高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册二项分布与超几何分布第2课时学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册二项分布与超几何分布第2课时学案及答案，共9页。学案主要包含了超几何分布的均值，超几何分布的综合应用等内容，欢迎下载使用。
学习目标 1.掌握超几何分布的均值的计算.2.了解二项分布与超几何分布的区别与联系．
一、超几何分布的均值
问题 服从超几何分布的随机变量的均值是什么？
例1 (1)袋中有3个白球，1个红球，从中任取2个球，取得1个白球得0分，取得1个红球得2分，则所得分数X的均值E(X)为( )
A．0 B．1 C．2 D．4
(2)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
①求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
②设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及均值．
反思感悟 求超几何分布均值的步骤
(1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值．
(2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率．
(3)利用均值公式求解．
跟踪训练1 某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8道试题中随机挑选4道进行作答，至少答对3道才能通过初试．记在这8道试题中甲能答对6道，甲答对试题的个数为X，则甲通过自主招生初试的概率为________，E(X)＝________.
二、二项分布与超几何分布的区别与联系
例2 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为[490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图如图．
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值；
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
反思感悟 不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求均值可利用公式代入计算．
跟踪训练2 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：
(1)不放回抽样时，抽取次品数X的均值；
(2)放回抽样时，抽取次品数Y的均值与方差．
三、超几何分布的综合应用
例3 2021年7月1日是中国共产党建党100周年纪念日，为迎接这一天的到来，某高校组织了一场党史知识竞赛，分为预选赛和决赛两部分，已知预选赛的题目共有9道，随机抽取3道让参赛者回答，规定至少要答对其中2道才能通过预选赛，某参赛人员甲只能答对其中6道，记甲抽取的3道题目中能答对的题目数为X.
(1)求随机变量X的分布列和均值；
(2)求甲没有通过预选赛的概率．
反思感悟 超几何分布常应用在产品合格问题、球盒取球(两色)问题、男女生选举问题等，这类问题有一个共同特征，就是对每一个个体而言，只研究其相对的两种性质而不涉及其他性质，如产品的合格与不合格、球的红色与非红色、学生的性别等．
跟踪训练3 已知一个袋子中装有大小形状完全相同的3个白球和2个黑球．
(1)若从袋中一次任取3个球，若取到的3个球中有X个黑球，求X的分布列及均值；
(2)若从袋中每次随机取出一个球，记下颜色后将球放回袋中，重复此过程，直至他连续2次取到黑球才停止，设他在第Y次取球后停止取球，求Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Y＝5)).
1．知识清单：
(1)超几何分布的均值．
(2)超几何分布与二项分布的区别与联系．
2．方法归纳：类比．
3．常见误区：超几何分布与二项分布混淆，前者是不放回抽样，后者是有放回抽样．
1．某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为( )
A.eq \f(C\\al(6,15),A\\al(6,15)) B.eq \f(C\\al(3,10)C\\al(3,5),C\\al(6,15))
C.eq \f(C\\al(4,10)C\\al(2,5),C\\al(6,15)) D.eq \f(C\\al(4,10)A\\al(2,5),A\\al(6,15))
2．(多选)某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道题才算合格，则下列说法正确的是( )
A．答对0道题和答对3道题的概率相同，都为eq \f(1,8)
B．答对1道题的概率为eq \f(3,8)
C．答对2道题的概率为eq \f(5,12)
D．合格的概率为eq \f(1,2)
3．袋中有3个黑球、4个红球，除颜色外，其他均相同．从袋中任取3个球，则至少有1个红球的概率为________．
4.某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取n个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图(如图所示)．已知成绩在[90,100]的学生人数为8，且有4个女生的成绩在[50,60)中，则n＝________，现由成绩在[50,60)的样本中随机抽取2名学生，记所抽取学生中女生的人数为ξ，则ξ的均值是______．
参考答案与详细解析
问题 设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．令p＝eq \f(M,N)，则p是N件产品的次品率，而eq \f(X,n)是抽取的n件产品的次品率，我们猜想Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(X,n)))＝p，即E(X)＝np.
实际上，令m＝max(0，n－N＋M)，r＝min(n，M)，
由随机变量均值的定义：当m>0时，
E(X)＝eq \i\su(k＝m,r,k)eq \f(C\\al(k,M)C\\al(n－k,N－M),C\\al(n,N))＝Meq \i\su(k＝m,r, )eq \f(C\\al(k－1,M－1)C\\al(n－k,N－M),C\\al(n,N))，(1)
因为eq \i\su(k＝m,r,C)eq \\al(k－1,M－1)Ceq \\al(n－k,N－M)＝Ceq \\al(n－1,N－1)，
所以E(X)＝eq \f(M,C\\al(n,N))eq \i\su(k＝m,r,C)eq \\al(k－1,M－1)Ceq \\al(n－k,N－M)＝eq \f(MC\\al(n－1,N－1),C\\al(n,N))＝eq \f(nM,N)＝np.
当m＝0时，注意到(1)式中间求和的第一项为0，类似可以证明结论依然成立．
例1 (1)B [由题意，得X的可能取值为0或2，其中X＝0表示取得2个白球，X＝2表示取得1个白球，1个红球，所以P(X＝0)＝eq \f(C\\al(2,3)C\\al(0,1),C\\al(2,4))＝eq \f(1,2)，P(X＝2)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,1),C\\al(2,4))＝eq \f(1,2)，故X的均值E(X)＝0×eq \f(1,2)＋2×eq \f(1,2)＝1.]
(2)解 ①设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(2,7)＋C\\al(0,3)C\\al(3,7),C\\al(3,10))＝eq \f(49,60).所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为eq \f(49,60).
②依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，且随机变量X的可能取值为0,1,2,3.
P(X＝k)＝eq \f(C\\al(k,4)C\\al(3－k,6),C\\al(3,10))，k＝0,1,2,3.
所以X的分布列为
所以随机变量X的均值为E(X)＝0×eq \f(1,6)＋1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(3,10)＋3×eq \f(1,30)＝1.2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或EX＝\f(3×4,10)＝1.2)).
跟踪训练1 eq \f(11,14) 3
解析 依题意，知甲能通过自主招生初试的概率为
P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(3,6),C\\al(4,8))＋eq \f(C\\al(4,6),C\\al(4,8))＝eq \f(4,7)＋eq \f(3,14)＝eq \f(11,14).
由于X的可能取值为2,3,4，P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,2)C\\al(2,6),C\\al(4,8))＝eq \f(3,14)，
故E(X)＝2×eq \f(3,14)＋3×eq \f(4,7)＋4×eq \f(3,14)＝3.
例2 解 (1)质量超过505克的产品的频率为
5×0.05＋5×0.01＝0.3，
所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)．
(2)质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，X的可能取值为0,1,2，X服从超几何分布．P(X＝0)＝eq \f(C\\al(2,28),C\\al(2,40))＝eq \f(63,130)，
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,12)C\\al(1,28),C\\al(2,40))＝eq \f(28,65)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,12),C\\al(2,40))＝eq \f(11,130)，
∴X的分布列为
∴X的均值为
方法一 E(X)＝0×eq \f(63,130)＋1×eq \f(28,65)＋2×eq \f(11,130)＝eq \f(3,5).
方法二 E(X)＝eq \f(2×12,40)＝eq \f(3,5).
(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为eq \f(12,40)＝eq \f(3,10).
从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且Y～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,10)))，
P(Y＝k)＝Ceq \\al(k,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,10)))k×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,10)))2－k，k＝0,1,2，
∴P(Y＝0)＝Ceq \\al(0,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,10)))2＝eq \f(49,100)，
P(Y＝1)＝Ceq \\al(1,2)×eq \f(3,10)×eq \f(7,10)＝eq \f(21,50)，
P(Y＝2)＝Ceq \\al(2,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,10)))2＝eq \f(9,100).
∴Y的分布列为
跟踪训练2 解 (1)方法一 由题意知X的可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝eq \f(C\\al(3,8),C\\al(3,10))＝eq \f(7,15)，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(2,8),C\\al(3,10))＝eq \f(7,15)，P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,2)C\\al(1,8),C\\al(3,10))＝eq \f(1,15).
∴随机变量X的分布列为
E(X)＝0×eq \f(7,15)＋1×eq \f(7,15)＋2×eq \f(1,15)＝eq \f(3,5).
方法二 由题意知P(X＝k)＝eq \f(C\\al(k,2)C\\al(3－k,8),C\\al(3,10))，k＝0,1,2，
∴随机变量X服从超几何分布，n＝3，M＝2，N＝10，
∴E(X)＝eq \f(nM,N)＝eq \f(3×2,10)＝eq \f(3,5).
(2)由题意知，抽取1次取到次品的概率为eq \f(2,10)＝eq \f(1,5)，
随机变量Y服从二项分布Y～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,5)))，
∴E(Y)＝3×eq \f(1,5)＝eq \f(3,5)，
D(Y)＝3×eq \f(1,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))＝eq \f(12,25).
例3 解 (1)随机变量X的可能取值有0,1,2,3，且X服从超几何分布．
P(X＝0)＝eq \f(C\\al(3,3),C\\al(3,9))＝eq \f(1,84)，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,6)C\\al(2,3),C\\al(3,9))＝eq \f(3,14)，P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,6)C\\al(1,3),C\\al(3,9))＝eq \f(15,28)，P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,6),C\\al(3,9))＝eq \f(5,21).
所以随机变量X的分布列为
E(X)＝0×eq \f(1,84)＋1×eq \f(3,14)＋2×eq \f(15,28)＋3×eq \f(5,21)＝2.
(2)若甲没有通过预选赛，则甲答对了1道或0道．
所以甲没有通过预选赛的概率P＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq \f(1,84)＋eq \f(3,14)＝eq \f(19,84).
跟踪训练3 解 (1)X可能的取值为0,1,2，P(X＝k)＝eq \f(C\\al(k,2)C\\al(3－k,3),C\\al(3,5))，其中k＝0,1,2，分布列如下：
均值E(X)＝eq \f(6,5).
(2)当Y＝5时知第四、五次取到的是黑球，第三次取到的是白球，前两次不能都取到黑球，
∴所求概率P＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5)×\f(2,5)))×eq \f(3,5)×eq \f(2,5)×eq \f(2,5)＝eq \f(252,3 125).
随堂演练
1．C [组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为P＝eq \f(C\\al(4,10)C\\al(2,5),C\\al(6,15)).]
2．CD [对于A，答对0道题的概率为P0＝eq \f(C\\al(3,5),C\\al(3,10))＝eq \f(1,12)，答对3道题的概率为P3＝eq \f(C\\al(3,5),C\\al(3,10))＝eq \f(1,12)，故A错误；
对于B，答对1道题的概率为P1＝eq \f(C\\al(1,5)C\\al(2,5),C\\al(3,10))＝eq \f(5,12)，故B错误；
对于C，答对2道题的概率为P2＝eq \f(C\\al(2,5)C\\al(1,5),C\\al(3,10))＝eq \f(5,12)，故C正确；
对于D，合格的概率为P＝eq \f(C\\al(2,5)C\\al(1,5),C\\al(3,10))＋eq \f(C\\al(3,5),C\\al(3,10))＝eq \f(1,2)，故D正确．]
3.eq \f(34,35)
解析 令X表示取出的红球个数，则X的可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝eq \f(C\\al(3,3),C\\al(3,7))＝eq \f(1,35)，故至少有1个红球的概率为P(X≥1)＝1－eq \f(1,35)＝eq \f(34,35).
4．50 eq \f(4,3)
解析 依题意得0.016×10n＝8，则n＝50.
成绩在[50,60)的人数为0.012×10×50＝6，
其中4个为女生，2个为男生．
ξ的可能取值为0,1,2.
P(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(2,2),C\\al(2,6))＝eq \f(1,15)，
P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,4),C\\al(2,6))＝eq \f(8,15)，
P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,4),C\\al(2,6))＝eq \f(6,15)＝eq \f(2,5)，
故E(ξ)＝0×eq \f(1,15)＋1×eq \f(8,15)＋2×eq \f(2,5)＝eq \f(4,3).X
0
1
2
3
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,2)
eq \f(3,10)
eq \f(1,30)
X
0
1
2
P
eq \f(63,130)
eq \f(28,65)
eq \f(11,130)
Y
0
1
2
P
eq \f(49,100)
eq \f(21,50)
eq \f(9,100)
X
0
1
2
P
eq \f(7,15)
eq \f(7,15)
eq \f(1,15)
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,84)
eq \f(3,14)
eq \f(15,28)
eq \f(5,21)
X
0
1
2
P
eq \f(1,10)
eq \f(3,5)
eq \f(3,10)