高考数学2025 圆锥曲线常规解答题 专项训练37（word版）

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一、直线与圆锥曲线的位置关系的判断
判断直线与圆锥曲线的位置关系时,通常将直线的方程
代入圆锥曲线的方程 ,消去(也可以消去)得到关系一个变量的
一元二次方程,,即 ,消去后得
(1)当时,即得到一个一元一次方程,则与相交,且只有一个交点,此时,
若为双曲线,则直线与双曲线的渐近线平行;若为抛物线,则直线与抛物线
的对称轴平行
(2) 当时, ,直线与曲线有两个不同的交点; ,直线与曲
线相切,即有唯一的公共点(切点); ,直线与曲线
二、圆锥曲线的弦
连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦
直线 ,曲线为与的两个不同的交点,坐标分别为,则是方程组 的两组解,
方程组消元后化为关于的一元二次方程() ,判别式
,应有 ,所以是方程的根,由根与系数关
系(韦达定理)求出 , 所以两点间的距离为
,即弦长公式,弦长
公式也可以写成关于的形式
三、定值问题
解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：
（1）变量----选择适当的量为变量.
（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数.
（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值.
求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值.
四、求最值问题常用的两种方法
（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法.
（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值.求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法.
五、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视”
（1）重视定义在解题中的作用(把定义作为解题的着眼点).
（2）重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用.
（3）重视根与系数的关系在解题中的作用(涉及弦长、中点要用根与系数的关系).
【典型例题】
例1．（2020·全国·高三专题练习）设抛物线：的焦点为，是上的点．
（1）求的方程：
（2）若直线：与交于，两点，且，求的值．
例2．（2020·全国·高三专题练习）已知椭圆过点，离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于A、B两点，求.
例3．（2021·宁夏·海原县第一中学高三期末（理））设椭圆过点，离心率为
（1）求C的方程；
（2）求过点且以M点为中点的弦的方程．
例4．（2021·江苏·南京市中华中学高三阶段练习）已知双曲线的离心率为2．
（1）求双曲线E的方程；
（2）设点P(0，－3)，过点Q(0，1)的直线l交E于不同的两点A，B，求直线PA，PB的斜率之和．
例5．（2021·全国·高三专题练习（文））在平面直角坐标系中，设点，直线：，点在直线上移动，是线段与轴的交点，，．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）直线与曲线交于，两点，是否为定值，若是求出该定值，若不是说明
例6．（2020·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的两点A，B，且l不过原点．
（1）若＝－4，证明直线l必过定点，并求出定点坐标；
（2）若OA⊥OB，证明直线l必过定点，并求出定点坐标；
（3）若直线l始终过点(1，0)，证明：为定值，并求定值．
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，椭圆的长轴是圆的直径.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线，，其中交椭圆于，两点，交圆于，两点，求四边形面积的取值范围.
【技能提升训练】
1．（2021·全国·高三专题练习（文））已知椭圆的长轴在轴上，长轴长为4，离心率为，
（1）求椭圆的标准方程，并指出它的短轴长和焦距.
（2）直线与椭圆交于两点，求两点的距离.
2．（2021·河北省唐县第一中学高三阶段练习）已知椭圆，直线过点与椭圆交于两点，为坐标原点.
（1）设为的中点，当直线的斜率为时，求线段的长；
（2）当△面积等于时，求直线的斜率.
3．（2020·全国·高三专题练习）经过椭圆的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，求AB的长.
4．（2021·福建省厦门集美中学高三阶段练习）椭圆的左右焦点分别为，，焦距为，为原点.椭圆上任意一点到，距离之和为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的斜率为2的直线交椭圆于､两点，求的面积.
5．（2021·全国·高三专题练习）已知①如图，长为，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过两点
②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，若直线与椭圆相交于､两点，求的最值.
6．（2021·吉林·长春市第二实验中学高二阶段练习）点与定点的距离和它到定直线的距离的比是．
（1）求点的轨迹方程．
（2）求轨迹的以为中点的弦所在直线方程．
7．（2022·全国·高三专题练习（理））已知椭圆：的左､右焦点分别为，，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，的中点坐标为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求的面积.
8．（2021·全国·高三专题练习（理））已知焦点在轴上的椭圆：，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点 ，两点都在轴上方，且．证明直线过定点，并求出该定点坐标．
9．（2021·全国·高三专题练习）已知直线半径为的圆与直线相切,圆心在轴上且在直线的上方.
（1）求圆的方程;
（2）设过点 的直线被圆截得弦长等于,求直线的方程;
（3）过点的直线与圆交于两点（在轴上方）,问在轴正半轴上是否存在点,使得轴平分?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
10．（2017·陕西渭南·二模（理））已知是椭圆上关于原点对称的任意两点，且点都不在 轴上.
（1）若，求证: 直线和的斜率之积为定值；
（2）若椭圆长轴长为，点在椭圆上，设是椭圆上异于点的任意两点，且.问直线是否过一个定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：(a＞b＞0)的右焦点F2与抛物线y2＝4x的焦点重合，且其离心率为．
（1）求椭圆C的方程．
（2）已知与坐标轴不垂直的直线l与C交于M，N两点，线段MN中点为P，问：kMN·kOP(O为坐标原点)是否为定值？请说明理由．
12．（2021·全国·高三专题练习）已知①如图，长为，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过两点
②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，记，分别是椭圆左､右顶点，若是椭圆上的动点，判断是否为定值，并说明理由.
13．（2021·陕西·西安中学高三阶段练习（理））如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
（1）求抛物线的方程及其准线方程；
（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．
14．（2022·全国·高三专题练习）已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是的中点，为椭圆的中心.求证：直线和直线的斜率之积是定值.
15．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学模拟预测（理））已知椭圆：（，），离心率为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆上的任意一点（除短轴的端点外）与短轴的两个端点，的连线分别与轴交于，两点，求证为定值．
16．（2021·山西运城·模拟预测（理））已知在抛物线：上.
（1）求抛物线的方程；
（2），是抛物线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为2，证明：直线过定点.
17．（2021·江苏·高三专题练习）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率e＝，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，B1，B2分别是椭圆的上、下顶点，P是椭圆上任意一点（不与B1，B2，重合），O为坐标原点．
（1）若线段PF1的中点在y轴上，求的值；
（2）若直线PB1，PB2分别与x轴交于点M，N，求证：|OM|•|ON|为定值．
18．（2019·江西九江·二模（文））已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其内接正方形的面积为4．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设M为椭圆C的右顶点，过点且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，记直线PM，QM的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．
19．（2018·全国·一模（文））设为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，满足,已知三角形
的面积为1.
(1) 求的方程:
(2) 设的上顶点为,过点(2，-1)的直线与椭圆交于两点(异于),求证: 直线和的斜率之和为定值，并求出这个定值.
20．（2021·广西桂林·高三阶段练习（文））在平面直角坐标系中，已知椭圆中心在原点，焦距为2，右准线的方程为.过的直线交于，两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求直线的方程.
21．（2020·四川郫都·高三阶段练习（文））在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点，且离心率.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线过点且与椭圆相交于两不同点、，求的取值范围.
22．（2016·宁夏·一模（理））已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且.
（1）求椭圆方程；
（2）求的取值范围．
23．（2021·全国·高三专题练习）已知中心在原点的双曲线的一个焦点，一个顶点为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线的左右两支各有一个交点，求的取值范围.
24．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.
25．（2021·全国·高三专题练习）已知双曲线经过点且实轴长是半焦距的．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若直线l与双曲线C交于P，Q两点，且线段PQ的中点为，求直线l的方程．
26．（2021·全国·高三专题练习）已知双曲线.
（1）求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程；
（2）若直线与双曲线交于A、B两点，且A、B的中点坐标为（1，1），求直线的斜率.
27．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，求AB的长．
28．（2021·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点且斜率为的直线与交于，两点，，求直线的方程.
29．（2020·全国·高三专题练习（文））已知抛物线与直线相交于、两点.
（1）求证：；
（2）当的面积等于时，求的值.
30．（2021·上海·高三专题练习）若抛物线上存在关于直线对称的两点，求的取值范围.
31．（2018·福建·莆田第十五中学高三阶段练习）已知抛物线顶点在原点，焦为点.
(Ⅰ)求抛物线的方程；
(Ⅱ)求抛物线被直线所截得的弦中点的坐标.