高考数学第二轮复习专题练习专题7.9 正态分布（重难点题型精讲）（学生版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习专题7.9 正态分布（重难点题型精讲）（学生版），共8页。试卷主要包含了连续型随机变量，正态分布，正态曲线的特点，3原则等内容，欢迎下载使用。

1．连续型随机变量
随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量.
2．正态分布
(1)正态曲线
函数f(x)=，x∈R.其中∈R，>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正
态密度曲线，简称正态曲线.
(2)正态分布
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(,).特别地，
当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布.
(3)正态分布的均值和方差
若XN(,)，则E(X)=，D(X)=.
3．正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线x=对称；
(3)曲线在x=处达到峰值；
(4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴；
(5)对任意的>0，曲线与x轴围成的面积总为1；
(6)在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示；
(7)当取定值时，正态曲线的形状由确定，当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分
布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示.
4．3原则
(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率
P(-X+)0.6827；
P(-2X+2)0.9545；
P(-3X+3)0.9973.
(2)3原则
在实际应用中，通常认为服从正态分布N(,)的随机变量X只取[-3，+3]中的值，这在统计学
中称为3原则.
【题型1 正态曲线的特点】
【方法点拨】
根据正态曲线及其性质，结合正态曲线的特点，进行求解即可.
【例1】（2023·高三课时练习）设X~N(μ1,σ12)，Y~N(μ2,σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
【变式1-1】（2022秋·上海黄浦·高三期中）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，X~Nμ1,62,Y~Nμ2,22．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ）
A．D(X)=6B．μ1>μ2
C．P(X≤38)σ3B．μ1