人教A版 (2019)选择性必修 第三册二项分布与超几何分布第2课时导学案及答案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册二项分布与超几何分布第2课时导学案及答案，共8页。学案主要包含了二项分布的均值与方差，二项分布的实际应用，二项分布的性质等内容，欢迎下载使用。
一、二项分布的均值与方差
问题 若随机变量X服从二项分布B(n，p)，那么X的均值和方差各是什么？
知识梳理
1．若X服从两点分布，则E(X)＝________，D(X)＝________.
2．若X～B(n，p)，则E(X)＝____________，D(X)＝________.
例1 (1)已知X～B(10,0.5)，Y＝2X－8，则E(Y)等于( )
A．6 B．2 C．4 D．3
(2)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是eq \f(1,3)，eq \f(2,3).
(1)分别求出小球落入A袋和B袋中的概率；
(2)在容器的入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B袋中的小球的个数，求ξ的分布列、均值和方差．
反思感悟 解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
跟踪训练1 某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量X，其分布列如下表，均值E(X)＝2.
(1)求a和b的值；
(2)某同学连续玩三次该智力游戏，记积分X大于0的次数为Y，求Y的分布列与均值．
二、二项分布的实际应用
例2 为纪念中国共产党成立100周年，某学校组织党史知识竞赛，竞赛规则是：两人组成一个“组合”，进行多轮竞赛，每一轮竞赛中，一个“组合”的两人分别各答3道题，若答对的题目总数不少于5道题，此“组合”获得20分．已知小华和小夏两人组成“华夏组合”，小华、小夏每道题答对的概率分别是eq \f(4,5)和eq \f(3,4)，且每道题答对与否互不影响．
(1)求“华夏组合”在一轮竞赛中获得20分的概率；
(2)若每轮竞赛互不影响，“华夏组合”期望至少要获得100分，则理论上至少要进行多少轮竞赛？
反思感悟 (1)二项分布的实际应用类问题的求解步骤
①根据题意设出随机变量；
②分析随机变量服从二项分布；
③求出参数n和p的值；
④根据二项分布的均值、方差的计算公式求解．
(2)利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．
跟踪训练2 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是eq \f(1,3).
(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的均值；
(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；
(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
三、二项分布的性质
例3 某一批产品的合格率为95%，那么在取出的20件产品中，最有可能有几件产品合格？
反思感悟 二项分布概率最大问题的求解思路
可以用eq \f(PX＝k＋1,PX＝k)≤1(0≤k≤n－1，k∈N)来求，还可以考虑用不等式组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(PX＝k≥PX＝k＋1，,PX＝k≥PX＝k－1))(k∈N，1≤k≤n－1)来求．
跟踪训练3 若X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(20，\f(1,3)))，则P(X＝k)(0≤k≤20且k∈N)取得最大值时，k＝______.
1．知识清单：
(1)二项分布的均值、方差．
(2)二项分布的性质．
2．方法归纳：公式法．
3．常见误区：判断随机变量X是否服从二项分布．
1．已知X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(1,4)))，则E(X＋1)等于( )
A.eq \f(1,4) B．1 C.eq \f(5,4) D.eq \f(9,4)
2．若随机变量X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(1,2)))，则使P(X＝k)最大的k的值是( )
A．2 B．3 C．2或3 D．4
3．在某校篮球队的首轮选拔测试中，参加测试的5名同学的投篮命中率分别为eq \f(3,5)，eq \f(1,2)，eq \f(2,3)，eq \f(3,4)，eq \f(1,3)，每人均有10次投篮机会，至少投中6次才能晋级下一轮测试，假设每人每次投篮相互独立，则晋级下一轮的大约有( )
A．1人 B．2人 C．3人 D．4人
已知随机变量X～B(4，p)，E(X)＝3，则D(X)＝________.
参考答案与详细解析
问题 当n＝1时，X服从两点分布，分布列为
E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
二项分布的分布列为(q＝1－p)
则E(X)＝0×Ceq \\al(0,n)p0qn＋1×Ceq \\al(1,n)p1qn－1＋2×Ceq \\al(2,n)p2qn－2＋…＋kCeq \\al(k,n)pkqn－k＋…＋nCeq \\al(n,n)pnq0，
由kCeq \\al(k,n)＝nCeq \\al(k－1,n－1)，
可得E(X)＝n×Ceq \\al(0,n－1)p1qn－1＋n×Ceq \\al(1,n－1)p2qn－2＋…＋nCeq \\al(k－1,n－1)pkqn－k＋…＋nCeq \\al(n－1,n－1)pnq0
＝np(Ceq \\al(0,n－1)p0qn－1＋Ceq \\al(1,n－1)p1qn－2＋…＋Ceq \\al(k－1,n－1)pk－1qn－k＋…＋Ceq \\al(n－1,n－1)pn－1q0)
＝np(p＋q)n－1＝np，
同理可得D(X)＝np(1－p)．
知识梳理
1．p p(1－p)
2．np np(1－p)
例1 (1)B [由题意，随机变量X～B(10,0.5)，可得E(X)＝10×0.5＝5，
因为Y＝2X－8，可得E(Y)＝2E(X)－8＝2×5－8＝2.]
(2)解 ①设M＝“小球落入A袋”，N＝“小球落入B袋”，
则P(M)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)，
所以P(N)＝1－P(M)＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).
②易知ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(2,3)))，
则ξ的分布列为
P(ξ＝k)＝Ceq \\al(k,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))4－k(k＝0,1,2,3,4)，
故P(ξ＝0)＝eq \f(1,81)，
P(ξ＝1)＝eq \f(8,81)，
P(ξ＝2)＝eq \f(24,81)＝eq \f(8,27)，
P(ξ＝3)＝eq \f(32,81)，
P(ξ＝4)＝eq \f(16,81).
故ξ的分布列为
E(ξ)＝4×eq \f(2,3)＝eq \f(8,3)，
D(ξ)＝4×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(8,9).
跟踪训练1 解 (1)因为E(X)＝2，所以0×eq \f(1,2)＋3×a＋6×b＝2，即3a＋6b＝2.①
又eq \f(1,2)＋a＋b＝1，得a＋b＝eq \f(1,2)，②
联立①②，解得a＝eq \f(1,3)，b＝eq \f(1,6).
(2)P(X>0)＝eq \f(1,2)，
依题意知Y～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,2)))，
故P(Y＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＝eq \f(1,8)，
P(Y＝1)＝Ceq \\al(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝eq \f(3,8)，
P(Y＝2)＝Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×eq \f(1,2)＝eq \f(3,8)，
P(Y＝3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＝eq \f(1,8).
故Y的分布列为
方法一 Y的均值为E(Y)＝0×eq \f(1,8)＋1×eq \f(3,8)＋2×eq \f(3,8)＋3×eq \f(1,8)＝eq \f(3,2).
方法二 E(Y)＝3×eq \f(1,2)＝eq \f(3,2).
例2 解 (1)设小夏和小华答对的题目个数分别为a1和a2，
则所求的概率P＝P(a1＝2，a2＝3)＋P(a1＝3，a2＝2)＋P(a1＝3，a2＝3)
＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2×eq \f(1,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))3×Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2×eq \f(1,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))3＝eq \f(297,500)，
故“华夏组合”在一轮竞赛中获得20分的概率为eq \f(297,500).
(2)依题意知“华夏组合”在竞赛中得分的轮数X满足X～B(n，p)，
由(1)得p＝eq \f(297,500)，据此，由np≥5⇒eq \f(297,500)n≥5⇒n≥eq \f(5×500,297)
≈8.4，
所以“华夏组合”期望至少要获得100分，则理论上至少要进行9轮竞赛．
跟踪训练2 解 (1)方法一 由ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(1,3)))，得
P(ξ＝k)＝Ceq \\al(k,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))k×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
即P(ξ＝0)＝Ceq \\al(0,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))0×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))5＝eq \f(32,243)，
P(ξ＝1)＝Ceq \\al(1,5)×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))4＝eq \f(80,243)，
P(ξ＝2)＝Ceq \\al(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝eq \f(80,243)，
P(ξ＝3)＝Ceq \\al(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＝eq \f(40,243)，
P(ξ＝4)＝Ceq \\al(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))4×eq \f(2,3)＝eq \f(10,243)，
P(ξ＝5)＝Ceq \\al(5,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))5＝eq \f(1,243).
故ξ的分布列为
∴E(ξ)＝0×eq \f(32,243)＋1×eq \f(80,243)＋2×eq \f(80,243)＋3×eq \f(40,243)＋4×eq \f(10,243)＋5×eq \f(1,243)＝eq \f(5,3).
方法二 ∵ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(1,3)))，∴E(ξ)＝5×eq \f(1,3)＝eq \f(5,3).
(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))k×eq \f(1,3)，k＝0,1,2,3,4，
即P(η＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))0×eq \f(1,3)＝eq \f(1,3)，
P(η＝1)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,9)，
P(η＝2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2×eq \f(1,3)＝eq \f(4,27)，
P(η＝3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3×eq \f(1,3)＝eq \f(8,81)，
P(η＝4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))4×eq \f(1,3)＝eq \f(16,243)，
P(η＝5)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))5＝eq \f(32,243).
故η的分布列为
(3)所求概率为P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)
＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))5＝eq \f(211,243).
例3 解 设在取出的20件产品中，合格产品有X件，则X～B(20,0.95)，则恰好有k件产品合格的概率为P(X＝k)＝Ceq \\al(k,20)×0.95k×0.0520－k(0≤k≤20且k∈N)．
∴eq \f(PX＝k,PX＝k－1)＝eq \f(C\\al(k,20)×0.95k×0.0520－k,C\\al(k－1,20)×0.95k－1×0.0521－k)
＝eq \f(20－k＋1×0.95,k×0.05)
＝1＋eq \f(21×0.95－k,k×0.05)
＝1＋eq \f(19.95－k,k×0.05)(1≤k≤20且k∈N)．
则当kP(X＝k)，
∴eq \f(PX＝20,PX＝19)6,10×eq \f(1,3)