2024年高考数学第一轮复习专题17 导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题（原卷版）

专题17 导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题

【考点预测】

一、证明不等式常用的方法和思路

作差构造函数，转化为最值问题

二、不等式恒成立问题常用的方法和思路

(1)直接法

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

三、零点问题常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

【题型归纳目录】

题型一：证明不等式

题型二：恒成立问题

题型三：零点问题

【典例例题】

题型一：证明不等式

1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）证明：当时，．

2．（2023春·广东广州·高二校考阶段练习）求证：．

3．（2023·全国·高三专题练习）讨论函数的单调性，并证明当时，.

题型二：恒成立问题

4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中.

(1)求函数的单调区间；

(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.

5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）若，且在上的最小值为0，求的取值范围.

6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.

(1)求的图象在处的切线方程；

(2)当时，恒成立，求的取值范围.

题型三：零点问题

7．（2023·四川·高三统考）已知a，b为实数，是定义在R上的奇函数．

(1)求a，b的值；

(2)证明：函数有唯一零点．

8．（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数.

(1)设，求在区间上的最值；

(2)讨论的零点个数.

9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数

(1)讨论函数在区间内的单调性；

(2)若函数在区间 内无零点，求的取值范围．

【过关测试】

一、单选题

1．（2023·北京石景山·高一统考期末）已知函数，则的零点个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

2．（2023·山东潍坊·高三统考期中）函数与的图像有且只有一个公共点，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C．或 D．或或

3．（2023·全国·高三对口高考）设函数，则（    ）

A．在区间，内均有零点

B．在区间，内均无零点

C．在区间内有零点，在区间内无零点

D．在区间内无零点，在区间内有零点

4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

5．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式，对恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．（2023·全国·高三专题练习）函数有三个零点，则实数的取值范围是（   ）

A．（﹣4，4） B．[﹣4，4]

C．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）

7．（2023·全国·高三专题练习）已知a∈R，则函数零点的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．与a有关

8．（2023·全国·高三专题练习）若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则实数的值可以是（    ）

A． B． C．0 D．1

10．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．函数存在三个不同的零点

B．函数既存在极大值又存在极小值

C．若时，，则t的最小值为2

D．当时，方程有且只有两个实根

11．（2023·全国·高三专题练习）下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

12．（2023·全国·高三专题练习）若函数与的图象恰有一个公共点，则实数可能取值为　　

A．2 B．1 C．0 D．

三、填空题

13．（2023·湖南岳阳·高二统考期末），若关于x的方程在上有根，则实数m的取值范围是 _____．

14．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的方程有解，则实数a的取值范围为________．

15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，，，使不等式成立，则的取值范围是______.

16．（2023·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．

四、解答题

17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．

(1)求证：函数有唯一的零点，并求出此零点；

(2)求曲线过点的切线方程．

18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数

(1)若在时取得极小值，求实数k的值；

(2)若过点可以作出函数的两条切线，求证：

19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若恰有一个零点，求a的值．

20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝ax3﹣3lnx.

(1)若a＝1，证明：f（x）≥1；

(2)讨论f（x）的单调性.

21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.

(1)若在上为单调函数，求实数a的取值范围；

(2)记的两个极值点为，，求证：.

22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．

（1）若，求函数在区间上的最大值；

（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围．