高考数学2025 基本不等式 专项训练13（word版）

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1. 几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，则 (当且仅当“”时取“”).
特例：同号）.
（3）其他变形：
①(沟通两和与两平方和的不等关系式)
②(沟通两积与两平方和的不等关系式)
③(沟通两积与两和的不等关系式)
④重要不等式串：即
调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).
2. 均值定理
已知.
（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.
（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.
【典型例题】
例1．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2022·全国·高三专题练习（文））若实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
例4．（2022·全国·高三专题练习）若，，，则的取值范围是（ ）
A．，B．C．，D．
例5．（2021·山西大同·高三阶段练习（理））已知点在直线上，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．4
例6．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（文））已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例7．（2021·贵州遵义·高三阶段练习（文））已知a，b为正实数，且满足，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．
例8．（2021·重庆·西南大学附中高三阶段练习）已知，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例9．（2021·江西·高三阶段练习（理））已知、，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数在时取得最小值，则等于（ ）
A．6B．8C．16D．36
2．（2021·黑龙江·大庆实验中学高三阶段练习（文））三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个不等式（ ）
A．如果，那么；
B．如果，那么；
C．对任意实数和，有，当且仅当时等号成立；
D．如果，，那么．
3．（2020·广东·普宁市第二中学高三阶段练习）下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（ ）
A．3B．2C．1D．-1
5．（2022·全国·高三专题练习）若，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值2D．最小值2
6．（2022·浙江·高三专题练习）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式m2+7m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．﹣8≤m≤1B．m≤﹣8或m≥1C．﹣1≤m≤8D．m≤﹣1或m≥8
7．（2022·全国·高三专题练习）已知非负数满足，则的最小值是（ ）
A．3B．4C．10D．16
8．（2022·全国·高三专题练习）设均为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．8B．16C．9D．6
9．（2022·全国·高三专题练习）若正数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·全国·高三专题练习）若对满足的任意正数及任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·全国·高三专题练习）设，为正数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
12．（2022·江苏·高三专题练习）已知，，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
13．（2022·浙江·高三专题练习）若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是________（填序号）.
①；②；③≥2；④a2＋b2≥8.
14．（2022·全国·高三专题练习）若，则的最大值是 _______
15．（2022·全国·高三专题练习）若正数满足，则的最大值是________．
16．（2022·全国·高三专题练习）函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则mn的最大值为___________.
17．（2022·全国·高三专题练习）当时，的最小值为______．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知，，且满足，则的最小值为_________
19．（2022·全国·高三专题练习）已知，，且，则的最小值为______．
20．（2022·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值为___________.
21．（2022·上海·高三专题练习）若，则的最小值为____________．
22．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的最小值是________．
23．（2022·全国·高三专题练习）设，，为正实数，满足，则的最小值是__________．
24．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是_______．
25．（2021·四川·成都七中一模（文））已知实数满足，则的最大值为___________.
26．（2020·辽宁·开原市第二高级中学三模）如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，，那么当_______时，矩形花坛的面积最小，最小面积为______.