新高考数学二轮复习提分练习19 圆锥曲线经典难题之一类定点、定值问题的通性通法研究（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习提分练习19 圆锥曲线经典难题之一类定点、定值问题的通性通法研究（2份，原卷版+解析版），共12页。
1、直线与圆锥曲线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；
④根据直线过定点的求解方法可求得结果.
2、定比点差法
3、非对称韦达与对称韦达
4、先猜后证
5、硬解坐标
【典型例题】
例1．（2023·江西赣州·一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，满足，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)点，点A，B在椭圆上，点N在直线：，满足，，试问是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
例2．（2023·河北邯郸·高三统考期末）已知椭圆的焦距为2且过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线E：的离心率为2，左、右焦点分别为，点为双曲线E右支上异于其顶点的动点，过点A作圆C：的一条切线AM，切点为M，且．
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)设直线与双曲线左支交于点B，双曲线的右顶点为，直线 AD， BD分别与圆C相交，交点分别为异于点D的点P，Q．判断弦PQ是否过定点，如果过定点，求出定点，如果不过定点，说明理由．
例4．（2023·山西·统考一模）双曲线的左、右顶点分别为，，焦点到渐近线的距离为，且过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于，两点，且，证明直线过定点.
例5．（2023·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）已知椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为，且，以为圆心，为半径的圆经过点.
(1)求的方程；
(2)过点且斜率为的直线交椭圆于，
（ⅰ）设点在第一象限，且直线与交于.若，求的值；
（ⅱ）连接交圆于点，射线上存在一点，且为定值，已知点在定直线上，求所在定直线方程.
例6．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知椭圆（a＞b＞0），左顶点为A，上顶点为B，且，过右焦点F作直线l，当直线l过点B时，斜率为．
(1)求C的方程；
(2)若l交C于P，Q两点，在l上存在一点M，且，则在平面内是否存在两个定点，使得点M到这两个定点的距离之和为定值？若存在，求出这两个定点及定值；若不存在，请说明理由．
例7．（2023·河南郑州·高三校联考期末）已知椭圆的离心率为，过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆交于两点，且．
(1)求椭圆的方程．
(2)若过点的直线与椭圆交于两点，点的坐标为，且轴，探究：直线是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．
例8．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求双曲线的方程；
(2)若双曲线的右顶点为，直线与双曲线相交于两点不是左右顶点），且.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
【过关测试】
1．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知一动点C与定点的距离与C到定直线l：的距离之比为常数.
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)过点F做一条不垂直于y轴的直线，与动点C的轨迹交于M，N两点，在直线l上有一点，记直线PM，PF，PN的斜率分别为，，，证明：为定值.
2．（2023·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）已知圆和定点P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点M，设动点M的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的方程；
(2)设，过的直线l交曲线E于M，N两点(点M在x轴上方)，设直线AM与BN的斜率分别为，求证：为定值．
3．（2023春·广东汕头·高三统考开学考试）设椭圆的左､右顶点分别为，上顶点为，点是椭圆上异于顶点的动点，已知椭圆的右焦点为，且经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与直线交于点，直线与轴交于点，求证：直线恒过某定点，并求出该定点.
4．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）如图，椭圆和圆，已知圆将椭圆的长轴三等分，椭圆右焦点到右顶点的距离为，椭圆的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆相交于点A，B．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线分别与椭圆相交于另一个交点为点P，M．求证：直线经过定点．
5．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，M为双曲线E上异于A、B的任意一点，直线MA、MB斜率乘积为，焦距为．
(1)求双曲线E的方程；
(2)P为直线上的动点，若直线PA与E的另一交点为C，直线PB与E的另一交点为D．证明：直线CD过定点．
6．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知椭圆的右焦点为F，P，Q分别为右顶点和上顶点，O为坐标原点，（e为椭圆的离心率），的面积为．
(1)求E的方程；
(2)设四边形是椭圆E的内接四边形，直线与的倾斜角互补，且交于点，求证：直线与交于定点．
7．（2023·江苏扬州·高三校联考期末）设椭圆的左焦点为，右顶点为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点作两条斜率分别为，的动直线，分别交椭圆于点A、B、C、D，点M、N分别为线段、中点，若，试判断直线是否经过定点，并说明理由．
8．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆，离心率，P为椭圆上一点，分别为椭圆的左、右焦点，若的周长为，
(1)求椭圆E的方程；
(2)若，M，N为椭圆上不同的两点，且，证明椭圆上存在定点Q使得四边形为平行四边形．
9．（2023·贵州铜仁·高三统考期末）平面内定点，定直线，P为平面内一动点，作，垂足为Q，且．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)过点F与坐标轴不垂直的直线交动点P的轨迹于A，B两点，线段的垂直平分线交x轴于点R，试判断是否为定值．
10．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）已知点在椭圆上，的长轴长为，直线与交于两点，直线的斜率之积为.
(1)求证：为定值；
(2)若直线与轴交于点，求的值.
11．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知点、，点满足，记的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)设点在直线上，过的两条直线分别交于两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和，并求出该定值．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设D为双曲线C的右顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以为直径的圆经过点D，且于点G，证明：存在定点H，使为定值．
13．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知双曲线的右焦点为F，双曲线C上一点关于原点的对称点为，满足.
(1)求的方程；
(2)直线与坐标轴不垂直，且不过点及点，设与交于、两点，点关于原点的对称点为，若，证明：直线的斜率为定值.
14．（2023·山西长治·高三校联考阶段练习）已知双曲线，其右焦点为，焦距为4，直线过点，且当直线的倾斜角为时，恰好与双曲线有一个交点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线交双曲线于两点，交轴于点，且满足，判断是否为常数，并给出理由.
15．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于A，B两点，若AB中点的横坐标为．
(1)求双曲线的方程；
(2)设，为双曲线实轴的两个端点，若过F的直线l与双曲线C交于M，N两点，试探究直线与直线的交点Q是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
16．（2023·浙江·高三校联考期末）已知抛物线的焦点为F，斜率为的直线过点P，交C于A，B两点，且当时，．
(1)求C的方程；
(2)设C在A，B处的切线交于点Q，证明．
17．（2023·重庆·高三统考学业考试）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于M，N两点，交y轴于P点，点N位于点M和点P之间.
(1)若，求直线l的斜率；
(2)若，证明：为定值.
18．（2023·江苏南通·高三统考期末）已知抛物线经过点.
(1)求抛物线的方程；
(2)动直线与抛物线交于不同的两点，，是抛物线上异于，的一点，记，的斜率分别为，，为非零的常数.
从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①点坐标为；②；③直线经过点.
19．（2023·湖北武汉·高三统考期末）如图，在平面直角坐标系，已知，分别：的左，右焦点.设点为线段的中点.
(1)若为长轴的三等分点，求椭圆方程；
(2)直线（不与轴重合）过点且与椭圆交于，两点，延长，与椭圆交于，两点，设直线，的斜率存在且分别为，，请将表示成关于的函数，即，求的值域.
20．（2023·江苏·高三统考期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作直线（与轴不重合）交于两点，且当为的上顶点时，的周长为8，面积为
(1)求的方程；
(2)若是的右顶点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.