新高考数学一轮复习学案第35讲 圆锥曲线基础过关小题（2份打包，原卷版+解析版）

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一．椭圆的定义
平面内与两个定点 SKIPIF 1 < 0 的距离之和等于常数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作 SKIPIF 1 < 0 ，定义用集合语言表示为： SKIPIF 1 < 0
注明：当 SKIPIF 1 < 0 时，点的轨迹是线段；
当 SKIPIF 1 < 0 时，点的轨迹不存在.
二．椭圆的方程、图形与性质
椭圆的方程、图形与性质
焦点的位置
焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上
焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上
图形
标准方程
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
统一方程
SKIPIF 1 < 0
参数方程
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
第一定义
到两定点 SKIPIF 1 < 0 的距离之和等于常数2 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）
范围
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
顶点
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0
轴长
长轴长 SKIPIF 1 < 0 短轴长 SKIPIF 1 < 0
长轴长 SKIPIF 1 < 0 短轴长 SKIPIF 1 < 0
对称性
关于 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴对称，关于原点中心对称
焦点
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0
三、双曲线的定义
平面内与两个定点 SKIPIF 1 < 0 的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于 SKIPIF 1 < 0 ）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为
SKIPIF 1 < 0 .
注（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，点的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 为端点的两条射线；当 SKIPIF 1 < 0 时，点的轨迹是线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线.
（3） SKIPIF 1 < 0 时，点的轨迹不存在.
在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：
= 1 \* GB3 ①条件“ SKIPIF 1 < 0 ”是否成立； = 2 \* GB3 ②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值），注意 SKIPIF 1 < 0 的应用.
四、双曲线的方程、图形及性质
双曲线的方程、图形及性质.
焦距
SKIPIF 1 < 0
离心率
SKIPIF 1 < 0
点和椭圆
的关系
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长= SKIPIF 1 < 0 （最短的过焦点的弦）
弦长公式
设直线与椭圆的两个交点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
则弦长 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
（其中 SKIPIF 1 < 0 是消 SKIPIF 1 < 0 后关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程的 SKIPIF 1 < 0 的系数， SKIPIF 1 < 0 是判别式）
标准方程
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
图形
y
x
B1
B2
F2
A2
SKIPIF 1 < 0
A1
F1
SKIPIF 1 < 0
B1
F1
x
y
A1
F2
B2
SKIPIF 1 < 0
A2
SKIPIF 1 < 0
焦点坐标
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
对称性
关于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
范围
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
实轴、
虚轴
实轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，虚轴长为 SKIPIF 1 < 0
离心率
SKIPIF 1 < 0
渐近线方程
令 SKIPIF 1 < 0 ，
焦点到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，
焦点到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0
点和双曲线
的位置关系
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
共渐近线的双曲线方程
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
弦长公式
设直线与双曲线两交点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
则弦长 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，其中“ SKIPIF 1 < 0 ”是消“ SKIPIF 1 < 0 ”后关于“ SKIPIF 1 < 0 ”的一元二次方程的“ SKIPIF 1 < 0 ”系数.
五、抛物线的定义
平面内与一个定点 SKIPIF 1 < 0 和一条定直线 SKIPIF 1 < 0 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 SKIPIF 1 < 0 叫抛物线的焦点，定直线 SKIPIF 1 < 0 叫做抛物线的准线.
注 若在定义中有 SKIPIF 1 < 0 ，则动点的轨迹为 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 .
六、抛物线的方程、图形及性质
抛物线的标准方程有4种形式： SKIPIF 1 < 0 ，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向（如表10-3所示）
表10-3
三、抛物线中常用的结论
1. 点 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的关系
（1） SKIPIF 1 < 0 在抛物线内（含焦点） SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 在抛物线上 SKIPIF 1 < 0 .
（3） SKIPIF 1 < 0 在抛物线外 SKIPIF 1 < 0 .
2. 焦半径
抛物线上的点 SKIPIF 1 < 0 与焦点 SKIPIF 1 < 0 的距离称为焦半径，若 SKIPIF 1 < 0 ，则焦半径 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
3. SKIPIF 1 < 0 的几何意义
SKIPIF 1 < 0 为焦点 SKIPIF 1 < 0 到准线 SKIPIF 1 < 0 的距离，即焦准距， SKIPIF 1 < 0 越大，抛物线开口越大.通径
通径（过焦点且垂直于 SKIPIF 1 < 0 的弦）是同支中的最短弦，其长为 SKIPIF 1 < 0
标准方程
SKIPIF 1 < 0
y
x
O
F
l
SKIPIF 1 < 0
y
x
O
F
l
SKIPIF 1 < 0
F
y
x
O
l
SKIPIF 1 < 0
图形
y
x
O
F
l
对称轴
SKIPIF 1 < 0 轴
SKIPIF 1 < 0 轴
顶点
原点 SKIPIF 1 < 0
焦点坐标
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
准线方程
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
4. 焦点弦
若 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点弦， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则有以下结论：
（1） SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 .
（3）焦点弦长公式1： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，焦点弦取最小值 SKIPIF 1 < 0 ，即所有焦点弦中通径最短，其长度为 SKIPIF 1 < 0 .
焦点弦长公式2： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 与对称轴的夹角）.
（4） SKIPIF 1 < 0 的面积公式： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 与对称轴的夹角）.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】
圆C：(x－1)2＋y2＝16，∴ 2a＝4，即a＝2．由 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆的标准方程是： SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C：mx2＋ny2＝1，下列结论不正确的是（ ）
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为 SKIPIF 1 < 0
C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± SKIPIF 1 < 0 x
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
【答案】B
【详解】对于A，当m＞n＞0时，有 SKIPIF 1 < 0 ，
方程化为 SKIPIF 1 < 0 ，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
对于B，由m＝n＞0，方程变形为 SKIPIF 1 < 0 ，
该方程表示半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆，故B错误；
对于C，由mn＜0知曲线表示双曲线，其渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，当m＝0，n＞0时，方程变为ny2＝1表示两条直线，故D正确．
故选：B.
例3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末（文））等轴双曲线 SKIPIF 1 < 0 的中心在原点，焦点在x轴上， SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线交于A、B两点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的实轴长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．4D．8
【答案】B
【详解】
解：设等轴双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ，①
SKIPIF 1 < 0 抛物线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 抛物线的准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
设等轴双曲线与抛物线的准线 SKIPIF 1 < 0 的两个交点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入①，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 等轴双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的实轴长为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
（多选题）例4．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 ，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则有（ ）A．渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【详解】
双曲线C： SKIPIF 1 < 0 1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），
以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．
若∠MAN＝60°，可得A到渐近线bx+ay＝0的距离为：bcs30° SKIPIF 1 < 0 ，
可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故e SKIPIF 1 < 0 ．
且 SKIPIF 1 < 0 ，故渐近线方程为渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0
故选：AC．
（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）以下说法正确的是（ ）
A．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴长为4，短轴长为 SKIPIF 1 < 0
B．离心率为 SKIPIF 1 < 0 的椭圆较离心率为 SKIPIF 1 < 0 的椭圆来得扁
C．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上且焦距为2
D．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【详解】
对于A：椭圆 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
故长轴长为4，短轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B：因为椭圆的离心率越大，该椭圆越扁，
所以离心率为 SKIPIF 1 < 0 的椭圆较离心率为 SKIPIF 1 < 0 的椭圆来得扁，故B正确；
对于C：椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，故C错误；
对于D：椭圆 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，故离心率为 SKIPIF 1 < 0 ；
故选：ABD
（多选题）例6．（2022·全国·高三专题练习）若椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的一个焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的长轴长为 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 的短轴长为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【详解】
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍去)，
SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 长轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，短轴长 SKIPIF 1 < 0 ，离心率 SKIPIF 1 < 0 .
故选：AD.
（多选题）例7．（2022·全国·高三专题练习）已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C．点P的横坐标为±1
D．△PF1F2的面积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【详解】
等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；
由双曲线的方程可知F1F2＝ SKIPIF 1 < 0 ，
所以以F1F2为直径的圆,圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；
点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，
不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，所以由 SKIPIF 1 < 0 解得|x0|＝1，
则点P的横坐标为±1，故C正确；
由上述分析可得△PF1F2的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确．
故选：ACD.
（多选题）例8．（2022·全国·高三专题练习）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有相同的焦距，且一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程可能为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 焦距 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 双曲线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有相同的焦距，一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 设双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
综上，双曲线的方程可能为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：AD.
例9．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末（文））过抛物线 SKIPIF 1 < 0 焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交拋物线于 SKIPIF 1 < 0 两点，若两点的横坐标之和为5，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】7
【详解】
由抛物线方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，则由抛物线定义可得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：7.
例10．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，若椭圆上的点P满足 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 ，则该椭圆的离心率为___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
由椭圆的定义可知： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 轴，所以 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，
由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以离心率 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点，若 SKIPIF 1 < 0 到一个焦点的距离为1，则 SKIPIF 1 < 0 到另一个焦点的距离为（ ）
A．3B．5C．8D．12
【答案】B
【分析】
利用椭圆的定义求解.
【详解】
椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，由椭圆的定义得： SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 到一个焦点的距离为1，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 到另一个焦点的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，椭圆上任意一点到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的距离之和为4，过焦点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若线段 SKIPIF 1 < 0 的长为3，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】
根据给定条件结合椭圆定义求出a，设出点F2坐标，由给定弦长求出b即可得解.
【详解】
依题意，由椭圆定义得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的半焦距为c，则F2(c，0)，直线AB：x=c，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，于是得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，顶点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 SKIPIF 1 < 0 边上，则 SKIPIF 1 < 0 的周长是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．6C．4D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
先由椭圆方程求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用椭圆的定义进行求解.
【详解】由椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 的周长为:
SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
结合椭圆定义求出焦半径 SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 可得离心率的不等关系，求得其范围．
【详解】
SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D．
5．（2022·全国·高三专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的点．若 SKIPIF 1 < 0 是椭圆的两个焦点，则 SKIPIF 1 < 0 等于
A．4B．5C．8D．10
【答案】D【详解】
试题分析：因为椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，由椭圆的的定义知 SKIPIF 1 < 0 ，
故选D．
考点：1、椭圆的标准方程；2、椭圆的定义．
6．（2022·浙江·高三专题练习）若动点 SKIPIF 1 < 0 始终满足关系式 SKIPIF 1 < 0 ，则动点M的轨迹方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
由等式 SKIPIF 1 < 0 表示的几何意义，结合相应圆锥曲线定义即可得解.
【详解】
因动点 SKIPIF 1 < 0 满足关系式 SKIPIF 1 < 0 ，
则该等式表示点 SKIPIF 1 < 0 到两个定点 SKIPIF 1 < 0 的距离的和为8，而 SKIPIF 1 < 0 ，
即动点M的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为焦点，长轴长 SKIPIF 1 < 0 的椭圆，于是短半轴长b有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以动点M的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
7．（2022·全国·高三专题练习）设圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是圆内一定点，点 SKIPIF 1 < 0 为圆周上任一点，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线与 SKIPIF 1 < 0 的连线交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D【分析】
由垂直平分线的性质可知 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 轨迹满足椭圆定义，可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而求得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到所求轨迹方程.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 垂直平分线上的一点 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 点的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为焦点的椭圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0
故选： SKIPIF 1 < 0
【点睛】
本题考查动点轨迹方程的求解问题，关键是能够通过垂直平分线的性质得到所求动点轨迹满足椭圆定义.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆C交于A，B两点．若 SKIPIF 1 < 0 的周长为8，则椭圆方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
利用椭圆的定义，可求解a，由椭圆的离心率求得c，即可得到b，得到结果.
【详解】
如图：
由椭圆的定义可知， SKIPIF 1 < 0 的周长为4a，
∴4a=8,a=2,又离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴c=1，
b2 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
故选A．
【点睛】
本题考查椭圆的定义及简单性质的应用，属于基础题．
9．（2022·全国·高三专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点， SKIPIF 1 < 0 是椭圆上一点，且 SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A．6B． SKIPIF 1 < 0 C．8D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
利用椭圆的几何性质，得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而利用 SKIPIF 1 < 0 得出 SKIPIF 1 < 0 ，进而可求出 SKIPIF 1 < 0
【详解】
解：由椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理可得
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0
故选：B
10．（2022·浙江·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )的两个焦点， SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
根据 SKIPIF 1 < 0 的面积以及该三角形为直角三角形可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后结合 SKIPIF 1 < 0 ，简单计算即可.
【详解】
依题意有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过点P，且 SKIPIF 1 < 0 ，则C的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
根据题意，在 SKIPIF 1 < 0 中，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，进而根据椭圆定义得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得离心率.
【详解】
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又由椭圆定义可知 SKIPIF 1 < 0
则离心率 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
【点睛】
本题考查椭圆离心率的计算，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于根据已知条件，结合椭圆的定义，在焦点三角形中根据边角关系求解.
12．（2022·全国·高三专题练习）如果方程 SKIPIF 1 < 0 表示焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的椭圆，那么实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
化曲线方程为椭圆的标准方程，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，求解此不等式可得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】
由方程 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为方程 SKIPIF 1 < 0 表示焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的椭圆，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
13．（2022·全国·高三专题练习）下列四个椭圆中，形状最扁的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
根据椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，结合选项中的椭圆的方程，求得 SKIPIF 1 < 0 的关系，即可求解.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，根据选项中的椭圆的方程，可得 SKIPIF 1 < 0 的值满足 SKIPIF 1 < 0 ，
因为椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，
所以这四个椭圆中，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率最大，故其形状最扁．
故选：A.
14．（2022·重庆·模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C．5D．9
【答案】A
【分析】
由焦点坐标及椭圆方程中参数关系有 SKIPIF 1 < 0 ，即可求参数m.
【详解】
由题设知： SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
15．（2022·全国·高三专题练习）若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ＋y2＝1B． SKIPIF 1 < 0 ＋y2＝1
C． SKIPIF 1 < 0 ＋y2＝1或 SKIPIF 1 < 0 D．以上答案都不正确
【答案】C
【分析】
由直线方程得直线与坐标轴的交点，分焦点在x轴上、焦点在y轴上讨论可得答案.
【详解】
由直线方程x－2y＋2＝0 得直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)，
由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ；当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
设 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 两点的坐标分别代入椭圆方程，两式相减可求出 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，进而可求出 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
∴椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D．
17．（2022·全国·高三专题练习）过点(－3，2)且与 SKIPIF 1 < 0 有相同焦点的椭圆方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
先得焦点坐标，设方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将点 SKIPIF 1 < 0 代入解出 SKIPIF 1 < 0 的值，进而可得结果.
【详解】因为焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，设方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
18．（2022·浙江·高三专题练习）已知椭圆过点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 ，则此椭圆的标准方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．以上都不对
【答案】A
【分析】
设经过两点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 的椭圆标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，利用待定系数法能求出椭圆方程．
【详解】
设经过两点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 的椭圆标准方程为
SKIPIF 1 < 0 ，
代入A、B得， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴所求椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
19．（2022·浙江·高三专题练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的一点，椭圆的长轴长是焦距的 SKIPIF 1 < 0 倍，则该椭圆的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
由长轴长是焦距的 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，再把已知点的坐标代入，结合 SKIPIF 1 < 0 可解得 SKIPIF 1 < 0 得椭圆方程．
【详解】由题意 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
20．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
由题意将点代入椭圆方程，结合离心率公式即可得解.
【详解】
依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【点睛】
本题考查了通过椭圆经过的点及离心率确定椭圆方程，考查了运算求解能力，属于基础题.
21．（2022·上海·高三专题练习）若椭圆的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，且经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则该椭圆的标准方程为
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
先由题意得到 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，再由椭圆的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，设椭圆方程为： SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入方程，即可求出结果.
【详解】
因为焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
又椭圆的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，所以设椭圆方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
又椭圆过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此所求椭圆的方程为： SKIPIF 1 < 0 .
故选D
【点睛】
本题主要考查由椭圆的焦距与椭圆所过的点求椭圆方程，熟记椭圆的标准方程，用待定系数法求解即可，属于常考题型.
22．（2022·全国·高三专题练习）一个椭圆中心在原点，焦点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上， SKIPIF 1 < 0 是椭圆上一点，且 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，及 SKIPIF 1 < 0 是椭圆上的一点，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 是椭圆上一点，利用待定系数法即可．
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列， SKIPIF 1 < 0 是椭圆上的一点，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
设椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．故椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程与性质，考查待定系数法的运用，正确设出椭圆的方程是关键．
23．（2022·全国·高三专题练习）与椭圆 SKIPIF 1 < 0 共焦点且过点 SKIPIF 1 < 0 的双曲线的标准方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
先根据椭圆的标准方程，求得焦点坐标，进而设双曲线的方程，根据点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上，代入解方程最终求出双曲线的方程．
【详解】
椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标是 SKIPIF 1 < 0 ．
设双曲线的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为双曲线过点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求双曲线的标准方程是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B.
24．（2022·全国·高三专题练习（文））椭圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 关系为（ ）
A．有相等的长轴长B．有相等的离心率
C．有相同的焦点D．有相等的焦距
【答案】D
【分析】
分别求出两个椭圆的长轴、短轴和焦距，进行比较可得答案
【详解】
由题意，对于椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，焦点在x轴上，a＝5，b＝3，所以c＝ SKIPIF 1 < 0 ＝4，则离心率e＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，对于椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，因为25－k＞9－k＞0，所以焦点在y轴上，a＝ SKIPIF 1 < 0 ≠5，b＝ SKIPIF 1 < 0 ≠3，所以c＝ SKIPIF 1 < 0 ＝4，则离心率e＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ≠ SKIPIF 1 < 0 ，
故选项D正确，其他选项错误.
故选：D.
25．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的左焦点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线交椭圆于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为右焦点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率为 ( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
作出图形，设 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可将 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 均用 SKIPIF 1 < 0 表示，即可计算出该椭圆的离心率.
【详解】
设该椭圆的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，如下图所示：
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，该椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
26．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B，若∠F1AB＝90°，则此椭圆的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】
由∠F1AB＝90°，得△F1AF2为等腰直角三角形，从而得 SKIPIF 1 < 0 ，易得离心率．
【详解】
若∠F1AB＝90°，则△F1AF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c．
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
27．（2022·全国·高三专题练习）已知F1，F2分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 =1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率e的取值范围为 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
如图，椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，化为 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出椭圆的离心率的范围.
【详解】
若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，
则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即c2≥b2，
所以2c2≥a2，即e2≥ SKIPIF 1 < 0 ，又e<1，所以e∈ SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B
28．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则实数m的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
根据椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到直线方程，再根据直线与圆的位置关系代数解法即可求出．
【详解】
由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，∵直线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
29．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点，椭圆上一点M满足： SKIPIF 1 < 0 ，则该椭圆离心率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 【答案】D
【分析】
根据椭圆定义和余弦定理，即可求解.
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，由椭圆定义知： SKIPIF 1 < 0 .由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选D.
30．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
根据椭圆的对称性可知， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 以及椭圆定义可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中再根据余弦定理即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求出椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率．
【详解】
由椭圆的对称性，得 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .由椭圆的定义，知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
31．（2022·全国·高三专题练习（理））双曲线 SKIPIF 1 < 0 上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为（ ）
A．20B．16C．12D．8
【答案】A
【分析】
直接根据双曲线的定义得到答案.
【详解】
设P到另一个焦点的距离为d， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ＝2×8＝16，∴d＝20，
故选：A.
32．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线C的两个焦点，P为双曲线上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ；则C的离心率为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】
结合双曲线的定义列式求得双曲线的离心率.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
33．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线交双曲线右支于 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
设 SKIPIF 1 < 0 根据 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，结合双曲线的定义求得 SKIPIF 1 < 0 ，再 在 SKIPIF 1 < 0 中，利用勾股定理求解.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线的定义得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
34．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的一个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
由题知 SKIPIF 1 < 0 ,双曲线的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上,进而计算 SKIPIF 1 < 0 ,再求渐近线方程即可得答案.
【详解】
解:由题知 SKIPIF 1 < 0 ,双曲线的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以双曲线的渐近线为 SKIPIF 1 < 0
故选:B
35．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列关于双曲线说法正确的是（ ）
A．虚轴长为4B．焦距为 SKIPIF 1 < 0 C．离心率为 SKIPIF 1 < 0 D．渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
根据双曲线方程求得 SKIPIF 1 < 0 的值，由此求得虚轴、焦距、离心率和渐近线方程，由此判断出正确选项.
【详解】
双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得虚轴长为6，实轴长为4，离心率 SKIPIF 1 < 0 ，渐近线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．所以ABC选项错误，D选项正确.
故选：D．
【点睛】
本小题主要考查根据双曲线方程求 SKIPIF 1 < 0 ，考查双曲线虚轴、焦距、离心率和渐近线方程的求法，属于基础题.
36．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，它的焦距为2，则双曲线的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
根据双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，再结合焦距为2和 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得解.
【详解】
解：因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因焦距为2，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.37．（2022·全国·高三专题练习）过点 SKIPIF 1 < 0 且与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有相同焦点的双曲线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
设双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，再代点解方程 SKIPIF 1 < 0 即得解.
【详解】
解：由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的焦点为 SKIPIF 1 < 0 .
设双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为双曲线过点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
38．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 作与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直的直线与双曲线交于 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 两点，过 SKIPIF 1 < 0 作一条渐近线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
分别根据所给双曲线方程求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 解出 SKIPIF 1 < 0 即可.
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 代入双曲线方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，不妨取一条渐近线 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
39．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，虚轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，则其标准方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
根据给定条件结合 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，再按焦点位置即可写出标准方程.
【详解】
设双曲线实半轴、虚半轴长分别为a、b，半焦距为c，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
于是得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当焦点在x轴上时，双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，当焦点在y轴上时，双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
40．（2022·全国·高三专题练习）双曲线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
根据离心率可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 可得曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，然后将点代入即可求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入双曲线的方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
41．（2022·全国·高三专题练习（文））双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点到渐近线的距离为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．4
【答案】C
【分析】
求出焦点坐标及渐近线方程，利用点到直线的距离公式求出距离.
【详解】
设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，渐近线方程： SKIPIF 1 < 0 ，则F到渐近线的距离d为： SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
42．（2022·上海·高三专题练习）若抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点F与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点重合，则n的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C．2D．13
【答案】B
【分析】
计算抛物线焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，计算得到答案.
【详解】
抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
本题考查了抛物线和双曲线的焦点，属于简单题.
43．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的焦距等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．4
【答案】C
【分析】
根据渐近线方程可求 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求双曲线的焦距.
【详解】
由双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 可得其渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故半焦距 SKIPIF 1 < 0 ，故焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
44．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有相同的焦点.则 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】
根据两个双曲线有相同的焦点，由 SKIPIF 1 < 0 ，得到双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程求解.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由题得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
45．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线C与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有共同的焦点，且焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线C的方程为（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
根据椭圆的方程可得双曲线的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，且 SKIPIF 1 < 0 ，然后设双曲线的方程，并求出渐近线方程，最后由焦点到该双曲线渐近线的距离等于 SKIPIF 1 < 0 及双曲线中 SKIPIF 1 < 0 即可求解.
【详解】
解：因为椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意，双曲线C的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，且 SKIPIF 1 < 0 ，
设双曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
其渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
46．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线与直线 SKIPIF 1 < 0 相互垂直，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．6D．8
【答案】B
【分析】
先求出m，再求出焦点坐标和短轴顶点坐标，直接求面积即可.
【详解】
因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线与直线 SKIPIF 1 < 0 相互垂直，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得：m=9.
双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，虚轴的一个端点 SKIPIF 1 < 0 .
所以三角形的面积为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
47．（2022·浙江·高三专题练习）若双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则该双曲线的实轴长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
先求出双曲线的渐近线方程，再根据圆心到直线的距离等于半径即可求得.
【详解】
双曲线的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∵a>0，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的实轴长为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
48．（2022·全国·高三专题练习）直线 SKIPIF 1 < 0 是双曲线等 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线，且双曲线的一个顶点到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的虚轴长为（ ）
A．4B．8C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
由双曲线的一个顶点到渐近线的距离求得 SKIPIF 1 < 0 ，再由渐近线方程的斜率求得答案.
【详解】
双曲线的顶点不妨设为 SKIPIF 1 < 0 ，到渐近线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，又渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
49．（2022·上海·高三专题练习）设双曲线的顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
【答案】A【分析】
由条件求出双曲线的方程，然后可得答案.
【详解】
因为双曲线的顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0
所以其渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
故选：A
50．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则其渐近线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
由 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 即可
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以其渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0
故选：A
【点睛】
在椭圆中有 SKIPIF 1 < 0 ，在双曲线中有 SKIPIF 1 < 0 .
51．（2022·全国·高三专题练习）渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 的双曲线的离心率是
A． SKIPIF 1 < 0 B．1
C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】C
【分析】
本题根据双曲线的渐近线方程可求得 SKIPIF 1 < 0 ，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.
【详解】根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以c SKIPIF 1 < 0
则该双曲线的离心率为 e SKIPIF 1 < 0 ，
故选C．
【点睛】
理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.
52．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，则m的值为（ ）
A．4B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
首先判断 SKIPIF 1 < 0 ，即可表示出双曲线的渐近线方程，再根据两直线平行斜率相等得到方程，即可求出 SKIPIF 1 < 0 ；
【详解】
解：双曲线C： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，又双曲线的一条渐近线与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
53．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的一条渐近线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
根据题意，可知该双曲线焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，则它的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，再根据双曲线离心率 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的值，从而可求出该双曲线的一条渐近线方程.
【详解】
解：根据题意，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，
可知该双曲线焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，则它的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故其中一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
54．（2022·全国·高三专题练习（文））设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，若双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两个顶点恰好将线段 SKIPIF 1 < 0 三等分，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
由双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两个顶点恰好将线段 SKIPIF 1 < 0 三等分得到 SKIPIF 1 < 0 求解.
【详解】
因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两个顶点恰好将线段 SKIPIF 1 < 0 三等分点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线的渐近线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A．
55．（2022·全国·高三专题练习（理））双曲线C： SKIPIF 1 < 0 =1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则△PFO的面积为
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
又P在C的一条渐近线上，不妨设为在 SKIPIF 1 < 0 上，
SKIPIF 1 < 0 ，故选A．
【点睛】
忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．
56．（2022·河北张家口·高三期末）已知 SKIPIF 1 < 0 是拋物线 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的焦点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．3C．6D．9
【答案】C
【分析】
结合抛物线的定义以及抛物线的标准方程列方程，化简求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】
由定义 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
57．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末（文））在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上，则 SKIPIF 1 < 0 的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】
根据点在抛物线上，可求出参数m的值，方法一，可根据两点间的距离公式求出 SKIPIF 1 < 0 的值；方法二，可由抛物线的定义，根据到焦点的距离与到准线的距离相等，得出结论.
【详解】
抛物线的焦半径求解法一：由题意可知，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D．
法二：由题意可知，抛物线的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则由抛物线的定义可得， SKIPIF 1 < 0 .
故选：D．
58．（2022·全国·高三专题练习）抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一点P到焦点的距离是2，则P点坐标为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
设 SKIPIF 1 < 0 ，由抛物线的定义，列出方程求得 SKIPIF 1 < 0 ，代入抛物线的方程，即可求解.
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，由抛物线的定义，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
代入抛物线的方程，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点P点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D.
59．（2022·江苏·高三专题练习）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的一点， SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离是 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的准线距离的2倍，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】A
【分析】
利用抛物线的定义求解.【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
60．（2022·全国·高三专题练习）已知A（3，2），点F为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，点P在抛物线上移动，为使 SKIPIF 1 < 0 取得最小值，则点P的坐标为（ ）
A．（0，0）B．（2，2）C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
设点P到准线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，根据抛物线的定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，即可根据点到直线的距离最短求出．
【详解】
如图所示：
设点P到准线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 与抛物线的交点时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，此时点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
61．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C：y2＝2px（p>0）上一点M（6，y）到焦点F的距离为8，则p＝（ ）A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】
解方程 SKIPIF 1 < 0 即得解.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 到焦点F的距离为8，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
62．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 是C上一点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】B
【分析】
利用抛物线的定义、焦半径公式列方程即可得出．
【详解】
由抛物线 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
准线方程 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
63．（2022·全国·高三专题练习（理））若抛物线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）上一点 SKIPIF 1 < 0 到其焦点的距离为2，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】用焦半径公式解方程算出 SKIPIF 1 < 0 即可获解.
【详解】
∵抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 到焦点的距离为2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
64．（2022·全国·高三专题练习）顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为（ ）
A．x2＝－12y或y2＝16xB．x2＝12y或y2＝－16x
C．x2＝9y或y2＝12xD．x2＝－9y或y2＝－12x
【答案】A
【分析】
由直线求出抛物线焦点坐标，根据焦点坐标求出抛物线方程.
【详解】
对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4，0)．
当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则 SKIPIF 1 < 0 ＝3，所以p＝6，
此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则 SKIPIF 1 < 0 ＝4，所以p＝8，
此时抛物线的标准方程为y2＝16x．
故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x．
故选：A
65．（2022·全国·高三专题练习（理））已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，过焦点 SKIPIF 1 < 0 且倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，则弦 SKIPIF 1 < 0 的中点到准线的距离为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】先求得 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程组，结合根与系数的关系，求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而求得弦 SKIPIF 1 < 0 的中点到准线的距离，得到答案.
【详解】
由题意，抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，可得焦点 SKIPIF 1 < 0 ，准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以弦 SKIPIF 1 < 0 的中点的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
则弦 SKIPIF 1 < 0 的中点到准线的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
66．（2022·江苏·高三专题练习）过抛物线 SKIPIF 1 < 0 焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 两点（点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限），若直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
求出直线方程，联立直线和抛物线方程，解得A，B坐标，即可由抛物线定义求得 SKIPIF 1 < 0 ，得出所求.
【详解】
由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 ），
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 直线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由抛物线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.67．（2022·全国·高三专题练习）已知F是抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点，曲线C2是以F为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆，直线4x－3y－2p＝0与曲线C1，C2从上到下依次相交于点A，B，C，D，则 SKIPIF 1 < 0 ＝（ ）
A．16B．4
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
根据抛物线的定义以及圆的知识将 SKIPIF 1 < 0 转化为 SKIPIF 1 < 0 ，再联立直线与抛物线，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即可得到答案.
【详解】
如图：
因为直线4x－3y－2p＝0过C1的焦点F(C2的圆心)，
故|BF|＝|CF|＝ SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
由抛物线的定义得|AF|－ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，|DF|－ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，整理得8x2－17px＋2p2＝0，即(8x－p)(x－2p)＝0，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【点睛】
本题考查了圆的性质，考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的交点，属于中档题.
68．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 被斜率为1的直线截得的弦的中点为（4，2），则该双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】B
【分析】
设弦的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，代入双曲线方程并作差整理得： SKIPIF 1 < 0 ，再结合直线的斜率为1和弦的中点，可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求出离心率
【详解】
设弦的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式作差整理得： SKIPIF 1 < 0 ．
∵斜率为1，弦的中点为（4，2），
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 . 故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
69．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l被双曲线C： SKIPIF 1 < 0 ﹣y2=1所截得的弦的中点坐标为(1，2)，则直线l的方程（ ）
A．x+4y﹣9=0B．x﹣4y+7=0
C．x﹣8y+15=0D．x+8y﹣17=0
【答案】C
【分析】
运用代入法、点差法求出直线l的斜率，最后利用直线的点斜式方程进行求解即可.
【详解】
解：设P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
∵线段PQ的中点为(1，2)，∴x1+x2=2，y1+y2=4，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ﹣(y1﹣y2)(y1+y2)=0，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，即直线l的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线l的方程为y﹣2= SKIPIF 1 < 0 (x﹣1)，
即x﹣8y+15=0，
故选：C.
二、多选题
70．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的周长为10
B． SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
D．存在点P使得 SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【分析】
由椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 可判断A，当点 SKIPIF 1 < 0 位于短轴端点时， SKIPIF 1 < 0 的面积最大，可判断B，利用余弦定理可椭圆的定义求出 SKIPIF 1 < 0 ，可判断C，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，解出方程可判断D.
【详解】
由椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确
当点 SKIPIF 1 < 0 位于短轴端点时， SKIPIF 1 < 0 的面积最大，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确
当 SKIPIF 1 < 0 时，由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得解得 SKIPIF 1 < 0 ，不成立，故D错误
故选：AB
71．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ），则下列结论正确的是（ ）
A．当 SKIPIF 1 < 0 时，曲线C是焦距为4的双曲线
B．当 SKIPIF 1 < 0 时，曲线C是离心率为 SKIPIF 1 < 0 的椭圆
C．曲线C可能是一个圆
D．当 SKIPIF 1 < 0 时，曲线C是渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 的双曲线
【答案】AD
【分析】
根据给定方程，逐一利用各个选项中的条件，再列式计算并判断作答.
【详解】
对于A，当 SKIPIF 1 < 0 时，曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，表示双曲线，且 SKIPIF 1 < 0 ，即焦距为4，A正确；
对于B，当 SKIPIF 1 < 0 时，曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，表示椭圆，离心率 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；对于C，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，该方程无解，则曲线C不可能是一个圆，C错误；
对于D，当 SKIPIF 1 < 0 时，曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，表示双曲线，渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：AD
72．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A．当 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 为椭圆
B．当 SKIPIF 1 < 0 时，曲线 SKIPIF 1 < 0 为双曲线，其渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0
C．“ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ”是“曲线 SKIPIF 1 < 0 为双曲线”的充要条件
D．不存在实数 SKIPIF 1 < 0 使得曲线 SKIPIF 1 < 0 为离心率为 SKIPIF 1 < 0 的双曲线
【答案】BCD
【分析】
根据椭圆双曲线方程的特点分别判断每个选项即可.
【详解】
对A，若 SKIPIF 1 < 0 ，则曲线方程 SKIPIF 1 < 0 表示圆，故A错误；
对B，当 SKIPIF 1 < 0 时，曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，表示双曲线，其渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对C，要使曲线为双曲线，需满足 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故“ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ”是“曲线 SKIPIF 1 < 0 为双曲线”的充要条件，故C正确；
对D，若离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，两个方程均无解，故D正确.
故选：BCD.
73．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 )在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 【答案】AC
【分析】
根据抛物线的定义和几何性质求解即可.
【详解】
由题可知 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
故选：AC．
74．（2022·全国·高三专题练习）[多选题]已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0
B．若直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【分析】
根据抛物线方程的标准形式求出焦点可判断A；由抛物线的性质可判断B、C；利用抛物线的焦半径公式可判断D.
【详解】
易知点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，选项A错误；
根据抛物线的性质知， SKIPIF 1 < 0 过焦点 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，选项B正确；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值即抛物线通径的长，
为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，选项C正确，
抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别作准线的垂线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以线段 SKIPIF 1 < 0 ，
所以线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，选项D正确．
故选：BCD
75．（2022·江苏·高三专题练习）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，抛物线的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 与抛物线相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【分析】
根据条件求出 SKIPIF 1 < 0 ，再联立直线与抛物线求出 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出结论．
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，准线为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 对，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 为： SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 错，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 对，
SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．故 SKIPIF 1 < 0 错，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
三、填空题
76．（2022·浙江·高三专题练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的周长是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为___.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
由于点P满足 SKIPIF 1 < 0 ，知点P的轨迹是以M、N为焦点，且 SKIPIF 1 < 0 的椭圆（由于P与M、N不共线，故 SKIPIF 1 < 0 ），再利用待定系数法求解.
【详解】
由于点P满足 SKIPIF 1 < 0 ，
知点P的轨迹是以M、N为焦点，且 SKIPIF 1 < 0 的椭圆（由于P与M、N不共线，故 SKIPIF 1 < 0 ），
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的顶点P的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
77．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为________．
【答案】9
【分析】
根据椭圆的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合基本不等式即可求得 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【详解】
∵ SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上
∴ SKIPIF 1 < 0
∴根据基本不等式可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号.
故答案为：9.
78．（2022·上海·高三专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，若椭圆上的点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
根据椭圆定义，得到 SKIPIF 1 < 0 ，再由题中条件，即可得出结果.
【详解】
由题意，在椭圆 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】
本题主要考查椭圆上的点到焦点的距离，熟记椭圆的定义即可，属于基础题型.
79．（2022·全国·高三专题练习）点P是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 是椭圆的两个焦点，且 SKIPIF 1 < 0 的内切圆半径为1，当P在第一象限内时，P点的纵坐标为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
由椭圆的定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，根据椭圆方程求得焦距，利用内切圆的性质把三角形 SKIPIF 1 < 0 分成三个三角形分别求出面积，再利用面积相等建立等式求得P点纵坐标．
【详解】
解：根据椭圆的定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，
令内切圆圆心为O
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
又∵ SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】
本题考查了椭圆的定义以及焦点三角形的内切圆问题，属于中档题.
80．（2022·浙江·高三专题练习）过点( SKIPIF 1 < 0 ，－ SKIPIF 1 < 0 )，且与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有相同焦点的椭圆的标准方程为_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
由题设条件设出椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 ，再列出关于a2与b2的方程组即可作答.
【详解】
所求椭圆与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有c2=25-9=16，
设它的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 (a＞b＞0)，于是得a2-b2=16，
又点( SKIPIF 1 < 0 ，－ SKIPIF 1 < 0 )在所求椭圆上，即 SKIPIF 1 < 0 ，联立两个方程得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得b2=4，则a2=20，
所以所求椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
81．（2022·上海·高三专题练习）已知椭圆的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，焦距为2，且经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则该椭圆的标准方程为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
根据焦距和与 SKIPIF 1 < 0 轴交点得到 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到标准方程.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 椭圆焦距为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
又焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，经过点 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0
故答案为 SKIPIF 1 < 0
【点睛】
本题考查椭圆标准方程的求解，属于基础题.
82．（2022·全国·高三专题练习）与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有相同离心率且经过点 SKIPIF 1 < 0 的椭圆标准方程为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】
分焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上两种情况，结合基本量间的关系计算求解即可
【详解】
方法一 ∵ SKIPIF 1 < 0 ，若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 又 SKIPIF 1 < 0 ，∴m2＝8，n2＝6.
∴所求椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
若焦点在y轴上，设椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
故所求椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
83．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆方程为_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
设椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ）,将两点坐标代入椭圆方程，求出 SKIPIF 1 < 0 即可.
【详解】
设椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ）.
椭圆经过两点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以所求椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
84．（2022·全国·高三专题练习）与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有共同的渐近线，且过点M（2,-2）的双曲线方程为________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】
设双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 所以双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0
85．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的准线为 SKIPIF 1 < 0 ，若M为 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点，设点N的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
先求得抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程，设 SKIPIF 1 < 0 ，结合两点间的距离公式，求得 SKIPIF 1 < 0 的最小值，由此求得 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【详解】
由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值8，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
86．（2022·全国·高三专题练习）О为坐标原点，F为抛物线C ∶y2= 4x的焦点，P为C上的一点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则三角形POF的面积为 _________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
由抛物线的焦半径公式（或定义）求得 SKIPIF 1 < 0 点坐标，然后可计算三角形面积.
【详解】
由题意，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .87．（2022·全国·高三专题练习）直线 SKIPIF 1 < 0 过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 俩点，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】10
【分析】
先求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用公式可求 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
因为直线 SKIPIF 1 < 0 过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
故抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：10.