重庆市巴渝学校2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相反数即只有符号不同的两个数，熟练掌握定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数判断即可．
【详解】的相反数是．
故选：C．
2. 如图， 该几何体由 6 个大小相同正方体组成， 从正面看到该几何体的形状图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用从正面看到的图形叫做主视图，根据图中5个正方体的摆放位置即可判定．
【详解】解：从正面看，主视图有3列，正方形的数量分别为：2、2、1，
故选B．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，正确把握观察角度得出正确视图是解题的关键．
3. 反比例函数的图象在每一象限内，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数的增减性可得出，再求出k的范围即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，
∴，
解得，
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟记：对于反比例函数，当时，在每一象限内，随的增大而减小；反之，当时，在每一象限内，随的增大而增大．
4. 如图，与是位似图形，相似比为，已知，则的长为（ ）
A. 4B. 6C. 9D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】由与是位似图形，位似比为，可得，继而可求得的长．
【详解】∵与是位似图形，相似比为1：3，
∴，且，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了位似图形性质，平行线分线段成比例，掌握位似图形的性质是解答本题的关键．
5. 如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图，先利用平角求出∠4，再利用两直线平行，同位角相等即可求解．
【详解】解：如图所示；

，，
，
，
．
即的大小是40°．
故选：A．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
6. 估计的值应在（ ）
A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，先利用二次根式的混合运算法则计算，进而估算的取值范围，进而得出答案．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴的值在3和4之间，
故选：C．
7. 如图，是由大小相同的小五角星按照一定的规律排列而成的图形，观察图中的规律，则第n个图形的小五角星的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知图形中的小五角星个数，得出第n个图形中五角星个数为4+n（n+1）.
【详解】解：第1 个图形有个小五角星，
第2个图形有个小五角星，
第3个图形有个小五角星，
第4个图形有个小五角星，
第个图形有个小五角星.
故选D.
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是将已知图形分割成两部分，并从中找到总个数的通项公式4+n（n+1）．
8. 如图，是的直径，，是的弦，是的切线，为切点，与交于点．若点为的中点，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图：连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，由点为的中点可得,最后等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可解答．
【详解】解：如图：连接，

∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴,
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
9. 如图，点E在边长为4的正方形ABCD的CD边上，连接BE，将△BCE沿直线BE翻折，点C的对应点为C′，延长BC′交AD边于点F，若AF＝3，则tan∠CBE的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】连接，勾股定理求得，进而根据折叠的性质求得，进而求得，可得，证明，即可得点为的中点进而求得，根据正切的意义即可求得tan∠CBE的值
【详解】解：连接，
正方形ABCD的边长为4，
，，
AF＝3，
，
，
折叠，
，，，
，
，
在与中，
，
，
，
，
故选：A.
【点睛】本题考查了求正切值，正方形的性质，折叠问题，勾股定理，求得为的中点是解题的关键．
10. 有依次排列的3个整式：x，，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：x，7，，，，则称它为整式串1；将整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2；以此类推通过实际操作，得出以下结论：
①整式串2为：x，，7，x，，，，，；
②整式串3的和为；
③整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2；
④整式串2022的所有整式的和为；
上述四个结论正确的有（ ）个
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据整式的加减运算法则进行计算，从而得出规律进行求解．
【详解】解：∵第一次操作后的整式串为：，，，，，共个整式，
第一次操作后的整式串的和为： ，
∴第二次操作后的整式串为，，，，，，，，，共个整式，故①的结论正确，符合题意；
第二次操作后所有整式的和为： 第三次操作后整式串为，，，，，，，，，，，，，，，，，共个整式，
第三次操作后整式串的和为：
，故②的结论正确，符合题意；
故第三次操作后的整式串的和与第二次操作后的整式和的差为：，即整式串的所有整式的和比整式串的所有整式的和小，故结论正确，符合题意；
…
∴第次操作后所有整式的积为，
∴第次操作后，所有的整式的和为，故的说法不正确，不符合题意；
正确的说法有①②③，共个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，数字类的规律探索，解题关键是从所给的式子分析出所存在的规律．
二、填空题
11. 计算：________．
【答案】1
【解析】
12. 如果一个正边形的每个内角为，那么这个正边形的边数为_____．
【答案】5
【解析】
【分析】根据多边形的内角和公式列出算式，计算即可．
【详解】解：解：由题意得，解得，，
解得：，
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是正多边形的内角问题，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
13. 一个不透明的口袋中有三张卡片，上面分别写有数字1，2，3，除数字外三张卡片无其他区别，现从中随机抽取两张卡片，则卡片上的数字之和是奇数的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】列表求出所有出现的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意列表如下：
共有6种情况，则卡片上的数字之和是奇数的情况有4种，
故卡片上的数字之和是奇数的概率是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14. 某网购平台2014年“双11”交易额为571亿元，该平台2016年“双11”交易额为1207亿元，为求2014年到2016年的年平均增长率（设为），可列方程为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这两年的年平均增长率为，利用该平台2016年“双11”交易额2014年“双11”交易额（1+这两年的年平均增长率为）2，，可列出关于的一元二次方程，即可得出结论．
【详解】解：设这两年的年平均增长率为，
根据题意得：．
故答案为：．
15. 已知如图，在中，，，以C为圆心为半径作弧，交的延长线于点E，以B为圆心为半径交的延长线于点D，若，则阴影部分的面积是________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】本题主要考查了求扇形面积，勾股定理，根据计算，即可得出答案．
【详解】在中，，，
∴，
∴.
根据勾股定理，得．
．
故答案为：．
16. 如图，△ABC中，点D为边BC的中点，连接AD，将△ADC沿直线AD翻折至△ABC所在平面内，得△ADC′，连接CC′，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若AE＝BE，AD＝6，则BC′的长为________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据得到∠=90°，根据折叠的性质，得到∠AOE=∠DOC=90°，从而证明DO是中位线，△AOE≌△，从而得到AD=AO+DO=，代入计算即可．
【详解】∵点D为边BC的中点，△ADC沿直线AD翻折得△ADC′，
∴，∠AOE=∠DOC=90°，
∴∠=90°，∥OD，
∴，
∵BD=DC，
∴，
∴DO是△的中位线，
∴，
∵AE=BE，∠=∠AOE=90°，∠=∠AEO，
∴△AOE≌△，
∴，
∴AD=AO+DO=，
∴，
解得，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形的判定，熟练掌握中位线定理，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
17. 若数 使关于 的一元一次不等式组 的解集是，且使关于 的分式方程有非负整数解，则符号条件的所有整数的值之和为_____________．
【答案】6
【解析】
【分析】此题主要考查不等式组与分式方程的求解综合，先根据不等式组的解集为求出m的取值，再根据分式方程有非负整数解得到m的取值，故可得到符合条件的所有整数m的值，即可求解．
【详解】解
由①得，
由②得，
∵解集是，
∴，
解，
去分母得，
解得y=，
∵有非负整数解，
∴且，
∴且，
解得，且，
∴且，
∵m为整数，为非负整数，
∴， 1，3，5，
故，
故答案为6．
18. 介绍一个“能被13整除的数的特征”的数学小知识：一个多位数（数位大于等于4）的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差记为，如果能被13整除，则这个多位数就一定能被13整除．例如数字160485，这个数末三位是485，末三位以前是160，，．即325能被13整除，那么160485也能被13整除．则______；若，均为13的倍数，且，，（，，，且，，均为整数）．规定，当时，的最大值为___________．
【答案】 ①. 126 ②.
【解析】
【分析】（1）直接根据公式代入求解即可得到答案；
（2）根据公式代入求出、，结合整除及取值范围即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵m是的倍数，且，
∴可以取或或或或或或，
∴可能是：、2、、、、、，
∵是整数，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴①当时，，
②当时，，
③当时，，
④当时，，
⑤当时，，
∵
∴的最大值为，
故答案为：126，．
【点睛】本题考查新定义的运算及整除问题，解题的关键是正确理解新定义，根据的条件求出a．
三、解答题
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，单项式乘多项式，以及完全平方公式等知识点，
（1）原式利用完全平方公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；
熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
20. 如图，在四边形中，．
（1）用直尺和圆规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接、；在线段的延长线上取一点，使得，连接．（保留作图痕迹，不写作法和结论）
（2）在（1）所作图形中，证明：是等腰三角形（补全证明过程）
证明：平分，
，
，
，
在和中，
，
，
______②，
，
四边形为平行四边形，
垂直，
平行四边形为______③，
，
，
，
即：_____④，
是等腰三角形．
【答案】（1）见解析；
（2）①；②；③菱形；④．
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的作图方法作图，再以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接，，即可．
根据全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定可得答案．
本题考查作图复杂作图、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、线段垂直平分线的作法是解答本题的关键．
【小问1详解】
根据题意，画图如下：
．
【小问2详解】
证明：平分，
，
，
，
在和中，
，
，
．
，
四边形为平行四边形．
垂直，
平行四边形为菱形，
．
，
，
即：，
是等腰三角形．
故答案为：；；菱形；．
21. 为做好青少年毒品预防教育工作，某中学对本校初中七年级、八个年级的学生约3000名进行“珍爱生命，远离毒品”的专题教育，并举办了禁毒知识答题竞赛，学校在七年级、八年级各随机抽取了20份试卷进行分析、整理，其中七年级20名学生的成绩为：75，40，61，96，85，68，70，90，73，73，75，80，63，85，50，85，81，91，65，94.对这40份试卷的成绩按照五个等级（试卷满分为100分，学生得分均为整数）制成扇形统计图，并按年级制成了统计表．
等级说明：
A等：得分在90分及以上； B等：得分在80分~89分；
C等：得分在70分~79分； D等：得分在60分~69分
E等：低于60分．
抽查的七、八年级成绩统计表
请根据以上信息解答：
（1）a＝___，b＝___，c＝___．
（2）你认为该校七、八年级中，哪个年级的竞赛成绩较好？请说明理由（说明一条即可）；
（3）请你估算一下，本次竞赛七年级、八个年级的学生成绩达到80分及以上的学生大约有多少人？
【答案】（1）15,75,85
（2）八年级的竞赛成绩较好
（3）本次竞赛七年级、八个年级的学生成绩达到80分及以上的学生大约有1425人
【解析】
【分析】（1）将1-其它百分率求出a，把七年级20名学生成绩从小到大排序，根据中位数计算出b，根据众数定义求c即可；
（2）根据平均数相同，利用中位数和方差进行决策即可；
（3）用样本中80分以上的百分比×3000计算即可
【小问1详解】
解：a%=1-20%-27.5%-30%-7.5%=15%
∴a=15,
七年级20名学生的成绩从小到大排列为：40，50，61，63，65，68，70，73，73，75，75， 80，81， 85， 85， 85， 90， 91， 94. 96，
第10与第11两名学生的成绩都是75，
∴中位数b=75分，
重复次数最多的是85分，
∴众数为85分
∴c=85分
故答案为15，75，85；
【小问2详解】
解：两个年级的平均数都是75分相同，中位数上看八年级78分高于七年级75分，说明八年级75分以上多余七年级，从方差上看八年级方差151.5低于七年级方差200.8，
∴八年级的竞赛成绩较好；
【小问3详解】
解：被抽查80分以上百分率20%+27.5%=47.5%，
∴本次竞赛七年级、八个年级的学生成绩达到80分及以上的学生大约有3000×47.5%=1425人
【点睛】本题考查样本中的百分比，中位数，众数，利用集中趋势的量和离散趋势的量进行决策，利用样本的百分比含量估计总体中的数量，掌握样本中的百分比，中位数，众数，利用集中趋势的量和离散趋势的量进行决策，利用样本的百分比含量估计总体中的数量是解题关键．
22. “当你背单词时，阿拉斯加的鳕鱼正跃出水面；当你算数学时，南太平洋的海鸥正掠过海岸；当你晚自习时，地球的极圈正五彩斑斓；但少年，梦要你亲自实现，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现．”这是直播带货新平台“东方甄选”带货王董宇辉在推销鳕鱼时的台词．所推销鳕鱼的成本为每袋元，当售价为每袋元时，每分钟可销售袋． 为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降元，则每分钟可多销售袋．
（1）每袋鳕鱼的售价为多少元时，每分钟的销量为袋？
（2）“东方甄选”不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每分钟利润中捐出元帮助留守儿童，为了保证捐款后每分钟利润达到元，且要最大限度让利消费者，求此时鳕鱼的销售单价为多少元？
【答案】（1）每袋鳕鱼的售价为元时，每分钟的销量为袋．
（2）鳕鱼的销售单价为元．
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程和一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，进行解答．
（1）设每袋鳕鱼的售价为元，根据题意，则，解出，即可；
（2）设此时鳕鱼的销售单价为元，根据题意，则方程为，解出方程，即可．
【小问1详解】
解：设每袋鳕鱼的售价为元，每分钟的销售量为袋，
∴，
解得：，
答：每袋鳕鱼的售价为元时，每分钟的销售量为袋．
【小问2详解】
解：设此时鳕鱼的销售单价为元，
∴，
解得：，，
∵要最大限度让利消费者，
∴，
答：此时鳕鱼的销售单价为元．
23. 如图，四边形是边长为4的正方形，O是正方形的中心，动点P从点A出发沿折线A→B→C方向运动，到达C点停止，在上的运动速度为每秒1个单位长度，在上的运动速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，的面积为y．

（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出的面积为3时t的值．
【答案】（1）
（2）图见解析，当时，y随t的增大而减小；
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，掌握函数的解析式求解、函数图象、数形结合的数学思想是解题关键．
（1）分类讨论、两种情况，画出对应的图形即可求解；
（2）描点、连线即可完成作图；
（3）作出直线，确定其与函数图象的交点横坐标即可求解．
【小问1详解】
解：①当时，动点P在上运动，
作，如图所示：

∵，
∴
∵O是正方形的中心，
∴
∴；
②当时，动点P在上运动，
作，如图所示：

此时，
∵O是正方形的中心，
∴
∴；
综上所述：
【小问2详解】
：如图所示：

当时，y随t的增大而减小
【小问3详解】
解：作出直线，如图所示：；

可知直线与函数的图象的交点横坐标为和
∴的面积为3时，或
24. 仙女山大草原部分景点的道路分布如图所示，其中是骑行公路．经测量，点C在点B正南方，点D在点B正东方，，米，点A在点B的北偏西23°方向，米，点E在点D正北方且在点A正东方．（参考数据：，，，）

（1）求的距离；（结果精确到个位）
（2）小华和小亮同时从游客中心点C出发，前往点E处的露营基地，小华沿路线步行到达基地，速度为；小亮以的速度沿到达点A后，立即骑行到达点E，骑行速度为，请计算说明小华和小亮谁先到达E点？
【答案】（1）的距离约为550米
（2）小亮先到达E点
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
（1）设的延长线交于点F，可得和都是直角三角形，四边形是矩形，，再利用锐角三角函数求解即可；
（2）在中，求解米，在中，求解米，再进一步求解即可．
【小问1详解】
解：设的延长线交于点F，

由题意知：和都直角三角形，四边形是矩形，，
在中，
∵，米，
∴（米），
∴米，
∴在中，
∵，米，
∴（米），
∴（米），
答：的距离约为550米；
【小问2详解】
在中，
∵，米，
∴（米），
∴在中，
∵，米，
∴（米），
∴米，
∴小华到达E点所花时间为，
小亮到达E点所花时间为，
∵，
∴小亮先到达E点．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点是抛物线上位于直线下方一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）如图2，点是抛物线上一点，连接，当线段的中点恰好在轴上时，探究抛物线上是否存在点，使．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）有最大值为，此时点，；
（3）存在，点的坐标为：或．
【解析】
【分析】（1）设抛物线的表达式为：，用待定系数法即可求解；
（2）证明，即可求解；
（3）当时，则，即可求解．
【小问1详解】
抛物线与轴交于、两点，
设抛物线的表达式为：，
将代入得：
则，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
【小问2详解】
过点作轴于点，如图1，
由点、的坐标得，，
，则，
则，
设直线的表达式为：，
将、代入得，
，解得：，
所以直线表达式为：，
设点，则点，
则，
，
则有最大值为，此时点，；
【小问3详解】
存在，理由：
如图2，当线段的中点恰好在轴上时，由中点坐标公式得：，
即点，
设直线交于点，
设点，
当时，
则，
即，
解得：，
即点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
联立直线和抛物线的表达式得：
解得：（舍弃）或，
当和平行时，直线的解析式为：，
与抛物线解析式联立可求的坐标为：．
即点的坐标为：或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、一次函数的性质、等腰三角形的性质等，综合性强，难度适中．
26. 在中，，，点D为边上一动点，连接，将绕着D点逆时针方向旋转得到，连接．
（1）如图1，，点D恰好为中点，与交于点G，若，求的长度；
（2）如图2，与交于点F，连接，在延长线上有一点P，，求证：；
（3）如图3，与交于点F，且平分，点M为线段上一点，点N为线段上一点，连接、，点K为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在M、N运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值．
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）由勾股定理，得到，根据等腰三角形三线合一的性质可知，点是的中点，得到，从而得到，再由勾股定理，求得，由旋转的性质可知，，，最后利用勾股定理，即可求出的长度；
（2）过点作交于点，由题意可知，是等腰直角三角形，进而得出，，利用旋转的性质，易证，得到，，进而证明，推出，即可证明结论；
（3）在上取点，使得，连接，根据旋转性质和角平分线的定义，易证，得到，进而推出当、、三点共线，且时，取得最小值，再根据折叠的性质和三角形外角的定义，得出、、三点共线，，进而得到，最后分别表示出，，即可求出的值．
【小问1详解】
解：，，
，
，
点是的中点，
，
点D为中点，
，
在中，，
由旋转的性质可知，，，
；
【小问2详解】
证明：如图2，过点作交于点，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
由旋转的性质可知，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图3，在上取点，使得，连接，
由旋转的性质可知，，，
是等腰直角三角形，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
当、、三点共线，且时，取得最小值，如图，
由旋转的性质可知，，，
，
，
将沿直线翻折至所在平面内得到，
，，，
，
，
，
，
，
，
，即、、三点共线，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的特征，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，三点共线问题等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．第一张
第二张
1
2
3
1
3
4
2
3
5
3
4
5
七年级
八年级
平均数
75
75
中位数
b
78
众数
c
74
方差
200.8
151.5