面，则，解得，
因此，棱上存在点，使平面，且.
18．【答案】(1)；
(2)存在，；
(3)证明见解析.
【详解】（1）∵椭圆的焦点也是抛物线的焦点
∴，又，∴是等腰直角三角形
∴ ，∴
所以椭圆的方程为：.
（2）假设轴上存在定点，使得，
设，，直线的方程为，
将直线与椭圆方程联立，消去整理得到：，
∴，，
由题意，，则直线，的倾斜角互补，所以，
设，则，，
∴，
将，代入上式，整理得：，
∴
将，，代入上式整理得：，
由于上式对任意实数都成立，所以，
即存在点使得.
（3）证明：设，要证直线，，的斜率成等差数列，
只需证，只需证，
只需证
只需证
只需证
只需证，
只需证，只需证
由（2）可知，，，代入上式显然成立，故原命题得证.
19．【答案】（1）函数的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值；（2）.
【详解】（1）当时，，的定义域为，
，易知在上为增函数，令，可得.
当x变化时，的变化情况如下表：
由上表可知：函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
则的极小值为，无极大值.
（2）令，则，且.
设，则，
在上单调递增，即在上单调递增，
当时，由（1）知，，即，符合题意；
当时，，，，
存在，使得，
当时，；当时，，
，，
因此，
，即，符合题意；
当时，，即，不符合题意.
综上所述，，故实数a的取值范围是.1
0
+
极小值