（人教A版）高二数学下学期期中复习考点题型讲练 专题04条件概率与全概率公式（2份，原卷版+解析版）

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倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.条件概率
知识点2.乘法公式
知识点3.全概率公式
知识点4.贝页斯公式
拓展1.条件概率的求解
拓展2.全概率公式的应用
突破：全概率公式与贝叶斯公式的应用
【方法二】 实例探索法
题型1.条件概率的概念与计算
题型2.事件的独立性与条件概率的关系
题型3.乘法公式的应用
题型4条件概率的综合应用
题型5.全概率公式的应用
题型6.贝叶斯公式的应用
题型7.全概率公式与贝叶斯公式的综合应用
【方法三】差异对比法
易错点：混淆“条件概率”与“交事件的概率”
【方法四】成果评定法
【知识导图】
【倍速学习四种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.条件概率
一、条件概率的概念
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．
二、 条件概率的性质
设P(A)>0，则
(1)P(Ω|A)＝1.
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
(3)设eq \x\t(B)和B互为对立事件，则P(eq \x\t(B)|A)＝1－P(B|A)．
例1．单选题（2024·全国·模拟预测）我国的生态环境越来越好，旅游的人越来越多．现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩．记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件为“两位游客选择的景点相同”，则等于（ ）
A．B．C．D．
知识点2.乘法公式
对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)为概率的乘法公式．
例2．填空题（2024上·山东滨州·高三统考期末）甲和乙两个箱子中各装有10个除颜色外完全相同的球，其中甲箱中有4个红球、3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球、2个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用、和表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，用B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则
知识点3.全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝ P(Ai)P(B|Ai)，我们称该公式为全概率公式．
例3．多选题（2024上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）今年是共建“一带一路”倡议提出十周年.某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问卷调查，则（ ）
A．在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为
B．在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为
C．甲获得奖品的概率为
D．若甲获得奖品，则甲先抽取绿球的机会最小
知识点4.贝叶斯公式
设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝eq \f(PAiPB|Ai,PB) = ，i＝1,2，…，n.
例4．（2023·全国·高二随堂练习）现在一些大的建筑工程都实行招投标制．在发包过程中，对参加招标的施工企业的资质（含施工质量、信誉等）进行调查和评定是非常重要的．设B=“被调查的施工企业资质不好”，A=“被调查的施工企业资质评定为不好”．由过去的资料知，．现已知在被调查的施工企业当中有确实资质不好，求评定为资质不好的施工企业确实资质不好的概率（精确到0.01）．
拓展1.条件概率的求解
1．（2024·广东肇庆·统考模拟预测）小明去书店买了5本参考书，其中有2本数学，2本物理，1本化学.小明从中随机抽取2本，若2本中有1本是数学，则另1本是物理或化学的概率是 .
拓展2.全概率公式的应用
2．（2024上·福建泉州·高三统考期末）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.
(1)求第2次摸到红球的概率；
(2)设第次都摸到红球的概率为；第1次摸到红球的概率为；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为.求；
(3)对于事件，当时，写出的等量关系式，并加以证明.
突破：全概率公式与贝叶斯公式的应用
1．多选题（2024上·辽宁抚顺·高二校联考期末）在某班中，男生占，女生占，在男生中喜欢体育锻炼的学生占，在女生中喜欢体育锻炼的学生占，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（ ）
A．抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为
B．抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为
C．若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为
D．若抽到的学生喜欢体育段炼，则该学生是女生的概率为
【方法二】实例探索法
题型1.条件概率的概念与计算
1．（2024上·天津和平·高三统考期末）将3个黑球和2个白球放入一个不透明的盒中，各球除颜色不同外完全相同，现从盒中两次随机抽取球，每次抽取一个球．
（ⅰ）若第一次随机抽取一个球之后，将抽取出来的球放回盒中，第二次随机抽取一个球，则两次抽到颜色相同的球的概率是 ；
（ⅱ）若第一次随机抽取一个球之后，抽取出来的球不放回盒中，第二次从盒中余下的球中随机抽取一个球，则在已知两次抽取的球颜色相同的条件下，第一次抽取的球是白球的概率是 ．
题型2.事件的独立性与条件概率的关系
2．多选题（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球球除颜色外，大小质地均相同先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（ ）
A．事件与相互独立B．
C．D．
题型3.乘法公式的应用
3．（2024上·上海·高二校考期末）某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回.已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为 .
题型4条件概率的综合应用
4．（2024上·天津河北·高三统考期末）甲乙两人射击，甲射击两次，乙射击一次.甲每次射击命中的概率是，乙命中的概率是，两人每次射击是否命中都互不影响，则甲乙二人全部命中的概率为 ；在两人至少命中两次的条件下，甲恰好命中两次的概率为 .
题型5.全概率公式的应用
5．（2024·贵州·校联考模拟预测）甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.
(1)随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率；
(2)已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.
题型6.贝叶斯公式的应用
6．（2023·全国·高二随堂练习）某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04．现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率有多大？
题型7.全概率公式与贝叶斯公式的综合应用
7．（2024·天津·校考模拟预测）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为 ；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是 ．
【方法三】差异对比法
易错点：混淆“条件概率”与“交事件的概率”
1．判断题（2023上·高二课时练习）判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”）
（1）.( )
（2）事件发生的条件下，事件发生的概率，相当于同时发生的概率．( )
（3）.( )
（4）.( )
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023下·浙江·高二校联考阶段练习）从中依次不放回地取2个数，事件为“第一次取到的是偶数”，事件为“第二次取到的是3的整数倍”，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·高二课时练习）英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.根据贝叶斯统计理论，事件A，B，（A的对立事件）存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（ ）
A．0.01B．0.0099C．0.1089D．0.1
3．（2021上·山东淄博·高三统考阶段练习）甲袋中有个白球、个红球，乙袋中有个白球、个红球，从两个袋中任选一袋，从中任取一球，则取到的球是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023下·江苏·高二校联考阶段练习）从3，4，5，6，7，8中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）等于（ ）
A．0.5B．0.4C．0.25D．0.125
5．（2023下·高二课时练习）小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022下·江苏泰州·高二泰州中学校考期中）医生按照某流行病检验指标将人群分为感染者和正常者，针对该病的快速检验试剂有阴性和阳性2种结果．根据前期研究数据，该试剂将感染者判为阳性的概率是80%，将正常者判为阳性的概率是10%．专家预测，某小区有5%的人口感染了该病，则在单次检验的结果为阴性的人群中，感染者的概率是（ ）
A．B．C．1%D．10%
7．（2021·高二课时练习）已知，，等于
A．B．C．D．
8．（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）某人从A地到B地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.3，0.3，0.4，乘火车迟到的概率为0.2，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.4，则这个人从A地到B地迟到的概率是（ ）
A．0.16B．0.31C．0.4D．0.32
二、多选题
9．（2023·全国·模拟预测）某儿童乐园有甲、乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.4和0.6．如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.5，则王同学（ ）
A．第二天去甲游乐场的概率为0.54
B．第二天去乙游乐场的概率为0.44
C．第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为
D．第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为
10．（2023下·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为
B．第二次抽到3号球的概率为
C．如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大
D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有180种
11．（2023下·辽宁抚顺·高二校联考期中）已知为两个随机事件，且，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若B和C是两个互斥事件，则
D．当时，
12．（2024上·河南南阳·高三方城第一高级中学校联考期末）某公司成立了甲、乙、丙三个科研小组，针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克该技术难题的小组都会获得奖励．已知甲、乙、丙三个小组攻克该技术难题的概率分别为，且三个小组各自独立进行科研攻关，则（ ）
A．该技术难题被攻克的概率为：
B．在该技术难题被攻克的条件下，只有一个小组获得奖励的概率为
C．在丙小组攻克该技术难题的条件下，恰有两个小组获得奖励的概率为
D．在该技术难题被两个小组攻克的条件下，这两个小组是乙和丙的概率最大
三、填空题
13．（2023下·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）从编号为1~5号的球中随机抽取一个球，记编号为i，再从剩下的球中取出一个球，记编号为j，在的条件下，的概率为 ．
14．一只袋内装有大小相同的3个白球，4个黑球，从中依次取出2个小球，已知第一次取出的是黑球，则第二次取出白球的概率是 ．
15．（2023下·北京西城·高二统考期末）抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，在甲骰子的点数为奇数的条件下，乙骰子的点数不小于甲骰子点数的概率为 ．
16． 10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽两张，则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率为 ．
四、解答题
17．（2023上·重庆北碚·高二西南大学附中校考期中）为了考察学生对高中数学知识的掌握程度，准备了甲、乙两个不透明纸箱．其中，甲箱有2道概念叙述题，2道计算题；乙纸箱中有2道概念叙述题，3道计算题（所有题目均不相同）．现有A，B两个同学来抽题回答；每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答．每个同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答（不在题目上作答）．两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱．
(1)如果A同学从甲箱中抽取两道题，则第二题抽到的是概念叙述题的概率；
(2)如果A同学从甲箱中抽取两道题，解答完后，误把题目放到了乙箱中．B同学接着抽取题目回答，若他从乙箱中抽取两道题目，求第一个题目抽取概念叙述题的概率．
18．（2023上·重庆北碚·高二西南大学附中校考期中）为了考察学生对高中数学知识的掌握程度，准备了甲、乙两个不透明纸箱．其中，甲箱有2道概念叙述题，2道计算题；乙纸箱中有2道概念叙述题，3道计算题（所有题目均不相同）．现有A，B两个同学来抽题回答；每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答．每个同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答（不在题目上作答）．两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱．
(1)如果A同学从甲箱中抽取两道题，则第二题抽到的是概念叙述题的概率；
(2)如果A同学从甲箱中抽取两道题，解答完后，误把题目放到了乙箱中．B同学接着抽取题目回答，若他从乙箱中抽取两道题目，求第一个题目抽取概念叙述题的概率．
19．（2024上·吉林·高二校联考期末）中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3个三鲜馅的“饺子”和4个青菜馅的“饺子”.问：
(1)从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？
(2)若依次从甲箱中取出两盒“饺了”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率；
(3)若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率.
20．（2024上·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）全民健身创精彩，健康成长蟩未来.为此某校每年定期开展体育艺术节活动，活动期间举办乒乓球比赛.假设甲乙两人进行一场比赛，在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率为（）.
(1)若比赛采用五局三胜制，且，则求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；
(2)若比赛有两种赛制，五局三胜制和三局两胜制，且，试分析哪种赛制下甲获胜的概率更大？并说明理由.
21．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中．某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球．
(1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；
(2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球．若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率．
22．（2023上·贵州贵阳·高三统考开学考试）某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，三个年级的学生都报名参加公益志愿活动，经过选拔，高一年级有的学生成为公益活动志愿者，高二、高三年级各有的学生成为公益活动志愿者．
(1)设事件“在三个年级中随机抽取的1名学生是志愿者”；事件“在三个年级中随机抽取1名学生，该生来自高年级”（）．请完成下表中不同事件的概率：
(2)若在三个年级中随机抽取1名学生是志愿者，根据以上表中所得数据，求该学生来自于高一年级的概率．事件概率
概率值