（人教A版）高二数学下学期期中复习考点题型讲练 专题09成对数据的统计相关性、一元线性回归模型（2份，原卷+解析）

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倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.相关关系
知识点2.样本相关系数
知识点3.经验回归方程
拓展1.判断变量相关关系的三种方法
拓展2.回归系数的含义
拓展3.最小二乘法求回归方程及回归方程的逆用
拓展4.经验回归分析“三步曲”
拓展5.样本相关系数、决定系数的应用
突破：非线性相关问题
【方法二】 实例探索法
题型1.变量间相关关系的判断
题型2.样本相关系数的应用
题型3.经验回归方程及其应用
题型4.回归效果的刻画
题型5.非线性回归分析
【方法三】差异对比法
易错点1.混淆相关关系与函数关系致误
易错点2.对经验回归方程的理解不到位致误
易错点3.线性相关系数理解不正确致误
【方法四】成果评定法
【知识导图】
【倍速学习四种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.相关关系
一 相关关系
1．相关关系的定义：两个变量有关系，但没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．
2．相关关系的分类
(1)按变量间的增减性分为正相关和负相关．
①正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势；
②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势．
(2)按变量间是否有线性特征分为线性相关和非线性相关(曲线相关)．
①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关；
②非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，我们称这两个变量非线性相关或曲线相关．
二、 相关关系的直观表示
散点图：为了直观描述成对样本数据的变化特征，把每对成对样本数据都用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图，叫做散点图．
例1．（1）单选题（2023下·河南省直辖县级单位·高二校考期末）下列两个变量中能够具有相关关系的是（ ）
A．人所站的高度与视野B．人眼的近视程度与身高
C．正方体的体积与棱长D．某同学的学籍号与考试成绩
【答案】A
【分析】利用相关关系的定义判断.
【详解】A.人所站的高度越高则视野越开阔，具有正相关关系，故正确；
B.人眼的近视程度与身高不具有相关关系，故错误；
C.正方体的体积与棱长是一种确定关系，故错误；
D.某同学的学籍号与考试成绩不具有相关关系，故错误；
故选：A
（2）单选题（2022上·新疆和田·高二校考期末）对于变量，有以下四个散点图，由这四个散点图可以判断变量与成负相关的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据各图中点的分布，分析变量的相关关系即可.
【详解】A：各点分布没有明显相关性，不符；
B：各点分布在一条直线附近，且有负相关性，符合；
C：各点分布在一条抛物线附近，变量之间先呈正相关，后呈负相关，不符；
D：各点分布在一条直线附近，且有正相关性，不符.
故选：B
知识点2.样本相关系数r
(1)
（2）样本相关系数的数字特征：
当时，称成对样本数据正相关；
当时，称成对样本数据负相关；
当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；
当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.
线性相关系数是从数值上来判断变量间的线性相关程度，是定量的方法．与散点图相比较，线性相关系数要精细得多，需要注意的是线性相关系数r的绝对值小，只是说明线性相关程度低，但不一定不相关，可能是非线性相关．
利用相关系数r来检验线性相关显著性水平时，通常与0.75作比较，若|r|>0.75，则线性相关较为显著，否则不显著．
（2024上·天津·高三校联考期末）学习于才干信仰，犹如运动于健康体魄，持之已久、行之愈远愈受益．为实现中华民族伟大复兴，全国各行各业掀起了“学习强国”的高潮．某老师很喜欢“学习强国”中“挑战答题”模块，他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数如下表：
参考数据：，，，，，
相关系数
由表中数据可知该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是 相关（填“正”或“负”），其相关系数 （结果保留两位小数）
【答案】 正 0.99
【分析】根据正相关和负相关的定义即可得出结论；根据相关系数公式求相关系数即可.
【详解】由表中数据得随的增大而增大，
所以该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是正相关，
.
故答案为：正；.
知识点3.经验回归方程
一元线性回归模型
称eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Y＝bx＋a＋e，,Ee＝0，De＝σ2))为Y关于x的一元线性回归模型．其中Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差，如果e＝0，那么Y与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述．
2.经验回归方程：
(1)相关概念：
经验回归直线：经验回归方程也称经验回归函数或经验回归公式，图形称为经验回归直线.
最小二乘估计：求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做的最小二乘估计.
残差：对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差.
（2）
（3）决定系数：

越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；
越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差；
方法技巧 经验回归方程的求法及应用
在散点图中，样本点大致分布在一条直线附近，利用公式求出, 可写出经验回归方程，利用经验回归模型进行研究，可近似地利用经验回归方程来预测 。
方法技巧 一元线性回归模型拟合问题的求解策略
在一元线性回归模型中,R2与相关系数r都能刻画模型拟合数据的效果.|r|越大,R2就越大,用模型拟合数据的效果就越好.
例3．（2024上·青海西宁·高三统考期末）家居消费是指居民在日常生活中购买和使用的家具、家电、建材、装修等产品和服务所形成的消费行为.长期以来，家居消费一直是居民消费的重要组成部分，对于带动居民消费增长和经济恢复具有重要意义.某家居店为了迎接周年庆举办促销活动，统计了半个月以来天数x与销售额y（万元）的一组数据：.通过分析发现x与y呈线性相关.
(1)求x与y的样本相关系数r（结果保留三位小数）；
(2)求x与y的线性回归方程（，的结果用分数表示）.
参考公式：相关系数，，.
参考数据：，，，.
【答案】(1)0.984；
(2).
【分析】（1）根据给定数据，求出样本中心点，再代入公式计算即得.
（2）由（1）的信息，结合最小二乘法公式计算即得.
【详解】（1）依题意，，，
所以.
（2）因为，则，
所以y关于x的线性回归方程为.
拓展1.判断变量相关关系的三种方法
解答题．（2023上·高二课时练习）《国家学生体质健康标准（2014年修订）》中，体能监测包含身高、体重、肺活量、50米跑、坐位体前屈、引体向上（女：仰卧起坐）、立定跳远、1000米跑（女：800米跑），据此得到的每项指标都可以按照相应的单项指标评分表进行测量和计分，分别得到相应的数据．
(1)这些数据中的任意两组是否都可以作为成对数据进行相关分析？
(2)依据你的经验，哪两组数据的相关程度可能最高？哪两组数据的相关程度可能最低？如何通过统计方法检验你的判断？
【答案】(1)都可以
(2)肺活量和50米跑相关程度最高，身高和肺活量相关程度最低（答案不唯一）
【分析】（1）根据相关关系的定义判断即可；
（2）根据经验找到合理的案例，结合统计学知识分析即可.
【详解】（1）都可以，因为每项指标都可以按照相应的单项指标评分表进行测量和计分，
且任意两项指标之间存在一定的关系，但又没有确切到可由其中的一个精确地决定另一个的程度，
所以任意两组数据均可以作为成对数据进行相关分析，只是有些数据相关性较弱..
（2）依据经验可知肺活量和米跑相关程度最高，身高和肺活量相关程度最低，（答案不唯一），
通过测量出米成绩与肺活量的数据，作出散点图，即可判断.
通过测量出身高与肺活量的数据，作出散点图，即可判断.
拓展2.回归系数的含义
2．单选题（2023上·天津武清·高三天津英华国际学校校考阶段练习）有人调查了某高校14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到如下数据表：
利用最小二乘法计算的儿子身高关于父亲身高的回归直线为.
根据以上信息进行的如下推断中，正确的是（ ）
A．当时，，若一位父亲身高为，则他儿子长大成人后的身高一定是
B．父亲身高和儿子身高是正相关，因此身高更高的父亲，其儿子的身高也更高
C．从回归直线中，无法判断父亲身高和儿子身高是正相关还是负相关
D．回归直线的斜率可以解释为父亲身高每增加，其儿子身高平均增加
【答案】D
【分析】由回归直线中的为估计值并不绝对，可排除A、B，可排除C.
【详解】对A选项：为估计值，并不一定，故错误；
对B选项：同上，该值为估计值，并不绝对，故错误；
对C选项：由，故可判断父亲身高和儿子身高是正相关，故错误；
都D选项：回归直线的斜率可以解释为父亲身高每增加，其儿子身高平均增加，故正确.
故选：D.
拓展3.最小二乘法求回归方程及回归方程的逆用
3．（2024·全国·高三专题练习）近年来，我国新能源汽车技术水平不断进步、产品性能明显提升，产销规模连续六年位居世界首位．某汽车城从某天开始连续的营业天数x与新能源汽车销售总量y（单位：辆）的统计数据如下表所示：
(1)已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明（结果精确到0.001）；
(2)求y关于x的经验回归方程，并预测该汽车城连续营业130天的汽车销售总量．
参考数据：，，．
参考公式：相关系数，经验回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，．
【答案】(1)答案见解析
(2)，142辆．
【分析】（1）根据相关系数的计算公式代入数据即可求解，
（2）由最小二乘法的计算公式求解线性回归方程，即可代入求解.
【详解】（1）（1），
，
，
，
则相关系数，.
y与x的相关系数近似为0.999，说明y与x的线性相关程度相当高，
从而可用线性回归模型拟合y与x的关系．
（2）（2）由（1）得，
，
所以y关于x的经验回归方程为．
将代入，得，
所以预测该汽车城连续营业130天的汽车销售总量为142辆．
拓展4.经验回归分析“三步曲”
4．（2021下·广东河源·高二河源市河源中学校考开学考试）现有一环保型企业，为了节约成本拟进行生产改造，现将某种产品产量x与单位成本y统计数据如表：
(1)试确定回归方程；
(2)指出产量每增加1000件时，单位成本平均下降多少？
(3)假定单位成本为70元件时，产量应为多少件？
参考公式：
参考数据
【答案】(1)
(2)1.818元
(3)4050件
【分析】（1）根据所给数据画出散点图，根据公式算出相应的即可得解.
（2）直接代入预测模型预测即可.
（3）直接代入预测模型解方程即可.
【详解】（1）设x表示每月产量单位：千件，y表示单位成本单位：元件，作散点图如图．
由图知y与x间呈线性相关关系．
设线性回归方程为，其中，，
由公式可求得，，
回归方程为.
（2）由回归方程知，每增加1000件产量，单位成本下降1.818元．
（3）当时，，得千件．
单位成本是70元件时，产量约为4050件．
拓展5.样本相关系数、决定系数的应用
5．填空题（2021下·安徽六安·高二安徽省舒城中学校考阶段练习）甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和如下表：
则试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高的同学是 .
【答案】丁
【分析】根据散点图中各样本点条状分布越均匀，同时残差平方和越小，即可判断其线性回归模型的拟合效果越好.
【详解】对于已经获取的样本数据，表达式中为确定的数，
则残差平方和越小，越大，由此知丁同学的线性回归模型的拟合效果最好，
故答案为：丁.
6．（2021下·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）全球化时代，中国企业靠什么在激烈的竞争中成为世界一流企业呢？由人民日报社指导，《中国经济周刊》主办的第十八届中国经济论坛在人民日报社举行，就中国企业如何提升全球行业竞争力进行了研讨．数据显示，某企业近年加大了科技研发资金的投入，其科技投入（百万元）与收益（百万元）的数据统计如下：
根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理．如下表：
其中，．
（1）请根据表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.1，用的近似值算）；
（2）①乙认为样本点分布在直线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的决定系数（即相关指数），试计算，比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？（精确到0.001）
②由①所得的结论，计算该企业欲使收益达到1亿元，科技投入的费用至少要多少百万元？（精确到0.1）
附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，决定系数：．参考数据：．
【答案】（1）；（2）①；甲建立的回归模型拟合效果更好；②科技投入的费用至少要9.3百万元．
【分析】(1)两边取对数得，令，利用最小二乘法可求得，由此可得回归方程；
(2)①根据公式计算可得相关指数，由此可得结论；
②由，解不等式可求得范围，由此可得结果．
【详解】(1)将两边取对数得：，令，则，
∵，∴根据最小二乘估计可知：，
∴，
∴回归方程为，即．
(2)①甲建立的回归模型的．
∴甲建立的回归模型拟合效果更好．
②由①知，甲建立的回归模型拟合效果更好．
设，解得：，解得：．
∴科技投入的费用至少要9.3百万元，下一年的收益才能达到1亿．
突破：非线性相关问题
1．（2023·全国·模拟预测）一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需，还能延长外地游客、商务办公者等的留存时间，带动当地经济发展，是衡量一座城市生活质量、消费水平、投资环境及文化发展活力的重要指标．数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模保持稳定增长，下表为2017—2022年中国夜间经济的市场发展规模（单位：万亿元），其中2017—2022年对应的年份代码依次为1~6．
(1)已知可用函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（的值精确到0.01）；
(2)某传媒公司预测2023年中国夜间经济的市场规模将达到48.1万亿元，现用（1）中求得的回归方程预测2023年中国夜间经济的市场规模，若两个预测规模误差不超过1万亿元，则认为（1）中求得的回归方程是理想的，否则是不理想的，判断（1）中求得的回归方程是否理想．参考数据：
其中．
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
【答案】(1)；
(2)是理想的
【分析】（1）通过对所给的的函数模型取对数，转换为求回归直线方程即可，再结合题中所给的直线方程与数据即可得解.
（2）利用（1）中求得的函数模型进行预测，结合回归方程理想的定义判断即可.
【详解】（1）将的等号左右两边同时取自然对数得，
所以．，
而，
所以，
．
所以，即，
所以．
（2）2023年对应的年份代码为7，
当时，，，
所以（1）中求得的回归方程是理想的．
【方法二】实例探索法
题型1.变量间相关关系的判断
1．多选题（2023下·高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．闯红灯与交通事故发生率的关系是相关关系
B．同一物体的加速度与作用力是函数关系
C．产品的成本与产量之间的关系是函数关系
D．广告费用与销售量之间的关系是相关关系
【答案】ABD
【分析】利用相关关系的定义判断.
【详解】闯红灯与发生交通事故之间不是因果关系，但具有相关性，是相关关系，所以A正确；
物体的加速度与作用力的关系是函数关系，B正确；
产品的成本与产量之间是相关关系，C错误；
广告费用与销售量之间是相关关系，D正确．
故选：ABD
题型2.样本相关系数的应用
2．多选题（2023上·辽宁沈阳·高二校考期末）对两个变量和进行回归分析，则下列结论正确的为（）
A．回归直线至少会经过其中一个样本点
B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C．建立两个回归模型，模型的相关系数，模型的相关系数，则模型的拟合度更好
D．以模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别为
【答案】BD
【分析】根据回归方程、残差、相关系数、非线性回归等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，回归直线不一定经过样本点，A选项错误.
B选项，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，B选项正确.
C选项，，所以模型的拟合度更好，C选项错误.
D选项，由，得，D选项正确.
故选：BD
题型3.经验回归方程及其应用
3．单选题（2023上·四川成都·高三成都七中校考期中）某公司一种型号的产品近期销售情况如表：
根据上表可得到回归直线方程，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为（ ）
A．18.85万元B．19.3万元C．19.25万元D．19.05万元
【答案】D
【分析】根据题意，由回归直线方程过样本点的中心，即可求得，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】由表中数据可得，，
因为回归直线过样本点的中心，所以，解得，
所以回归直线方程为，
则该公司7月份这种型号产品的销售额为万元.
故选：D
题型4.回归效果的刻画
4．单选题（2023·江苏苏州·校联考模拟预测）为研究某地区疫情结束后一段时间内的复工率，用模型（1）和模型（2）模拟复工率y（%）与复工时间x（x的取值为5，10，15，20，25，30天）的回归关系：模型（1），模型（2），设两模型的决定系数依次为和.若两模型的残差图分别如下，则（ ）
A．D．、关系不能确定
【答案】A
【分析】根据残差点图分析拟合效果，从而得到答案.
【详解】根据残差点图，模型（2）残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，带状区域宽度窄，拟合精度较高，所以