高考数学2025 导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题 专项训练11（word版）

这是一份高考数学2025 导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题 专项训练11（word版），共6页。
一、证明不等式常用的方法和思路
作差构造函数，转化为最值问题
二、不等式恒成立问题常用的方法和思路
(1)直接法
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
三、零点问题常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）设函数，其中为自然对数的底数，曲线在处切线的倾斜角的正切值为．
（1）求的值；
（2）证明：．
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的函数
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，
例3．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）若对任意的都有成立，求c的取值范围.
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若，且在上的最小值为0，求的取值范围.
例5．（2021·北京市第八中学怡海分校高三阶段练习）已知函数（）
（1）求在处的切线方程；
（2）当有3个零点时，求的取值范围．
例6．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（理））已知函数.
（1）若，求曲线在处切线的方程；
（2）求的单调区间；
（3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.
例7．（2020·四川省内江市第六中学高三阶段练习（理））已知，函数.
（1）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直, 求的值；
（2）设,若对任意的,且,都有，求的取值范围．
【技能提升训练】
1．（2021·西藏·拉萨中学高三阶段练习（文））已知函数在处的极值为2，其中．
（1）求，的值；
（2）对任意的，证明恒有．
2．（2021·新疆师范大学附属中学高三阶段练习（理））已知函数，，曲线与曲线在处的切线互相平行．
（1）求的值；
（2）求证：在上恒成立．
3．（2021·全国·高三专题练习（理））已知函数.
（1）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；
（2）若且，求证：.
4．（2021·全国·高三阶段练习（文））已知，．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若，证明：．
5．（2021·宁夏·青铜峡市高级中学高三阶段练习（理））已知函数（a是常数）.
（1）当时，求的单调区间与极值；
（2）若，求a的取值范围；
6．（2021·福建·莆田第二十五中学高三阶段练习）已知函数在与处都取得极值．
（1）求，的值；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
7．（2021·全国·高三阶段练习（文））已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，证明：时，当恒成立.
8．（2019·山西省平遥中学校高三阶段练习（理））已知.
（1）求的单调区间；
（2）若存在使成立，求实数的取值范围.
9．（2021·陕西礼泉·高三开学考试（文））已知函数在处取得极值.
（1）求在上的最小值；
（2）若函数有且只有一个零点，求b的取值范围.
10．（2021·安徽安庆·一模（理））函数.
（1）讨论函数的极值；
（2）当时，求函数的零点个数.
11．（2019·山东日照·高三期中（理））已知函数．
(1)证明：当恒成立；
(2)若函数恰有一个零点，求实数的取值范围．
12．（2020·江西·南昌市第三中学高三阶段练习）已知函数，，曲线与曲线在处的切线互相垂直，记.
（1）求实数k的值；
（2）若方程有两个不相等实根，求的取值范围；
（3）讨论函数的单调性.
13．（2020·全国·高三专题练习（文））已知函数在点 处的切线方程为.
（1）求实数a，b的值；
（2）若过点可做曲线 的三条切线，求实数m的取值范围.
14．（2021·陕西·西安一中高三期中（文））已知函数.
（1）若在上为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）记的两个极值点为，，求证：.
15．（2022·全国·高三专题练习（文））证明ex≥x＋1≥sinx＋1(x≥0)．
16．（2021·全国·高三专题练习）已知函数.若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围.
17．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数（是正常数）.
（1）当时，求的单调区间与极值；
（2）若，，求的取值范围；
18．（2021·福建省龙岩第一中学高三期中）已知函数的图像在点处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）当时，证明：对恒成立.