浙江省宁波市北仑中学2024-2025学年高二下学期期初返校考试数学试卷（Word版附解析）

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命题：高二备课组 审题：高二备课组
一. 单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 已知直线 l 过点 和 ，则 l 的倾斜角为（ ）
A B. C. D.
2. 已知数列 为等比数列，若 ， ，则 （ ）
A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
3. “ ”是“方程 表示双曲线”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知点 在圆 外部，则实数 m 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
5. 若函数 单调递增，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知在棱长为 的正四面体 中， ，则直线 和 夹角的余弦值为
（ ）
A. B. C. D.
7. 已知定义域为 的函数 ，其导函数为 ，且 ,则（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，已知半椭圆 与半椭圆 组成的曲线称为“果圆”，其
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中 .“果圆”与 轴的交点分别为 ，与 轴的交点分别为 ，点 为半椭
圆 上一点（不与 重合），若存在 ，则半椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二. 多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有
选错的得 0 分.
9. 椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 为 上的任意一点，则（ ）
A. 椭圆 的长轴长为 3 B. 椭圆 的离心率为
C. 的最大值为 5 D. 存在点 ，使得
10. 已知数列 满足 ，则下列结论正确的有（ ）
A. 为等比数列
B. 的通项公式为
C. 为递增数列
D. 的前 n 项和
11. 已知正四棱柱 的底面边长为 ，点 分别满足
.甲､乙､丙､丁四名同学利用《空间向量与立
体几何》这一章的知识对其进行研究，各自得出一个结论：
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甲：当 时，存在 ，使得 ；
乙：当 时，存在 ， ，使得 ；
丙：当 时，满足 的 的关系为 ；
丁：当 时，满足 的点 的轨迹长度为 .
其中得出正确结论的同学有（ ）
A 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
三. 填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分. 共 15 分.
12. 抛物线 的焦点到准线的距离是________.
13. 已知 , 分别是等差数列 的前 项和，且 ，则
________
14. 已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小值点和极大值点．若
，则 a 的取值范围是____________．
四．解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆 C 的圆心为原点，且与直线 相切，直线 过点 ．
（1）求圆 C 的标准方程；
（2）若直线 与圆 C 相切，求直线 的方程．
（3）若直线 被圆 C 所截得的弦长为 ，求直线 的方程．
16. 设 为数列 的前 n 项和，已知 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 n 项和 ．
17. 如图， 四棱锥 中， ， ， ,点 在 上，且 ，
．
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（1）若 为线段 中点，求证： 平面 ．
（2）若 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
18. 已知椭圆 一个顶点 ，以椭圆 的四个顶点为顶点的四边形面积为
．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）过点 P(0，-3)的直线 l 斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 B，C，直线 AB，AC 分别与直线
交于点 M，N，当|PM|+|PN|≤15 时，求 k 的取值范围．
19. 已知函数
（1）若 ，且 ，求 的最小值；
（2）证明：曲线 中心对称图形；
（3）若 当且仅当 ，求 的取值范围．