2025年高考数学一轮复习-导数在不等式、恒等式和零点问题综合应用-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-导数在不等式、恒等式和零点问题综合应用-专项训练【含解析】，共62页。

一、单选题
1．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江西·校联考一模）已知关于的不等式对任意恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
3．（2024秋·甘肃武威·高三校考阶段练习）函数的图像大致是（ ）
A． B． C．D．
4．（2024秋·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习）设，若函数有且只有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·江苏南京·模拟预测）已知函数（），且在有两个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024秋·湖南岳阳·高三校考阶段练习）已知函数，若方程恰好有三个不等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2024·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知函数（其中，）有两个零点，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024秋·河南·高三校联考阶段练习）已知函数，则方程在区间上的实根个数为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知函数，若恒成立，则实数的可能的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．在上是增函数
B．，不等式恒成立，则正实数的最小值为
C．若有两个零点，则
D．若，且，则的最大值为
11．（2024·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．函数在处取得最大值
B．函数在区间上单调递减
C．函数有两个不同的零点
D．恒成立
12．（2024·全国·校联考模拟预测）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极大值点为
B．有且仅有3个零点
C．点是的对称中心
D．
三、填空题
13．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知不等式对恒成立， 则实数的最小值为__________.
14．（2024·上海奉贤·统考一模）已知某商品的成本和产量满足关系，该商品的销售单价和产量满足关系式，则当产量等于__________时，利润最大.
15．（2024·上海普陀·统考一模）设、、均为正数且，则使得不等式总成立的的取值范围为______．
16．（2023·全国·高三专题练习）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”，经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心，若函数，则______.
四、解答题
17．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知为正实数，函数.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)求证：（）.
18．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知为正整数，，.
(1)求的最大值；
(2)若恒成立，求正整数的取值的集合.
（参考数据：）
19．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数恒成立，求实数a的取值范围．
20．（2023·四川凉山·统考一模）已知函数．
(1)求的最小值；
(2)已知，证明：；
(3)若恒成立，求的取值范围．
【提能力】
一、单选题
21．（2024秋·山西阳泉·高三阳泉市第一中学校校考期中）设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
22．（2023·全国·高三专题练习），则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
23．（2024·全国·高三专题练习）已知函数只有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
24．（2023·全国·高三专题练习）已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A．B．C．D．
25．（2023·全国·高三对口高考）函数在的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上有零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
27．（2024·全国·高三专题练习）已知函数若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
28．（2024·全国·高三专题练习）已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
29．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）已知函数有两个不同的极值点，且不等式恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
30．（2021·全国·高三专题练习）对于函数，下列说法正确的有（ ）
A．在处取得极大值
B．有两不同零点
C．
D．若在上恒成立，则
31．（2023秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．若在区间上的最大值与最小值分别为，，则
B．曲线与直线相切
C．若为增函数，则的取值范围为
D．在上最多有个零点
32．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，下列命题正确的是（ ）
A．若是函数的极值点，则
B．若是函数的极值点，则在上的最小值为
C．若在上单调递减，则
D．若在上恒成立，则
33．（2023·全国·高三专题练习）若， 为自然对数的底数，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
34．（2024·全国·高三专题练习）设函数恰有两个极值点，则实数t的取值范围为___________.
35．（2024·全国·高三专题练习）已知不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是___________.
36．（2021春·全国·高三专题练习）若时，关于不等式恒成立，则实数的最大值是______.
37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
四、解答题
38．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点
①；
②．
39．（2024·重庆永川·重庆市永川北山中学校校考模拟预测）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，证明：．
40．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
41．（2022秋·江西南昌·高三南昌大学附属中学校考阶段练习）已知函数，，其中.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围.
导数在不等式.恒等式和零点问题综合应用-专项训练（解析版）
【练基础】
一、单选题
1．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用，可判断，再利用，即可得到答案.
【详解】
，则，故函数在单调递减，单调递增，则
则，即
由，∴，故
同理可证
又，∴，则
故选：C.
2．（2023·江西·校联考一模）已知关于的不等式对任意恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】讨论的取值范围，利用函数图象，结合导数求出，构造函数，利用导数求出函数的最值，进而得解．
【详解】解：关于的不等式对任意恒成立，
设，，
若，对任意恒成立，则，对任意恒成立，
当时，在同一坐标系中作出函数，的图象，
显然，由图可知，对任意不恒成立；
当时，在同一坐标系中作出函数，的图象，
显然，由图可知，对任意不恒成立；
当时，在同一坐标系中作出函数，的图象，
由图可知，临界条件是直线与曲线的图象相切时，
由，求导，设，解得，且，
当的切线斜率为2时，切点坐标为，
故，所以，
即，
所以，令，
求导，
令，得，即，
当，函数单调递增，
当，函数单调递减，
所以当，函数取到最大值，且.
故的最大值为．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的恒成立问题与导数的关系，属于难题．解决本问题的关键为讨论的取值范围，利用函数图象，当时，不等式恒成立转化为切线问题，设切点坐标，根据导数的几何意义可得，构造函数，利用导数求出函数的最值，进而得解．
3．（2024秋·甘肃武威·高三校考阶段练习）函数的图像大致是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】运用函数的零点，极值点，单调性即可解决.
【详解】解：由得或，故BD错；
又，
所以，当或时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以，在处取得极大值，在处取得极小值，故A错.
故选：C
4．（2024秋·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习）设，若函数有且只有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数与，先利用导数研究得的性质，再利用二次函数的性质研究得的性质，从而作出的图像，由此得到，分类讨论与时的零点情况，据此得解.
【详解】令，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递减，在上单调递增，故，
又因为对于任意，在总存在，使得，
在上由于的增长速率比的增长速率要快得多，所以总存在，使得，
所以在与上都趋于无穷大；
令，则开口向下，对称轴为，
所以在上单调递增，在上单调递增，故，
.
因为函数有且只有三个零点，
而已经有唯一零点，所以必须有两个零点，则，即，解得或，
当时，，则，
即在处取不到零点，故至多只有两个零点，不满足题意，
当时，，则，所以在处取得零点，
结合图像又知与必有两个交点，故在与必有两个零点，
所以有且只有三个零点，满足题意；
综上：，即.
故选：C.
5．（2024·江苏南京·模拟预测）已知函数（），且在有两个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用零点的意义等价转化，构造函数，再借助导数探讨函数在有两个零点作答.
【详解】，，由得，，则，令，
依题意，函数在有两个零点，显然，而在上单调递增，
则有，当或，即或时，在上单调递增或单调递减，
即有函数在只有一个零点1，因此，此时当时，，当时，，
函数在上单调递减，在单调递增，则，
要函数在有两个零点，当且仅当在上有一个零点，即有，解得，
所以的取值范围.
故选：C
6．（2024秋·湖南岳阳·高三校考阶段练习）已知函数，若方程恰好有三个不等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将问题转化为与的图象有三个交点的问题，利用导数判断的单调性，数形结合，即可求得结果.
【详解】当时，，故不是方程的根；
当时，方程恰好有三个不等的实数根即与的图象有个交点；
又，
当时，，故当时，单调递减，在时，单调递增；
当，时，；时，；且；
又当时，，故在单调递减，
当，时，；时，；
故在同一坐标系下，的图象如下所示：
数形结合可得，当，即时满足题意，故的取值范围为.
故选：D.
7．（2024·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知函数（其中，）有两个零点，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的零点个数、方程的解个数与函数图象的交点个数之间的关系可得方程有2个不同的解，构造函数，利用导数研究函数的性质可得，即函数与图象在上有2个交点，利用导数求出，即可求解.
【详解】函数有2个零点，
则方程有2个不同的解，
方程，
设函数，则，
所以函数在上单调递减，由，
得，即，则函数与图象在上有2个交点.
设函数，则，
令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故，
所以，解得.
故选：D.
8．（2024秋·河南·高三校联考阶段练习）已知函数，则方程在区间上的实根个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用导数分析函数在上的单调性与极值，作出函数在上的图象，由可得或，数形结合可得结果.
【详解】由可得或，
当时，，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
且当时，，
由题意可知，函数在区间上的图象可在在上的图
象先向右平移个单位，再将所得图象的纵坐标伸长为原来的倍得到，
作出函数在的图象如下图所示：
由图可知，方程、在区间上的根的个数分别为、，
因此，方程在区间上的实根个数为.
故选：C.
二、多选题
9．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知函数，若恒成立，则实数的可能的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据转化成恒成立，构造函数利用导数求解的单调性，问题进一步转化成恒成立，构造，求解最值即可.
【详解】，
故恒成立，转化成恒成立，
记，则在单调递增，故由得，故恒成立，
记，故当时，单调递减，当时，单调递增，故当时，取最大值，
故由恒成立，即,故，
故选：AD
【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．在上是增函数
B．，不等式恒成立，则正实数的最小值为
C．若有两个零点，则
D．若，且，则的最大值为
【答案】ABD
【分析】A选项中，令，利用导数可求得单调性，根据复合函数单调性的基本原则可知A正确；B选项中，利用导数可求得在上单调递增，由此可将恒成立的不等式化为，令，利用导数可求得，由可知B正确；C选项中，利用导数可求得的单调性，由此确定，若，可等价转化为，令，利用导数可求得单调性，从而得到，知，可得C错误；D选项中，采用同构法将已知等式化为，从而可确定，结合单调性得到，由此化简得到，令，利用导数可求得最大值，知D正确.
【详解】对于A，当时，，令，则，，
，当时，恒成立，在上单调递增；
在上单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上为增函数，A正确；
对于B，当时，，又为正实数，，
，当时，恒成立，在上单调递增，
则由得：，即，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
，则正实数的最小值为，B正确；
对于C，，当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；，则；
不妨设，则必有，
若，则，等价于，
又，则等价于；
令，则，
，，，，即，
在上单调递增，，即，
，可知不成立，C错误；
对于D，由，得：，即，
由C知：在上单调递减，在上单调递增；
，，则，，
，即，；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
即的最大值为，D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：本题C选项考查了导数中的极值点偏移问题；处理极值点偏移中的类似于（）的问题的基本步骤如下：
①求导确定的单调性，得到的范围；
②构造函数，求导后可得恒正或恒负；
③得到与的大小关系后，将置换为；
④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.
11．（2024·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．函数在处取得最大值
B．函数在区间上单调递减
C．函数有两个不同的零点
D．恒成立
【答案】AD
【分析】确定函数的定义域，求导数，判断函数的单调性，即可判断函数的极值点,由此可判断;求得函数的最值，数形结合，判断函数的零点情况，判断C;将化为，从而构造函数，利用导数求函数最值，解决不等式恒成立问题，判断D.
【详解】由题意知函数的定义域为，
，当时，递增，
当时，递减，故函数在处取得极大值，也即最大值，A正确；
由上分析可知当时，递增，故B错误；
函数 ，且当时，，
当时，，作出函数图象如图示：
由此可知函数在上无零点，C错误；
不等式恒成立即恒成立，
即恒成立，
令，则 ，
令， ，
∴在上单调递增，
，
故在上存在唯一零点，且，
由，可得 ，
当， ，函数单调递减，
当时， ，单调递增，
故函数的极小值为 ，
而，
即函数在上恒成立，
所以当时，恒成立，D正确，
故选：
12．（2024·全国·校联考模拟预测）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极大值点为
B．有且仅有3个零点
C．点是的对称中心
D．
【答案】BCD
【分析】求出，得到函数的单调区间，即可求得极值，要注意极值点是一个数，可判断A项；根据极大值、极小值的正负，可得到函数零点的个数，即判断B项；根据的解的情况，可判断C项；由对称中心可推得，用倒序相加法即可求得式子的和，判断D项.
【详解】由题意知.
令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递增；
令，解得，所以在上单调递减.
又，.
所以，在处有极大值，在处有极小值.
所以的极大值点为-2，A项错误；
又极大值，极小值，作出的图象，
有图象可知，有且仅有3个零点，故B正确；
，令，解得，
又，由题意可知，点是的对称中心，故C正确；
因为点是的对称中心，所以有，即.
令，
又，
所以
，，所以.故D正确.
故选：BCD.
三：填空题
13．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知不等式对恒成立， 则实数的最小值为__________.
【答案】
【分析】将已知条件变形为，令，则有，又因为，从而确定的单调性，从而可得，令，利用导数求出的最大值即可得答案.
【详解】解：因为对恒成立，
所以对恒成立，
即对恒成立，
构造函数，
所以，
又因为，
令 ， 解得：， 令， 解得：，
故 在上单调递减， 在上单调递增，
当 时，与1的大小不定，
但当实数最小时，只需考虑其为负数的情况，
此时,
因为当时，单调递减，
故，
两边取对数得：,
所以，
令，
则，
令，得：， 令，得：，
所以在单调递增， 在单调递减，
所以，
故的最小值是.
故答案为：
14．（2024·上海奉贤·统考一模）已知某商品的成本和产量满足关系，该商品的销售单价和产量满足关系式，则当产量等于__________时，利润最大.
【答案】200
【分析】首先求出关于利润的表达式，再利用导数求出函数的单调性，即可求解.
【详解】由题意可知，设利润为，则，而，当时，，时，，即在单调递增，单调递减，所以时，利润最大.
故答案为：
15．（2024·上海普陀·统考一模）设、、均为正数且，则使得不等式总成立的的取值范围为______．
【答案】
【分析】由已知可得出，不妨设，，其中，可得出，令，可得出，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】因为、、均为正数且，则，
不妨设，，其中，
所以，
，
因为，则，令，
则，所以，，
所以，，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递减，所以，，
所以，.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
16．（2023·全国·高三专题练习）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”，经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心，若函数，则______.
【答案】8090
【分析】本题首先可根据得出，从而，然后令，求出对称中心，，最后根据即可求出算式.
【详解】由题意因为，
所以，，
令，解得，，
由题意得对称中心为，
所以，
，
故答案为：8090.
四：解答题
17．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知为正实数，函数.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)求证：（）.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，分类讨论判断单调性，结合恒成立问题运算求解；
（2）根据（1）可得不等式可证，构建，利用导数证明，结合裂项相消法可证.
【详解】（1），
①若，即，，函数在区间单调递增，故，满足条件；
②若，即，当时，，函数单调递减，则，矛盾，不符合题意.
综上所述：.
（2）先证右侧不等式，如下：
由（1）可得：当时，有，则，
即，即，
则有，
即，右侧不等式得证.
下证左侧不等式，如下：
构建，则在上恒成立，
故在上单调递减，则，
即，可得，即，
则有，
即，
∵，则，
故，左侧得证.
综上所述：不等式成立.
18．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知为正整数，，.
(1)求的最大值；
(2)若恒成立，求正整数的取值的集合.
（参考数据：）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由导数得出单调性，进而得出最值.
（2）由得出，即，讨论的范围，利用导数得出的最小值，再由导数得出成立的正整数的取值的集合.
【详解】（1）
令可得：；令可得：.
所以在上单调递增，在上单调递减.
故的最大值为.
（2）因为恒成立，所以，
即恒成立，所以.
，
当或时，因为，所以，所以在上单调递增.
因为，此时满足，
故或满足条件.
当时，令可得；令时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以，所以，所以，
所以，令，
令，
，因为在上单调递增，
，，
所以在上存在唯一的零点.
令可得：；令可得：.
所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，所以，
所以，
又，，
所以，即.
因为，所以.
综上，正整数的取值的集合为
【点睛】关键点睛：解决问题二时，关键是由等价于，从而将问题转化为最值问题，利用导数进行求解.
19．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)函数的单调递增区间为，单调递区间为
(2)
【分析】（1）利用导数求函数的单调区间；
（2）通过构造函数利用导数找最值的方法解决恒成立问题，求解实数a的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域是，
当时，，
令得，所以函数在上单递递增；
令得，所以函数在上单调递减．
所以函数的单调递增区间为，单调递区间为．
（2）恒成立，等价于恒成立，
令，
因为恒成立，所以在上单调递增，
所以，即，
所以恒成立，等价于恒成立
令，问题等价于恒成立
①若时，恒成立，满足题意；
②若时，则，所以，不满足题意；
③若时，因为，令，得，
，，单调递减，，，单调递增，
所以在处取得最小值，
要使得，恒成立，只需，
解得
综上：
【解法二】恒成立，等价于，
令
①若时，，所以在上单调递增，
，即，满足，
②若时，则， ，所以在上单调递增，
由，
函数在上单调递增，值域为；函数在上单调递增，值域为；
所以，使得，不满足题意．
③若时，令，∴，
令，则在上单调递增，
函数在上单调递增，值域为；函数在上单调递减，值域为；
则，；，，；，，
所以，，，
，，单调递减，，，单调递增，
只需即可，
∴，∴，
令，，∴在上单调递增，
，∴时，，，，
所以在上单调递增，∴，
即，
综上：
【点睛】1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
20．（2023·四川凉山·统考一模）已知函数．
(1)求的最小值；
(2)已知，证明：；
(3)若恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)0
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用导数判断的单调性，即可确定其最小值；（2）根据（1）的结论即可，再利用对数运算法则即可证明不等式；（3）将参数与变量分开，通过构造函数研究其单调性，求出最值即可得出的取值范围.
【详解】（1）因，
则，
令，得，
又时，，函数在上单调递减；
时，，函数在上单调递增；
即函数在处取最小值，即
所以的最小值为0．
（2）由（1）小题结论可知，当且仅当时等号成立，
则时，即
所以
所以不等式成立.
（3）由题可知，恒成立
等价于不等式恒成立，
令，则命题等价于，
由（1）知，，即有，当且仅当时等号成立，
所以
当，即时能取等号，所以，即
的取值范围为．
【点睛】方法点睛：求解参数取值范围问题，常用的方法是将参数与自变量分离，再通过构造函数利用导数得出函数单调性求出其最值，即可求得参数的取值范围.
【提能力】
一：选择题
21．（2024秋·山西阳泉·高三阳泉市第一中学校校考期中）设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围.
【详解】设，，
由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
，当时，；当时，.
所以，函数的最小值为.
又，.
直线恒过定点且斜率为，
故且，解得，故选D.
【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.
22．（2023·全国·高三专题练习），则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，应用导数研究其单调性，进而比较，，的大小，若有两个解，则，，构造，利用导数确定，进而得到，即可判断a、c的大小，即可知正确选项.
【详解】令，则，，，
而且，即时单调增，时单调减，又，
∴，.
若有两个解，则，，
即，，
令，则，即在上递增，
∴，即在上，，若即，故，有
∴当时，，故，
综上：.
故选：A
【点睛】关键点点睛：利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小.
23．（2024·全国·高三专题练习）已知函数只有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将题目转化为函数的图像与的图像只有一个交点，利用导数研究函数的单调性与极值，作出图像，利用数形结合求出的取值范围.
【详解】由函数只有一个零点，等价于函数的图像与的图像只有一个交点，
，求导，令，得
当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减；故当时，函数取得极小值；当时，函数取得极大值；
作出函数图像，如图所示，
由图可知，实数的取值范围是
故选：B
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
24．（2023·全国·高三专题练习）已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．
【详解】∵，即，
（1）当时，，
当时，，
故当时，在上恒成立；
若在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
当函数单增，当函数单减，
故，所以．当时，在上恒成立；
综上可知，的取值范围是，
故选C．
【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．
25．（2023·全国·高三对口高考）函数在的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：函数|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，
因为，
所以排除选项；
当时，有一零点，设为，当时，为减函数，
当时，为增函数．
故选：D.

26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上有零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由函数存在零点可知有解，设，利用导数求出函数的最小值，进而得出结果.
【详解】由函数存在零点，则有解，
设，
则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
则时取得最小值，且，
所以m的取值范围是．
故选：C
27．（2024·全国·高三专题练习）已知函数若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】不等式在上恒成立的两个临界状态是与相切和与相切时，故求两种状态下的值，即可得的取值范围．
【详解】画出函数的图像如图所示.
在上恒成立即函数的图像恒在直线的图像的下方，
且直线过定点，
当直线与相切时，设切点，，
可得，解得，则直线斜率为，即；
当直线与相切时，此时由，
得，令，得或（舍），
所以由图像可知
故选：A
【点睛】方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
28．（2024·全国·高三专题练习）已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先研究时，的单调性和极值，画出分段函数的图象，换元后数形结合转化为二次函数根的分布情况，列出不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】当时，，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
则时，.当时，.
作出大致图象，函数恰有5个不同零点，
即方程恰有5个根.令，则需方程.
（l）在区间和上各有一个实数根，令函数，
则解得.
（2）方程（*）在和各有一根时，则
即无解.
（3）方程（*）的一个根为6时，可得，验证得另一根为，不满足.
（4）方程（*）的一个根为1时，可得，可知不满足.
综上，.
故选：A
【点睛】复合函数与分段函数结合问题，要利用数形结合思想和转化思想，这道题目中要先研究出分段函数的图象，再令，换元后转化为二次函数根的分布问题，接下来就迎刃而解了.
29．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）已知函数有两个不同的极值点，且不等式恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把函数有两个不同的极值点转化为根的分布求出a的范围，
利用分离参数法得到.把转化为，令，利用导数求出的值域，即可得到答案.
【详解】，
因为函数有两个不同的极值点，，
所以方程有两个不相等的正实数根，
于是有，解得.
因为不等式恒成立，
所以恒成立.
，
设，
，故在上单调递增，
故，所以.
因此实数t的取值范围是.
故选：A
【点睛】导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
二、多选题(共0分)
30．（2021·全国·高三专题练习）对于函数，下列说法正确的有（ ）
A．在处取得极大值
B．有两不同零点
C．
D．若在上恒成立，则
【答案】ACD
【分析】A､根据极值的定义求解判断； B､令，结合函数的图象判断； C､利用函数的图象，结合判断；D､根据在上恒成立，由求解判断.
【详解】A､函数的导数，
令，得，则当时，，函数为增函数；
当时，，函数为减函数，
则当时，函数取得极大值，极大值为，故A正确；
B､当时，，时，，则的图象如图：
由，得，得，
即函数只有一个零点，故B错误；
C､由图象知，，
故成立，故C正确；
D､若在上恒成立，则，
设，则，
当时，，当时，，
即当时，函数取得极大值同时也是最大值，为，
∴，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题关键是利用导数法，得到函数的图象而得解.
31．（2023秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．若在区间上的最大值与最小值分别为，，则
B．曲线与直线相切
C．若为增函数，则的取值范围为
D．在上最多有个零点
【答案】ACD
【分析】由定义法确定函数的奇偶性，再求导数判断函数的单调性与切线斜率，以及零点情况.
【详解】因为对于任意，都有，
所以为奇函数，其图象关于原点对称，故A正确.
又，令，得(*)，
因为，，所以方程(*)无实数解，
即曲线的所有切线的斜率都不可能为，故B错误.
若为增函数，则大于等于0，
即，，
当且仅当时等号成立，所以，故C正确.
令，得或().设，
则，令，
则.当时，，
当时，，当时，，
所以函数为增函数，且，所以当时，，
从而，单调递增.又因为对于任意，都有，
所以为偶函数，其图象关于轴对称.
综上，在上单调递减，在上单调递增，
则直线与最多有2个交点，所以在上最多有3个零点，故D正确.
故选ACD.
32．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，下列命题正确的是（ ）
A．若是函数的极值点，则
B．若是函数的极值点，则在上的最小值为
C．若在上单调递减，则
D．若在上恒成立，则
【答案】ABC
【分析】对于A，由可求出的值，对于B，由选项A，可求得，然后利用导数可求出在上的最小值，对于C，由题意可得，可求出的范围，对于D，将问题转化为在上恒成立，构造函数，再利用导数求出其最大值即可
【详解】对于A，由，得，因为是函数的极值点，所以，得，经检验是函数的极小值点，所以A正确，
对于B，由选项A，可知，则，由，得或，由，得，所以在和递增，在上递减，所以当时，时，取得最小值，所以B正确，
对于C，因为在上单调递减，所以，即，得在上恒成立，令，则，所以在单调递增，所以，即，所以，所以C正确，
对于D，由在上恒成立，得 在上恒成立，即在上恒成立，令，，则，所以上单调递增，所以，所以，所以D错误，
故选：ABC
33．（2023·全国·高三专题练习）若， 为自然对数的底数，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】分别取函数与，通过求导判断其单调性，即可得出结果．
【详解】令，由，当时，故在上递减，所以，则A错，B正确；
令，由，当时有，当时有，所以存在，有，所以在上不单调，
在C中，化为，因为，故C错，
在D，化为，则D错，
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题关键在于构造新函数通过单调来判断不等式是否成立．
三、填空题(共0分)
34．（2024·全国·高三专题练习）设函数恰有两个极值点，则实数t的取值范围为___________.
【答案】
【分析】求导可得的解析式，根据题意，有两个极值点，可得恰有两个正根，所以有唯一正根，即有唯一正根，设，求导可得的单调性，结合的图象，综合分析，即可得答案.
【详解】因为，
所以，
因为有两个极值点，
所以恰有两个正根，即为一个根，
则有唯一正根，且，即有唯一正根，且，
设，则的图象与图象有一个交点，
，
所以时，，所以在为增函数，
又，
因为，所以
所以只需且，即可满足题意，
所以实数t的取值范围为.
故答案为：
【点睛】解题的关键是掌握利用导数求函数单调性与极值的方法，并灵活应用，易错点为，根据题意，已经为一个根，则有唯一正根，且，故，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.
35．（2024·全国·高三专题练习）已知不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】设，，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性与最值，根据已知条件列出关于实数的不等式（组），综合可求得实数的取值范围.
【详解】设，，其中，则，
①当时，对任意的恒成立，此时，函数在上单调递减，
当时，，
对于函数，该函数的对称轴为直线，
函数在上单调递增，当时，，
所以，当时，，不符合题意；
②当时，令，可得，列表如下：
所以，.
（i）当时，即当时，，则，不符合题意；
（ii）当时，即当时，则，此时，即.
对于函数，，
所以，当时，，，则对任意的恒成立.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
36．（2021春·全国·高三专题练习）若时，关于不等式恒成立，则实数的最大值是______.
【答案】
【解析】对分类讨论，当时，不等式显然恒成立. 当时，对不等式进行变形为，然后构造函数，根据函数单调性化简不等式，最后分离参数，即可求出的范围，进而求出的最大值.
【详解】当，时，不等式显然恒成立.
当时， .
由于，即.
所以原不等式恒成立，等价于恒成立.
构造函数，.
易知在上单调递减，在上单调递增.
则原不等式等价于要证.
因为，要使实数的最大，则应.
即. 记函数，则.
易知，.
故函数在上单调递减，所以.
因此只需.
综上所述，实数的最大值是.
故答案为：
【点睛】(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数，把所求问题转化为求函数的最小值问题．
(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
(3)根据不等式构造函数，由函数的单调性化简所求的不等式是本题关键之步.
37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
四、解答题(共0分)
38．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点
①；
②．
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；
(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.
【详解】(1)由函数的解析式可得：，
当时，若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
(2)若选择条件①：
由于，故，则，
而，
而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.
，
由于，，故，
结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
若选择条件②：
由于，故，则，
当时，，，
而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.
当时，构造函数，则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
注意到，故恒成立，从而有：，此时：
，
当时，，
取，则，
即：，
而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.
，
由于，，故，
结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
39．（2024·重庆永川·重庆市永川北山中学校校考模拟预测）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，证明：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）首先确定函数的定义域，函数求导，再对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，即可求得函数的单调区间；
（2）方法一：根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.
【详解】（1）的定义域为，.
（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.
（ii）若，令得，或.
当时，；
当时，.所以在单调递减，在单调递增.
（2）［方法一］：【通性通法】消元
由（1）知，存在两个极值点当且仅当.
由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于
，
所以等价于.
设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，，所以，即.
［方法二］：【通性通法】消元
由（1）知且是方程的两根，不妨设，即．此时．
欲证不等式成立，只需证．
因为，所以，只需证．
令，
所以，在区间内单调递减，且，所以，即证．
［方法三］：硬算
因为，
所以有两个相异的正根（不妨设）．
则且即．
所以．
而，，所以．
设，则．
所以在上递减，，问题得证．
［方法四］：【最优解】对数平均不等式的应用
由（1）知，存在两个极值点当且仅当．
由于的两个极值点满足，所以．不妨设，则．由于．
由对数平均不等式可得，即．
故．
【整体点评】（2）方法一：根据消元思想，先找到极值点之间的关系，再消元转化为一个未知元的不等式恒成立问题，属于通性通法；
方法二：同方法一，只是消元字母不一样；
方法三：直接硬算出极值点，然后代入求证，计算稍显复杂；
方法四：根据式子形式利用对数平均不等式放缩，证明简洁，是该题的最优解．
40．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）求得导函数后，可判断出导函数在上单调递减，根据零点存在定理可判断出，使得，进而得到导函数在上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知为在上的唯一零点；当时，首先可判断出在上无零点，再利用零点存在定理得到在上的单调性，可知，不存在零点；当时，利用零点存在定理和单调性可判断出存在唯一一个零点；当，可证得；综合上述情况可证得结论.
【详解】（1）由题意知：定义域为：且
令，
，
在上单调递减，在上单调递减
在上单调递减
又，
，使得
当时，；时，
即在上单调递增；在上单调递减
则为唯一的极大值点
即：在区间上存在唯一的极大值点.
（2）由（1）知：，
①当时，由（1）可知在上单调递增
在上单调递减
又
为在上的唯一零点
②当时，在上单调递增，在上单调递减
又
在上单调递增，此时，不存在零点
又
，使得
在上单调递增，在上单调递减
又，
在上恒成立，此时不存在零点
③当时，单调递减，单调递减
在上单调递减
又，
即，又在上单调递减
在上存在唯一零点
④当时，，
即在上不存在零点
综上所述：有且仅有个零点
【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.
41．（2022秋·江西南昌·高三南昌大学附属中学校考阶段练习）已知函数，，其中.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
【分析】（1）求出函数的定义域和导数，由得出和，然后对和的大小关系进行分类讨论，分析导数符号，可得出函数的单调增区间和减区间；
（2）由，得出，得出，构造函数，将问题转化为，其中，然后利用导数求出函数在区间上的最小值，可得出实数的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，
.
当时，令，可得或.
①当时，即当时，对任意的，，
此时，函数的单调递增区间为；
②当时，即当时，
令，得或；令，得.
此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
③当时，即当时，
令，得或；令，得.
此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
（2）由题意，可得，可得，其中.
构造函数，，则.
，令，得.
当时，；当时，.
所以，函数在或处取得最小值，
，，则，，.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查函数单调区间的求解，同时也考查了利用导数研究函数不等式成立问题，在求解时充分利用参变量分离法求解，可简化分类讨论，考查分类讨论数学思想的应用，属于中等题.
极小值