高考数学2025 圆锥曲线基础过关小题 专项训练35（word版）

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一．椭圆的定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：
注明：当时，点的轨迹是线段；
当时，点的轨迹不存在.
二．椭圆的方程、图形与性质
椭圆的方程、图形与性质
三、双曲线的定义
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为
.
注（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.
（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线.
（3）时，点的轨迹不存在.
在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：
= 1 \* GB3 ①条件“”是否成立； = 2 \* GB3 ②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用.
四、双曲线的方程、图形及性质
双曲线的方程、图形及性质.
五、抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.
注 若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点.
六、抛物线的方程、图形及性质
抛物线的标准方程有4种形式：，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向（如表10-3所示）
表10-3
三、抛物线中常用的结论
1. 点与抛物线的关系
（1）在抛物线内（含焦点）.
（2）在抛物线上.
（3）在抛物线外.
2. 焦半径
抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，.
3. 的几何意义
为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大.
4. 焦点弦
若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：
（1）.
（2）.
（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为.
焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）.
（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C：mx2＋ny2＝1，下列结论不正确的是（ ）
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
例3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末（文））等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与抛物线的准线交于A、B两点，，则的实轴长为（ ）
A．B．C．4D．8
（多选题）例4．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C：，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若，则有（ ）
A．渐近线方程为B．
C．D．渐近线方程为
（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）以下说法正确的是（ ）
A．椭圆的长轴长为4，短轴长为
B．离心率为的椭圆较离心率为的椭圆来得扁
C．椭圆的焦点在轴上且焦距为2
D．椭圆的离心率为
（多选题）例6．（2022·全国·高三专题练习）若椭圆：的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．的长轴长为C．的短轴长为D．的离心率为
（多选题）例7．（2022·全国·高三专题练习）已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C．点P的横坐标为±1
D．△PF1F2的面积为
（多选题）例8．（2022·全国·高三专题练习）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与椭圆有相同的焦距，且一条渐近线方程为，则双曲线的方程可能为（ ）
A．B．C．D．
例9．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末（文））过抛物线焦点的直线交拋物线于两点，若两点的横坐标之和为5，则___________.
例10．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上的点P满足轴，，则该椭圆的离心率为___________．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知为椭圆上一点，若到一个焦点的距离为1，则到另一个焦点的距离为（ ）
A．3B．5C．8D．12
2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为4，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若线段的长为3，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）
A．B．6C．4D．
4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知椭圆，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使得，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·高三专题练习）设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于
A．4B．5C．8D．10
6．（2022·浙江·高三专题练习）若动点始终满足关系式，则动点M的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全国·高三专题练习）设圆的圆心为，点是圆内一定点，点为圆周上任一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆C交于A，B两点．若的周长为8，则椭圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2022·全国·高三专题练习）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（ ）
A．6B．C．8D．
10．（2022·浙江·高三专题练习）已知､是椭圆：()的两个焦点，为椭圆上的一点，且.若的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若以为直径的圆过点P，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·全国·高三专题练习）如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）
A．B．C．，D．
13．（2022·全国·高三专题练习）下列四个椭圆中，形状最扁的是（ ）
A．B．C．D．
14．（2022·重庆·模拟预测）已知椭圆的一个焦点坐标为，则（ ）
A．1B．2C．5D．9
15．（2022·全国·高三专题练习）若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（ ）
A．＋y2＝1B．＋y2＝1
C．＋y2＝1或D．以上答案都不正确
16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
17．（2022·全国·高三专题练习）过点(－3，2)且与有相同焦点的椭圆方程是（ ）
A．B．
C．D．
18．（2022·浙江·高三专题练习）已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（ ）
A．B．或
C．D．以上都不对
19．（2022·浙江·高三专题练习）已知点是椭圆上的一点，椭圆的长轴长是焦距的倍，则该椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
20．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：经过点，且的离心率为，则的方程是（ ）
A．B．
C．D．
21．（2022·上海·高三专题练习）若椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点，则该椭圆的标准方程为
A．B．C．D．
22．（2022·全国·高三专题练习）一个椭圆中心在原点，焦点，在轴上，是椭圆上一点，且、、成等差数列，则椭圆方程为
A．B．C．D．
23．（2022·全国·高三专题练习）与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
24．（2022·全国·高三专题练习（文））椭圆与关系为（ ）
A．有相等的长轴长B．有相等的离心率
C．有相同的焦点D．有相等的焦距
25．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆 的左焦点作轴的垂线交椭圆于点， 为右焦点，若，则椭圆的离心率为 ( )
A．B．C．D．
26．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B，若∠F1AB＝90°，则此椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
27．（2022·全国·高三专题练习）已知F1，F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率e的取值范围为 （ ）
A．B．
C．D．
28．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，直线与圆相切，则实数m的值是（ ）
A．B．
C．D．
29．（2022·全国·高三专题练习（文））已知是椭圆的左右焦点，椭圆上一点M满足：，则该椭圆离心率是（ ）
A．B．C．D．
30．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别是，，直线与椭圆交于，两点，，且，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
31．（2022·全国·高三专题练习（理））双曲线上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为（ ）
A．20B．16C．12D．8
32．（2022·全国·高三专题练习）已知，是双曲线C的两个焦点，P为双曲线上的一点，且；则C的离心率为（ ）
A．1B．2C．3D．4
33．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左右焦点为，过的直线交双曲线右支于，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
34．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的一条渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
35．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（ ）
A．虚轴长为4B．焦距为
C．离心率为D．渐近线方程为
36．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，它的焦距为2，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
37．（2022·全国·高三专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（ ）
A．B．C．D．
38．（2022·全国·高三专题练习）已知是双曲线：的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于.两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
39．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C的离心率，虚轴长为，则其标准方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
40．（2022·全国·高三专题练习）双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
41．（2022·全国·高三专题练习（文））双曲线的一个焦点到渐近线的距离为（ ）
A．B．C．2D．4
42．（2022·上海·高三专题练习）若抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合，则n的值为（ ）
A．B．1C．2D．13
43．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线：的渐近线方程为，则的焦距等于（ ）
A．B．2C．D．4
44．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线与双曲线有相同的焦点.则的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
45．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线C与椭圆有共同的焦点，且焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线C的方程为（ ）
A．B．C．D．
46．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线的一条渐近线与直线相互垂直，则双曲线的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．6D．8
47．（2022·浙江·高三专题练习）若双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的实轴长为（ ）
A．B．C．D．
48．（2022·全国·高三专题练习）直线是双曲线等的一条渐近线，且双曲线的一个顶点到渐近线的距离为，则该双曲线的虚轴长为（ ）
A．4B．8C．D．
49．（2022·上海·高三专题练习）设双曲线的顶点坐标为，焦点坐标为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．和B．和
C．和D．和
50．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
51．（2022·全国·高三专题练习）渐近线方程为的双曲线的离心率是
A．B．1
C．D．2
52．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线C：的一条渐近线与直线平行，则m的值为（ ）
A．4B．C．2D．
53．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率，则该双曲线的一条渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
54．（2022·全国·高三专题练习（文））设，为双曲线：的两个焦点，若双曲线的两个顶点恰好将线段三等分，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
55．（2022·全国·高三专题练习（理））双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为
A．B．C． D．
56．（2022·河北张家口·高三期末）已知是拋物线上一点，是的焦点，，则（ ）
A．2B．3C．6D．9
57．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末（文））在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，则的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
58．（2022·全国·高三专题练习）抛物线上一点P到焦点的距离是2，则P点坐标为（ ）
A．B．C．D．
59．（2022·江苏·高三专题练习）已知抛物线：（）的焦点为，点是上的一点，到直线的距离是到的准线距离的2倍，且，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
60．（2022·全国·高三专题练习）已知A（3，2），点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，为使取得最小值，则点P的坐标为（ ）
A．（0，0）B．（2，2）C．D．
61．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C：y2＝2px（p>0）上一点M（6，y）到焦点F的距离为8，则p＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
62．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为是C上一点，，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
63．（2022·全国·高三专题练习（理））若抛物线（）上一点到其焦点的距离为2，则（ ）
A．B．C．D．
64．（2022·全国·高三专题练习）顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为（ ）
A．x2＝－12y或y2＝16xB．x2＝12y或y2＝－16x
C．x2＝9y或y2＝12xD．x2＝－9y或y2＝－12x
65．（2022·全国·高三专题练习（理））已知抛物线，过焦点且倾斜角为的直线交于，两点，则弦的中点到准线的距离为（ ）
A．B．C．D．
66．（2022·江苏·高三专题练习）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限），若直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
67．（2022·全国·高三专题练习）已知F是抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点，曲线C2是以F为圆心，为半径的圆，直线4x－3y－2p＝0与曲线C1，C2从上到下依次相交于点A，B，C，D，则 ＝（ ）
A．16B．4
C．D．
68．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线被斜率为1的直线截得的弦的中点为（4，2），则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．
C．D．2
69．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l被双曲线C：﹣y2=1所截得的弦的中点坐标为(1，2)，则直线l的方程（ ）
A．x+4y﹣9=0B．x﹣4y+7=0
C．x﹣8y+15=0D．x+8y﹣17=0
二、多选题
70．（2022·全国·高三专题练习）已知，分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为10
B．面积的最大值为
C．当时，的面积为
D．存在点P使得
71．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C的方程为（且），则下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线C是焦距为4的双曲线
B．当时，曲线C是离心率为的椭圆
C．曲线C可能是一个圆
D．当时，曲线C是渐近线方程为的双曲线
72．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．当，曲线为椭圆
B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为
C．“或”是“曲线为双曲线”的充要条件
D．不存在实数使得曲线为离心率为的双曲线
73．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，点)在抛物线上，若，则（ ）
A．B．
C．D．的坐标为
74．（2022·全国·高三专题练习）[多选题]已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．若直线过点，则
C．若，则的最小值为
D．若，则线段的中点到轴的距离为
75．（2022·江苏·高三专题练习）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，抛物线的焦点为，延长与抛物线相交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为B．
C．的面积为D．
三、填空题
76．（2022·浙江·高三专题练习）已知点，的周长是，则的顶点的轨迹方程为___.
77．（2022·全国·高三专题练习）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为________．
78．（2022·上海·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上的点满足，则________
79．（2022·全国·高三专题练习）点P是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当P在第一象限内时，P点的纵坐标为________．
80．（2022·浙江·高三专题练习）过点(，－)，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为_______．
81．（2022·上海·高三专题练习）已知椭圆的焦点在轴上，焦距为2，且经过点，则该椭圆的标准方程为______．
82．（2022·全国·高三专题练习）与椭圆有相同离心率且经过点的椭圆标准方程为________．
83．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，则椭圆方程为_____．
84．（2022·全国·高三专题练习）与双曲线有共同的渐近线，且过点M（2,-2）的双曲线方程为________.
85．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线：的准线为，若M为上的一个动点，设点N的坐标为，则的最小值为___________.
86．（2022·全国·高三专题练习）О为坐标原点，F为抛物线C ∶y2= 4x的焦点，P为C上的一点，若，则三角形POF的面积为 _________.
87．（2022·全国·高三专题练习）直线过抛物线的焦点，与交于俩点，则________．
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
统一方程
参数方程
第一定义
到两定点的距离之和等于常数2，即（）
范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
长轴长 短轴长
长轴长 短轴长
对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点
、
、
焦距
离心率

点和椭圆
的关系
通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）
弦长公式
设直线与椭圆的两个交点为，,,
则弦长
（其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）
标准方程
图形
y
x
B1
B2
F2
A2
A1
F1
B1
F1
x
y
A1
F2
B2
A2
焦点坐标
，
，
对称性
关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标
，
，
范围
实轴、
虚轴
实轴长为，虚轴长为
离心率
渐近线方程
令，
焦点到渐近线的距离为
令，
焦点到渐近线的距离为
点和双曲线
的位置关系
共渐近线的双曲线方程
弦长公式
设直线与双曲线两交点为，，.
则弦长，
，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数.
通径
通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为
标准方程
y
x
O
F
l
y
x
O
F
l
F
y
x
O
l
图形
y
x
O
F
l
对称轴
轴
轴
顶点
原点
焦点坐标
准线方程