重庆市第一中学校2024-2025学年九年级下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份重庆市第一中学校2024-2025学年九年级下学期第一次月考 数学试题（含解析），共40页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号码填写在答题卡上．
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为．
一、选择趣：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列四个数中，无理数是（ ）
A. 1B. C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：A、1是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、是无限不循环小数，是无理数，故此选项符合题意．
故选：D．
2. 如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（ ）
A. 三棱锥B. 圆锥C. 三棱柱D. 四棱锥
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查棱柱和棱锥，熟练掌握棱柱和棱锥特点是解题的关键．根据有两个三角形作为顶面和底面，即可判断几何体的形状．
【详解】解：则该几何体是三棱柱．
故选C．
3. 下列运算结果等于的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查同底数幂的计算，熟练掌握同底数幂的乘法和除法运算法则进行计算是解题的关键．根据运算法则计算出答案进行判断即可．
【详解】解：和不是同类项，不能计算，故选项A不符合题意；
，故选项B符合题意；
，故选项C不符合题意；
，故选项D不符合题意；
故选B．
4. 如图，，若，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查三角形的外角性质以及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行的性质得到，再由三角形外角的定义求出答案即可．
【详解】解：，
，
，
．
故选C．
5. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．根据反比例的函数图像进行求解即可．
【详解】解：，图像在二、四象限，
故随的增大而增大，
，
故选B．
6. 一个多边形有14条对角线，那么这个多边形的边数是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【详解】略
7. 将一组数，，3，，，…，，…，按以下方式进行排列，则第六行左起第3个数是（ ）
第一行
第二行 3
第三行
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了探究规律—数字类型，二次根式；前五行的数的个数为，第六行左起第3个数是第个数，即可求解；能找出规律是解题的关键．
【详解】解：由题意得
前五行的数的个数为，
第六行左起第3个数是第个数，
当时，
，
故选：D．
8. 如图，为矩形的对角线，，，以点C为圆心，以长为半径画弧，交延长线于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，本题中能够将不规则图形的面积进行转换成规则图形的面积差是解题的关键．
连接，过点作，垂足为，结合解直角三角形求得，然后根据等腰三角形的性质和扇形面积公式分析计算．
【详解】解：连接，过点作，垂足为，
由题意可得，，
在Rt中，，
∴，
在Rt中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积=，
故选：A．
9. 如图，在正方形中，点E是边的中点，连接，将沿折叠至正方形内部，得到线段，延长交于点G，延长交于点H，若，连接，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过作交于，连接，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由正方形的性质及折叠的性质，同理可证，设，可得，由可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解．
【详解】解：过作交于，连接，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
是的中点，
，
由折叠得：
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
在和中
，
（），
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等；正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键．
10. 定义两个新运算，，且，下列说法正确的有（ ）
①若，则或；
②若，则；
③若，，当时，则；
④若，，则的最小值为2025．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查新定义运算，熟练掌握新定义是解题的关键．根据题中的新定义得出，然后求出m、n的值即可判断①；根据题中的新定义得出，然后分，讨论求出k，即可判断②；根据新定义可求出，然后根据二次函数的性质即可判断③；先根据新定义求出，，然后分当，，，，讨论，利用不等式的性质和绝对值的意义求出的取值范围，即可判断④．
【详解】解：，
即，则或，故①正确；
，
即，
，
即，
当时，
，
当时，，
，
综上，的值为或2，故②错误；
，，
，
，
∴抛物线开口向下，
，，
当时，有最大值为9，当时有最小值为5，
，故③错误；
若，，
，，
∴，
当时，
，
∴；
当时，
，
∴；
当时，；
当时，
，
∴，
当时，
，
∴，
综上，，当时，有最小值为4050，故④错误．
故选：A．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. __________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式．
故答案为：．
12. 中国四大名著分别是《红楼梦》、《西游记》、《水浒传》和《三国演义》，现将背面完全一样，正面分别写有四大名著名字的4张卡片洗匀后放在桌面上且背朝上，小明同时抽取两张，则恰好抽到《西游记》和《水浒传》这两张卡片的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查列表法与树状图法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据题意列表，再由概率公式进行求解即可．
【详解】解：设《红楼梦》、《西游记》、《水浒传》和《三国演义》的卡片分别为，
共有种等可能的情况，根据题意一共有种情况满足题意，
故．
故答案为：．
13. 如图，在中，，点D是线段上的一点，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到线段，且，连接，．若且，则的周长为__________．
【答案】10
【解析】
【分析】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质和相似三角形的判定和性质，结合旋转的性质判定，则，进一步证明，则，即可求得，那么，的周长为即可．
【详解】解：∵，即，
∴，
由旋转得，
∵，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴
∵，，
∴，
则的周长为，
故答案为：10．
14. 若关于的不等式组有且只有两个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的和是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了含有参数的一元一次不等式组及含参数的分式方程，解不等式组得，解分式方程得，根据不等式组及分式方程解的情况，即可求解；能熟练解含有参数的一元一次不等式组及含参数的分式方程，能根据解的情况确定参数是解题的关键．
【详解】解：解不等式组得：，
不等式组有且只有两个奇数解，
，
解得：，
，
解分式方程得：，
分式方程的解为整数，
或，
解得：或或；
，
，
或；
；
故答案为：．
15. 如图，是的外接圆，是的直径，AD与相切，且与的延长线交于点D，过点C作分别交，于F，G两点，若，则__________；且，则__________．
【答案】 ①. 5 ②.
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理，切线的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，连接，根据切线的性质和圆周角定理得出，由平行线的性质可得，从而得出，再证明，根据相似三角形的性质得出；由得，设，则，在中，由勾股定理得，可得，连接，设，得，由勾股定理得，从而可求出．
【详解】解：连接，如图，
∴，
∵是的直径，
∴
∴
∵是的切线，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
又
∴
∴
∴,
∴（负值舍去）；
∵，
∴设，则，
在中，
∴，
解得，
∴，
连接，设，
∴，
在中，，
∴，
解得，，
∴，
∴，
故答案为：5；．
16. 规定：一个四位正整数的各个数位上的数字均不为且互不相同，并满足千位数字是百位数字的倍，个位数字比十位数字大，则称这个四位数为“贰叁数”．若将的千位数字与百位数字组成的两位数记为，将的十位数字与个位数字组成的两位数记为，例如：当时，为，为．记，若一个“贰叁数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，当为整数时，则__________；且为完全平方数，则所有满足条件的正整数之和是__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据千位数字是百位数字的倍，个位数字比十位数字大，可得，，所以有，，且、均为整数，所以可得：，根据能被整除的数的个位是或，可知的个位数为或，又因为四位正整数的各个数位上的数字均不为且互不相同，所以可知的个位数为；
把整理可得：，根据能被整除的数的个位数是或，可知的个位数是或，又因为的值为、、、，的值为、、、、、，可知的个位数不能是，只能是，又因为为完全平方数，所以只有当、和当，时满足条件，求出此时的即可．
【详解】解：的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，
，，
则有，，且、均为整数，
，，
，
为整数，
的个位数为或，
的个位数为或，
或，
四位正整数的各个数位上的数字均不为且互不相同，
的个位数为，
；
解：为完全平方数，
整理得：，
的个位数是或，
的个位数是或，
的值为、、、，的值为、、、、、，
若的个位是，
当，时，，
不是完全平方数，
不符合题意；
当，时，，
是完全平方数，
符合题意，
此时，，
；
当，时，
，
不完全平方数，
不符合题意；
当，时，
，
是完全平方数，
此时，，
；
是偶数，
的个位不可能是，
符合条件的有和，
所有满足条件的正整数之和是．
故答案为： ；．
【点睛】本题考查了新定义计算、有理数的运算、列代数式、整式的加减运算、完全平方数，解决本题的关键是根据千位数字是百位数字的倍，个位数字比十位数字大，得到：，，列出关于、的代数式．
三、解答题：（本大题共8个小题，第17题每小题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应位置上．
17. 计算：
（1）；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查完全平方公式，平方差公式以及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据完全平方公式，平方差公式进行计算即可；
（2）先根据分式的化简运算法则进行化简，再代数求值即可．
小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
，
将代入，
原式．
18. 春回大地，万物复苏，某中学开展了“趣味自然”知识竞赛．现从该校八、九年级学生中各随机抽取10名学生的知识竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组，A：；B：；C：；D：），下而给出了部分信息：
八年级10名学生的知识竞赛成绩分别是：81，85，98，97，90，95，98，83，89，92；
九年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：90，94，91，93．
八、九年级抽取的学生知识竞赛成绩统计表
九年级抽取的学生知识竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中_______，_______，_______．
（2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生在“趣味自然”知识竞赛中的成线更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校八年级有550名学生，九年级有600名学生参加了此次知识竞赛，估计该校八、九年级参加此次知识竞赛成绩优秀（）的学生人数是多少？
【答案】（1），，
（2）九年级，理由见详解
（3）估计人
【解析】
【分析】本题考查了众数和中位数的定义，并利用众数和中位数进行决策，样本估计总体等；
（1）九年级10名学生的竞赛成在组中的数据个数为，即可求出，由中位数的定义得中间两个数为91，93，即可求出，由众数的定义可求，即可求解；
（2）比较中位数，即可求解；
（3）先求出八年级10名学生的知识竞赛成绩中优秀所占百分比，由样本估计总体，即可求解；
理解中位数、众数的定义，能用中位数、众数进行决策，会用样本估计总体是解题的关键．
【小问1详解】
解：九年级10名学生的竞赛成在组中的数据个数为：
，
；
将九年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据从小到大排列为：
90，91，93，94．
九年级10名学生的竞赛成绩的中间两个数为91，93，
；
八年级10名学生的知识竞赛成绩最多的是，
，
故答案为：，，；
【小问2详解】
解：九年级；
理由：平均成绩相同，而八年级成绩的中位数为分低于九年级成绩的中位数分；
【小问3详解】
解：八年级10名学生的知识竞赛成绩中优秀所占百分比为：
，
（人），
答：估计该校八、九年级参加此次知识竞赛成绩优秀（）的学生人数人．
19. 在学习了特殊平行四边形的性质了之后，小明发现：对于夹在两条平行线之间的线段，作其垂直平分线与两条平行线分别交于两点，则该线段的两个端点和垂直平分线与两条平行线的两个交点所构成的四边形是菱形．小明证明的思路是利用三角形的全等和菱形的判定等知识得到此结论，根据他的想法和思路，完成以下作图和填空：
（1）如图，，连接．用尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，和于点E，F和G，连接和（不写做法，保留作图痕迹）；
（2）已知：，连接．线段的垂直平分线分别交，和于点E，F和G，连接和．求证：四边形是荾形．
证明：① ，
．
垂直平分
且② ，
在和中，
，
则四边形是④ ，
四边形是菱形．
进一步思考，如果，请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论：四边形是⑤ ．
【答案】（1）图形见解析
（2），，，平行四边形，正方形．
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，垂直平分线的定义，菱形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）根据垂直平分线的作图步骤画图即可；
（2）根据垂直平分线的定义以及全等三角形的判定和性质证明，即可得到结论．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：，
．
垂直平分
且，
在和中，
，
则四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
进一步思考，如果，请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论：四边形是正方形．
四边形是菱形，
，
，
故菱形是正方形．
故答案为：，，，平行四边形，正方形．
20. 2025年春节，随着《哪吒2》电彩的爆火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办．已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价便宜20元，按售价购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办共需540元．
（1）每个“哪吒”和“敖丙”手办的售价分别是多少元？
（2）由于电影角色深受大家喜爱，所以玩具公司决定对两款手办进行降价促销，若降价后每个“敖丙”手办的售价是每个“哪吒”手办售价的倍，且用800元购买“哪吒”手办的数量比用520元购买“敖丙”手办的数量多5个，求降价后每个“哪吒”手办的售价为多少元？
【答案】（1）每个“哪吒”和“敖丙”手办的售价分别是元、元
（2）降价后每个“哪吒”手办售价为元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用；
（1）等量关系式：每个“敖丙”手办的售价每个“哪吒”手办的售价按售价便宜20元，购买3个“哪吒”手办的费用2个“敖丙”手办的费用540元，列方程组，即可求解；
（2）等量关系式：用800元购买“哪吒”手办的数量用520元购买“敖丙”手办的数量5个，列方程，即可求解；
找出等量关系式是解题的关键．
【小问1详解】
解：设每个“哪吒”和“敖丙”手办的售价分别是元、元，由题意得
，
解得：，
答：每个“哪吒”和“敖丙”手办的售价分别是元、元；
【小问2详解】
解：降价后每个“哪吒”手办的售价为元，由题意得
，
解得：，
经检验：是所列方程的根，且符合题意；
答：降价后每个“哪吒”手办的售价为元．
21. 如图，在四边形中，，，，，，连接BD，动点P从点A出发沿折线方向运动，动点Q从点C出发沿方向运动，动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点D时，P，Q两点时同时停止运动，连接DP，BQ．设运动的时间为x秒，记的面积为，的面积与的面积之比为．
（1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
【答案】（1），
（2）见解析，当时，随的增大而增大
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，掌握一次函数与反比例函数综合应用是解题的关键．
（1）由勾股定理得到，当点P在上时，，
当点P在上时，过点A作于E，根据等面积法求出，则，再求出，，由此可求出；
（2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再写出对应函数的性质即可；
（3）求出两函数的交点坐标，根据函数图象找到函数图象在函数图象下方方时自变量的取值范围即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴
∵，
∴
在中，，，
∴,
如图1，当时，如图1，
∴，即；
当时，如图2，过点A作
∵，
∴；
而
∴，即
综上，；
∵
∴，，
∴；
【小问2详解】
解：①画的图象：
列表：
描点，连线，如图：
画的图象，
列表得，
描点，连线，如图：
性质：当时，随的增大而增大；
【小问3详解】
解：联立方程组，
解得，或（舍去）
联立方程组
整理得，，
解得，或，
由函数图象可知，当或时，．
22. 如图，某景区平面地图中景点D在出发点A的正北方向900米处，观景台B在出发点A的西北方向且在景点D的西南方向，在出发点A的北偏东方向有一条栈道通往游客中心C，游客中心C在是点D的北偏东方向上．（参考数据：，）
（1）请求出栈道长度（结果保留根号）；
（2）小明计划从出发点A前往景点D，可以选择路线①沿慢跑，也可以选择路线②沿骑滑板车，小明慢跑的速度为每分钟120米，骑滑板车的速度比慢跑的速度每分钟快60米，请问小明应该选择哪条路线可以先到达景点D？（结果保留小数点后一位）
【答案】（1）米
（2）路线②
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的特征，等腰三角形的判定及性质；
（1）过作交于，由直角三角形的特征得，由等腰三角形的性质求出，即可求解；
（2）①由等腰三角形的判定及性质及三角函数得，求出此条路线是时间；②，求出此条路线是时间，即可求解；
能熟练利用三角形函数解直角三角形是解题的关键．
【小问1详解】
解：过作交于，
，，
，
，
，
，
，
，
故栈道的长度为米；
【小问2详解】
解：①，
，
，
，
，
（分钟）；
②由（1）得
，
，
（分钟）；
，
小明应该选择路线②可以先到达景点D．
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，连接．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是线段上方抛物线上的一动点，过点作，垂足为点，点，为直线上的两个动点（点在的左侧），且，连接，．当线段的长度取得最大值时，求的最小值；
（3）将该抛物线沿方向平移，使得新抛物线经过点且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，当时，请求出所有符合条件点的坐标（写出必要的求解过程）
【答案】（1）
（2）
（3）点的坐标为或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出点，进而可得直线的解析式为，由勾股定理可得，求出，设作轴交于，则，，从而可得，推出，表示出，结合二次函数的 可得当时，的值最大，此时，即，将点沿方向平移个长度得到，即将点向左平移个长度，向上平移个单位长度得到，连接，则，，得出四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，从而得出，当、、在同一直线上时，的值最小，为，即可得解；
（3）求出平移后的解析式为，联立，得出 ，由题意可得，在轴负半轴上取一点，作直线交新抛物线于点，则，，从而可得，求出直线的解析式为，联立，解得（不符合题意，舍去）或，得出此时；作点关于直线的对称点，作直线交新抛物线于点，连接，由轴对称的性质可得，，，求出，再同理求解即可．
【小问1详解】
解：将，两点代入得：，
解得：，
抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：在中，当时，，故，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
设，如图，作轴交于，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，此时，即，
将点沿方向平移个长度得到，即将点向左平移个长度，向上平移个单位长度得到，连接，则，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，当、、在同一直线上时，的值最小，为，
∴的最小值为；
【小问3详解】
解：，
∵将该抛物线沿方向平移，
∴设该抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，
故平移后的解析式为，
∵新抛物线经过点，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴平移后的解析式为，
联立，解得：或，
∴，
∵，
∴，
如图，在轴负半轴上取一点，作直线交新抛物线于点，
，
则，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得,
解得：，
∴ 直线的解析式为，
联立，解得（不符合题意，舍去）或，
此时；
作点关于直线的对称点，作直线交新抛物线于点，连接，
由轴对称的性质可得，，
∴，
设点，则，，
解得：（不符合题意，舍去）或，即，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得（不符合题意，舍去）或，
此时，
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合—线段问题、二次函数综合—角度问题、解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
24. 在等边中，点D，E分别在边，上，连接，．
（1）如图1，交于点F，，，若，求线段的长；
（2）如图2，连接，过点A作交于点F，若，用等式表示线段，的数量关系，并证明；
（3）如图3，，若点D为中点，点E为线段的三等分点，在直线上有一动点P，连接，将绕点P顺时针旋转得到，在平面内有一点F，满足，连接，若点N为中点，当的值最小时，请直接写出的面积．
【答案】（1）
（2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，结合题意可得，，证明 ，作于，于，则、为等腰直角三角形，得出，，求出，得到，，结合题意可得，由勾股定理可得，设，则，建立方程，求出，即可得解；
（2）作，且，连接、、，则四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，，由等边三角形的性质可得，，证明，得出，又等边对等角结合三角形外角的定义及性质可得，从而可得，求出，得出、、、四点共圆，由圆周角定理可得，解直角三角形得出，即可得解；
（3）由等边三角形的性质可得，，由题意可得，，，取的中点，过点、作直线，连接、，则，，由旋转的性质可得，，则为等边三角形，得出，，证明，得出，推出点在直线上运动，由题意可得点在上运动，取的中点，则，为的中位线，证明，得出点在以为圆心，为半径的圆上，作点关于的对称点，连接，交于，交于，连接、，由轴对称的性质可得，由两点之间线段最短可得，此时的值最小，求出，得出，作于，则，从而可得，，求出，，作于，则，证明，求出，再由三角形面积公式计算即可得解．
【小问1详解】
解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
如图1，作于，于，
，
则、为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，证明如下：
如图2：作，且，连接、、，
，
则四边形为平行四边形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴、、、四点共圆，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵是等边三角形，
∴，，
∵点D为中点，点E为线段的三等分点，
∴，，，
如图3，取的中点，过点、作直线，连接、，则，，
，
∵将绕点P顺时针旋转得到，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴点在直线上运动，
∵在平面内有一点F，满足，连接，
∴点在上运动，
取的中点，则，
∵点N为中点，
∴为的中位线，
∴，，
∴，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
作点关于的对称点，连接，交于，交于，连接、，
由轴对称的性质可得，
∴，由两点之间线段最短可得，此时的值最小，
∵，
∴，
∴，
作于，则，
∴，，
∴，，
作于，则，
∴，
∴，即，
∴，
∴，即的面积为．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．年级
八年级
九年级
平均数
中位数
91
b
众数
c
97
x
1
2
3
8
y
2
4
6
0
x
1
2
4
5
y
8
4
2
1.6