（人教A版）高二数学下学期期中复习考点题型讲练 专题08正态分布（2个知识点2个拓展1个突破3种题型1个易错点）（2份，原卷版+解析版）

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倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.正态曲线与正态分布
知识点2.正态曲线的性质
拓展1.正态分布概率的求法
拓展2.正态分布在实际生活中的应用
突破：正态分布的综合应用
【方法二】 实例探索法
题型1.正态曲线
题型2.利用正态曲线的对称性求概率
题型3.正态分布的应用
【方法三】差异对比法
易错点：错用正态曲线的对称性
【方法四】成果评定法
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.正态曲线与正态分布
正态曲线与正态分布
1．我们称f(x)＝eq \f(1,σ\r(2π))，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
2．若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．
3．若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．
例1.单选题（2024上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）某班有45名学生，最近一次的市联考数学成绩服从正态分布，若的学生人为18，则（ ）
A．0.2B．0.25C．0.3D．0.35
知识点2.正态曲线的性质
正态曲线的特点
1．对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．
2．曲线与x轴之间的面积为1.
3．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
4．曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π)).
5．当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
6．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.
7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.
知识点三 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．
例2．多选题（2024上·辽宁·高二校联考期末）随机变量，且，随机变量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
拓展1.正态分布概率的求法
1．（2024·全国·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，且，则 ．
拓展2.正态分布在实际生活中的应用
2．（2023·全国·模拟预测）某市有20000名学生参加了一项知识竞赛活动（知识竞赛分为初赛和复赛），并随机抽取了100名学生的初赛成绩作为样本，绘制了频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值和分位数．
(2)若所有学生的初赛成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，初赛成绩不低于89分的学生才能参加复赛，试估计能参加复赛的人数．
(3)复赛设置了三道试题，第一、二题答对得30分，第三题答对得40分，答错得0分．已知某学生已通过初赛，他在复赛中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响，记该考生的复赛成绩为，求的分布列及数学期望．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
【方法二】实例探索法
题型1.正态曲线
1．单选题（2021·高二单元测试）设X～N(μ1，)，Y～N(μ2，)，这两个正态曲线如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．P(Y≤μ1)≥P(Y≤μ2)
B．P(X≥σ1)≥P(X≥σ2)
C．若t