高考数学2025 函数的概念 专项训练3（word版）

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一、函数的概念
设集合A，B是非空的数集，对集合A中任意实数x按照确定的法则f集合B中都有唯一确定的实数值y与它对应，则这种对应关系叫做集合A到集合B上的一个函数记作y＝f(x)
x∈A·其中叫做自变量，其取值范围（数集A）叫做该函数的定义域，如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f（a）或y|x=2，所有函数值构成的集合叫做该函数的值域，可见集合C是集合B的子集 .
注 函数即非空数集之间的映射
注 构成函数的三要素
构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域.由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应法则一致，就称两个函数为同一个函数，定义域和对应法则中只要有一个不同，就是不同的函数.
二、函数的定义域
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切的定义域是且；
（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围； = 2 \* GB3 ②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
三、函数的值域
求解函数值域主要有以下十种方法：
（1）观察法；（2）配方法；（3）图像法；（4）基本不等式法，（5）换元法；（6）分离常数法；（7）判别式法；（8）单调性法，（9）有界性法；（10）导数法.
需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式.
四、函数的解析式
求函数的解析式，常用的方法有：（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；
（2）换元法：主要用于解决已知复合函数的表达式求的解析式的问题，令，解出，然后代入中即可求得，从而求得，要注意新元的取值范围；
（3）配凑法：配凑法是将右端的代数式配凑成关于的形式，进而求出的解析式；
（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在定义域上单调，且时均有，则的值为（ ）
A．3B．1C．0D．
例2．（2022·全国·高三专题练习）函数，若实数满足，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
例3．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
（多选题）例4．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）下列说法正确的有（ ）
A．式子可表示自变量为、因变量为的函数
B．函数的图象与直线的交点最多有个
C．若，则
D．与是同一函数
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________．(填序号)
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝.
例6．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为______．
例7．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知的定义域为，求函数的定义域；
（2）已知的定义域为，求的定义域；
（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
例8．（2022·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数的解析式：
（1）已知f(＋1)＝x＋2；
（2）若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1；
（3）已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）以下从M到N的对应关系表示函数的是（ ）
A．M＝R，N＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|
B．M＝{x|x≥2，x∈N*}，N＝{y|y≥0，y∈N*}，f：x→y＝x2﹣2x+2
C．M＝{x|x＞0}，N＝R，f：x→y＝±
D．M＝R，N＝R，f：x→y＝
2．（2022·全国·高三专题练习（理））下列函数中，不满足：的是
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）函数y＝的定义域是（ ）
A．B．C．D．．
4．（2022·全国·高三专题练习）函数y的定义域为（ ）
A．[﹣2，3]B．[﹣2，1）∪（1，3]
C．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）D．（﹣2，1）∪（1，3）
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（文））下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2021·天津市西青区张家窝中学高三阶段练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
10．（2022·全国·高三专题练习）若函数满足，则（ ）
A．0B．2C．3D．
11．（2022·全国·高三专题练习）函数，若实数满足，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
12．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)=，则f(4)+f(-4)=（ ）
A．63B．83C．86D．91
13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）=的值域为R，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．，D．
14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（ ）
A．a∈(0,1)B．a∈[,1)C．a∈(0,]D．a∈[,2)
15．（2022·全国·高三专题练习）已知实数，函数，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
16．（2022·全国·高三专题练习）已知实数，函数，若，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
17．（2022·全国·高三专题练习）设函数，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
19．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则（ ）
A．1B．2C．D．3
二、多选题
21．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，请根据函数定义，下列四个对应法则能构成从到的函数的是（ ）
A．B．C．D．
22．（2022·全国·高三专题练习）（多选）若函数在区间上有意义，则实数可能的取值是（ ）
A．B．C．D．
23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
三、双空题
24．（2022·全国·高三专题练习）设函数，若，则________，若方程有三个不同的实根，则实数b的取值范围是________.
25．（2022·全国·高三专题练习）已知函数若，则______；若关于的方程有两个不同零点，则实数的取值范围是______.
四、填空题
26．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则______.
27．（2022·全国·高三专题练习）已知函数对于任意的实数，满足，且恒大于，若，则____．
28．（2022·上海·高三专题练习）已知函数，分别由下表给出
则的值为________________；满足的的值是______________．
29．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若，则________．
30．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域是_________．
31．（2022·全国·高三专题练习）已知是一次函数，且满足，求 _____．
32．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的解析式为_______
33．（2022·全国·高三专题练习）设函数f(x)对x≠0的一切实数都有f(x)＋2f()＝3x，则f(x)＝_________.
34．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的解析式是________．
35．（2022·全国·高三专题练习）设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为_____________．
36．（2022·全国·高三专题练习）已知，且，则的值为_________．
37．（2022·全国·高三专题练习）设函数，则使得成立的的取值范围是_______________.
38．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是___.
五、解答题
39．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的值域
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
（9）；
（10）.
40．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知是二次函数且，，求；
（2）已知，求.
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