新高考数学二轮复习提分练习18 圆锥曲线经典难题之一类交点轨迹问题的通性通法研究（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习提分练习18 圆锥曲线经典难题之一类交点轨迹问题的通性通法研究（2份，原卷版+解析版），共19页。
交点轨迹问题的常用技巧：
1、两直线方程相乘消元
2、两直线方程相除，相当于两斜率比问题，平方转韦达结构可消元
3、定比点差法
4、同构
5、硬解坐标
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线过点，离心率为，直线交轴于点，过点作直线交双曲线于两点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若是线段的中点，求直线的方程；
(3)设是直线上关于轴对称的两点，直线与的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.
【解析】(1)由题意得：，，.
解得，，所以双曲线的标准方程为.
(2)方法1：设，则
依题意有解得，
所以直线的方程为或.
方法2：设直线的方程为，与双曲线的方程联立得：
.
当时
设，，得，.
又因为，所以，，解得.
此时，所以直线MN的方程为或.
(3)方法1：设，，
直线PM的方程为，直线ON的方程，
联立两方程，可得①
结合（2）方法2，可得
代入①得
故.
所以直线PM与QN的交点在定直线上.
方法2：设直线MN的方程为，与双曲线的方程联立得：
.
设，，，，由根与系数的关系，得
，.
：，：，联立两方程，可得：
，
解得
所以直线PM与QN的交点在定直线上.
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．
(1)求抛物线的方程；
(2)设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点；
(3)过（2）中的点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，，求，交点满足的轨迹方程．
【解析】(1)设抛物线的方程为，
∵抛物线的焦点到直线的距离为，
∴，解得或（舍去，
∴，，
∴抛物线的方程为．
(2)设，，设切点为，曲线，，
则切线的斜率为，化简得，
设，，，则，是以上方程的两根，
则，，
，
直线的方程为：，整理得，
∵切线的方程为，整理得，且点，在切线上，
∴，即直线的方程为：，化简得，
又∵，∴，
故直线过定点．
(3)设，，，
过的切线，过的切线，
则交点，
设过点的直线为，
联立，得，
∴，，
∴，
∴．
∴点满足的轨迹方程为．
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于，两点，且为坐标原点），于点．试求点的轨迹方程．
【解析】(1)由题意知：，，，解得，．
故椭圆的方程为．
(2)设，，，，
（i）若轴，可设，，因，则，．由，得，即；
若轴，可设，同理可得；
（ii）当直线的斜率存在且不为0时，设，
由，消去得：，
则，
，
由，知．故，
即（记为①．
由，可知直线的方程为，
联立方程组，得（记为②，
将②代入①，化简得．
综合（1）、（2），可知点的轨迹方程为．
例4．（2023·全国·高三开学考试）椭圆：的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)，分别为椭圆的左､右焦点，动点A，B在椭圆上（不含长轴端点），且关于y轴对称，P为椭圆上异于A，B的动点，直线PA与PB分别交y轴于M，N两点求证：直线与的交点在定圆上.
【解析】(1)解：由得，由，所以，
把点代入方程得，所以，
所以椭圆的方程为.
(2)解：设，，，
由方程：，得，
由BP方程：，得，
∴的方程为，①
的方程为，②
由①②相乘得，③
由，在椭圆上可得，，
代入③式可得：，
即直线与的交点在定圆上.
例5．（【全国市级联考】山西省晋中市2023届高三1月高考适应性调研考试数学（理）试题）已知抛物线： （）的焦点是椭圆： （）的右焦点，且两曲线有公共点
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆的左、右顶点分别为， ，若过点且斜率不为零的直线与椭圆交于， 两点，已知直线与相较于点，试判断点是否在一定直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.
【解析】试题分析：（1）由条件易得：，从而得到椭圆的方程；
（2）先由特殊位置定出，猜想点在直线上，由条件可得直线的斜率存在， 设直线，联立方程，消得：有两个不等的实根，利用韦达定理转化条件即可.
试题解析：
（1）将代入抛物线得
∴抛物线的焦点为，则椭圆中，
又点在椭圆上，
∴， 解得，
椭圆的方程为
（2）方法一
当点为椭圆的上顶点时，直线的方程为，此时点，，则直线和直线，联立，解得，
当点为椭圆的下顶点时，由对称性知： .
猜想点在直线上，证明如下：
由条件可得直线的斜率存在， 设直线，
联立方程，
消得：有两个不等的实根，
，
设，则，
则直线与直线
联立两直线方程得（其中为点横坐标）
将代入上述方程中可得，
即，
即证
将代入上式可得
，此式成立
∴点在定直线上.
方法二
由条件可得直线的斜率存在， 设直线
联立方程，
消得：有两个不等的实根，
，
设，则，
，
由，，三点共线，有：
由，，三点共线，有：
上两式相比得
，
解得
∴点在定直线上．
例6．（安徽省淮北市树人高级中学、萧县实验中学2022-2023学年高三上学期期中联考数学试题）已知椭圆：的左右顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线：与椭圆交于，两点，已知直线与相交于点，证明：点在定直线上，并求出此定直线的方程．
【解析】解:
(1)因为,所以c=1,
由题意知:,解得,
则椭圆的方程为:.
(2)由椭圆对称性知G在上,假设直线 l过椭圆上顶点,则,
则,而,
其交点,
所以G在定直线x=1上;
当M不在椭圆顶点时,设,
由,整理得:,
则,
当x=1时,,
得,
得,
得,
上式显然成立,
所以G在定直线x=1上.
例7．（【全国百强校】黑龙江省双鸭山市第一中学2022-2023学年高三4月月考数学（理）试题）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，且经过点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）动直线与椭圆C相交于点M，N，椭圆C的左右顶点为,直线与相交于点，证明点在定直线上，并求出定直线的方程.
【解析】(1)离心率为，即，而所以 ①，椭圆经过点.
所以②，由①②联立方程组，解得，
所以椭圆的方程为
(2)由椭圆的对称性可知点G一定在上，假设直线过椭圆的上顶点，则M，
，显然直线 过定点（4，0）所以，椭圆方程与直线方程联立，求出点N的坐标为

两方程联立，解得交点，所以G在定直线上．
当M不是椭圆顶点时，设
椭圆方程与直线联立消去y，整理得
所以有

当时，把 代入整理得：
所以有显然成立，
所以G在定直线上．
例8．（山西省晋城市2023届高三上学期第一次模拟考试数学试题）已知点在椭圆上，为椭圆的右焦点，、分别为椭圆的左、右两个顶点.若过点且斜率不为的直线与椭圆交于、两点，且线段、的斜率之积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线与相交于点，证明：、、三点共线.
【解析】(1)设点，其中，则，可得，
易知点、，，
所以，，解得，，因此，椭圆的方程为.
(2)易知点、、，设点、，
设直线的方程为，其中，
联立，可得，
，解得或，
由韦达定理可得，，
，直线的方程为，
，直线的方程为，
联立可得，
解得，即点的横坐标为，因此，、、三点共线.
例9．（广东省东莞市2022-2023学年度第一学期期末教学质量检查高三数学试题）已知椭圆的两个焦点分别是，点在椭圆上，且，记椭圆的左右顶点分别为，上顶点为，的面积为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）不过点的直线与椭圆相交于两点，记直线的斜率分别为，且．试问：直线是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【解析】(1)设椭圆C的长半轴为a．依题意， 得，
由的面积为2得得
所以，椭圆C的方程是
(2)将直线的方程代入，消去，
整理得
（*）
设则．，
由题意，
将代入上式并化简得
整理得
将式代入
由直线不过点B得，从而化简后：
所以直线过定点
【过关测试】
1．（四川省2023届高三大数据精准教学第二次统一监测数学试题）在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为，，P是坐标平面内的动点，且直线，的斜率之积等于.设点P的轨迹为C.
（1）求轨迹C的方程；
（2）某同学对轨迹C的性质进行探究后发现：若过点且倾斜角不为0的直线与轨迹C相交于M，N两点，则直线，的交点Q在一条定直线上.此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由.
【解析】（1）设点P的坐标为，
由，得，即.
故轨迹C的方程为：
（2）根据题意，可设直线的方程为：，
由，消去x并整理得
其中，.
设，，则，.
因直线的倾斜角不为0，故，不等于（，不为0），
从而可设直线的方程为①，
直线的方程为②，
所以，直线，的交点的坐标满足：
而
，
因此，，即点Q在直线上.
所以，探究发现的结论是正确的.
2．（浙江省杭州第二中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知圆以及圆.
(1)求过点（1，2），并经过圆M与圆C的交点的圆的标准方程；
(2)设，过点D作斜率非0的直线，交圆M于P、Q两点.
（i）过点D作与直线l1垂直的直线l2，交圆M于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；
（ii）设B(6，0)，过原点O的直线OP与BQ相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.
【解析】（1）联立两圆方程，可得，消去整理可得：，解得，则，
则所求圆所过点分别为，，，
由的中垂线为轴，则可设圆心，
由，则，解得，
故所求圆的半径，故圆的标准方程为.
（2）（i）由，则圆心，半径，
由直线过点D且斜率非0，则可设，
即点到直线的距离，故，
由，且直线过点D，则可设，
即点到直线的距离，故，
故，
当且仅当，即时，取等号，
故四边形EPFQ的面积为S最大值为.
（ii）设，设直线，
联立，消得，则，即，
直线的方程为，直线的直线方程为，
联立，消得，
解得，
由，则，即，
N在定直线.
3．（江苏省南通市海安高级中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积．即椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为坐标原点，焦点，均在x轴上，椭圆的面积为，且短轴长为．椭圆与椭圆有相同的离心率．
（1）求m的值与椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的左顶点A作直线l，交椭圆于另一点B，交椭圆于P，Q两点（点P在A，Q之间）．
①求面积的最大值（O为坐标原点）；
②设PQ的中点为M，椭圆的右顶点为C，直线OM与直线BC的交点为N，试探究点N是否在某一条定直线上运动，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由题意可得
解得，
因为椭圆的焦点在x轴上，所以的标准方程为
椭圆的离心率为，椭圆得焦点在y轴上，则
则
（2）①当直线AB与x轴重合时，O，P，Q三点共线，不符合题意
故设直线AB的方程为：且
设，
由（1）知椭圆的方程为：
联立方程消去x得：
由韦达定理得：；
又
令
此时
∴面积的最大值为：
②由①知：，则
∴
∴直线OM的斜率：
则直线OM的方程为：
联立方程消去x得：，
解得：
∴
∴
则直线BC的方程为：
联立直线OM和BC的方程
解得：
∴点N在定值直线运动.
4．（湖南省部分校教育联盟2022-2023学年高三上学期入学摸底测试数学试题）设是双曲线的左､右两个焦点，为坐标原点，若点在双曲线的右支上，且的面积为3.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若双曲线的两顶点分别为，过点的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由.
【解析】（1）由得，且
所以

即解得
又,
故双曲线的渐近线方程为.
（2）由（1）可知双曲线的方程为.
（i）当直线的斜率不存在时，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得，
（ii）当直线的斜率存在时，易得直线l不和渐近线平行，且斜率不为0，设直线的方程为，
联立得
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，两边平方得，
又满足，
.
，
，或，（舍去.
综上，在定直线上，且定直线方程为.
5．（上海市格致中学2023届高三上学期期中数学试题）椭圆：的焦点，是等轴双曲线：的顶点，若椭圆与双曲线的一个交点是P，的周长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点M是双曲线上任意不同于其顶点的动点，设直线、的斜率分别为，，求证，的乘积为定值；
(3)过点任作一动直线l交椭圆与A，B两点，记，若在直线AB上取一点R，使得，试判断当直线l运动是，点R是否在某一定直线上运动？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由.
【解析】（1）有由题可知：，由的周长为
所以，即
所以
所以椭圆的方程为
（2）设，由
所以
所以，又，则
所以
（3）依题可知：直线的斜率存在，设方程为，
所以
所以
由，设
由
所以
所以
6．（黑龙江省齐齐哈尔市2022-2023学年高三上学期期末考试数学（理）试题）已知椭圆的离心率，为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，的最大值为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2），分别为椭圆的左、右顶点，过点作直线交椭圆于，两点，直线、交于点，试探究点是否在某条定直线上，若是，请求出该定直线方程，若不是，请说明理由.
【解析】（1）由题意得：，，则，，，
椭圆的标准方程为.
（2）由题知，，，，设，，
设直线的方程为，将其与联立，
消去并整理得，
由韦达定理得①，②，
联立①②得，
设直线方程为③，
直线方程为④，
联立③④得
，
则，解得，即点在定直线上.
7．（湖北省云学新高考联盟学校2022-2023学年高三上学期10月联考数学试题）在平面直角坐标系中，圆M是以两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线对称．
(1)求圆N的标准方程；
(2)设，过点C作直线，交圆N于P、Q两点，P、Q不在y轴上．
①过点C作与直线垂直的直线，交圆N于两点，记四边形的面积为S，求S的最大值；
②设直线,相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
【解析】（1）由题意得：为线段的中点，故圆M的圆心坐标为，半径
圆M的方程为：，
因为圆N关于圆M关于直线对称，所以圆N的圆心为
所以圆N的标准方程为：.
（2）设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，所以，
（ⅰ）若，则直线斜率不存在，则，,则，
若，则直线的方程为，即，则圆心到直线的距离，
所以，则，
当且仅当，即时，等号成立.
综上所述，因为，所以S的最大值为7；
（ⅱ）设，联立方程组得：
消y得，则，
直线的方程为，直线的方程为，联立解得
则，
所以，所以点G在定直线上.
8．（江苏省南京市第九中学2022-2023学年高三上学期期末模拟数学试题）在平面直角坐标系中，圆M是以，两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线对称.
(1)求圆N的标准方程；
(2)设，，过点C作直线，交圆N于P、Q两点，P、Q不在y轴上.
（i）过点C作与直线垂直的直线，交圆N于E、F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；
（ii）设直线OP，DQ相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.
【解析】（1）由题意得：圆M的半径为，
圆心M即AB的中点为，
圆M的方程为：，
因为圆N与圆M关于直线对称，
所以圆N的圆心，半径为，
所以圆N的标准方程为：；
（2）依题意可知，直线的斜率存在，
设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
（i）若，则直线斜率不存在，则，，
则，
若，则直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
则
，
当且仅当即时取等号，
综上所述，因为，所以S的最大值为；
（ii）设，，
联立，消去y得，恒成立，
则，，
直线OP的方程为，
直线DQ的方程为，
联立，解得，
因为，，所以，所以，
则
，
所以，
所以点G在定直线上.
9．（【市级联考】江苏省盐城市2018~2019学年高三第二学期期末考试数学（文理合卷）试题）如图，已知椭圆与椭圆的离心率相同．
（1）求的值；
（2）过椭圆的左顶点作直线，交椭圆于另一点，交椭圆于两点（点在之间）．①求面积的最大值（为坐标原点）；②设的中点为，椭圆的右顶点为，直线与直线的交点为，试探究点是否在某一条定直线上运动，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．
【解析】(1) 由椭圆方程知：，
离心率：
又椭圆中，，
，又，解得：
（2）①当直线与轴重合时，三点共线，不符合题意
故设直线的方程为：且
设，
由（1）知椭圆的方程为：
联立方程消去得：
即：
解得：，，
又
令
，此时
面积的最大值为：
②由①知：
直线的斜率：
则直线的方程为：
联立方程消去得：，解得：

则直线的方程为：
联立直线和的方程，解得：
点在定直线上运动
10．（四川省内江市2022-2023学年高三上学期期末考试数学（理）试题）已知圆．设，过点作斜率非的直线，交圆于、两点．
(1)过点作与直线垂直的直线，交圆于两点，记四边形的面积为，求的最大值；
(2)设，过原点的直线与相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
【解析】（1）由圆知，圆心为，半径，
因为直线过点且斜率非0，
所以设直线方程为：，即，
则点到直线的距离为：，
所以，
由，且直线过点，
所以设直线方程为：，即，
则点到直线的距离为：，
所以，
故
，
当且仅当时取等号，
所以四边形的面积的最大值为17.
（2）点在定直线上.
证明：设，直线过点，
则设直线方程为：，
联立，消去整理得：
，
，
所以，
由，
所以直线的方程为：，
，
所以直线的方程为：，
因为直线与直线交于点，
所以联立，
所以
，
所以，
所以点在定直线上.
11．（一题打天下之椭圆与方程（39问））已知①如图，长为，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过两点，
②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否为椭圆，若是，求出椭圆方程，
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，若是椭圆的左右顶点，过点的动直线交椭圆与两点，试探究直线与的交点是否在一定直线上，若在，请求出该直线方程，若不在，请说明理由.
【解析】（1）若选①，可得，所以，
令，可得，由可得，
所以椭圆的标准方程为，
若选②，如图所示，圆的半径为，
易知，所以，所以，
所以，
所以点轨迹为以，为焦点的椭圆，
，所以，
所以椭圆方程为，所以不是椭圆；
（2）当斜率为时，直线与都和轴重合，
当斜率不为时，设直线方程为，
代入椭圆方程可得，
设，
有，
，，
所以直线方程为，
直线方程为，
联立两直线方程可得：
，
所以，解得，
故直线与的交点在定直线上.
12．（【全国百强校】河北省邢台市育才中学2023届高三上学期第三次月考数学试题）已知分别是焦距为的椭圆的左、右顶点，为椭圆上非顶点的点，直线的斜率分别为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线（与轴不重合）过点且与椭圆交于两点，直线与交于点，试求点的轨迹是否是垂直轴的直线，若是，则求出点的轨迹方程，若不是，请说明理由.
【解析】试题分析：
(1)由题意可求得，则椭圆的方程为.
(2)由题意分类讨论直线斜率存在和斜率不存在两种情况可得点的轨迹方程为.
试题解析：
（1）设为椭圆上非顶点的点，，又
，即，
，故椭圆的方程为.
（2）当过点直线斜率不存在时，不妨设，直线的方程是，直线的方程是，交点为.若，由对称性可知交点为.
点在直线上，
当直线斜率存在时，设的方程为，
由得，
记，则.
的方程是的方程是，
由得，
即
.
综上所述，点的轨迹方程为.
13．（广东省新高考2023届高三下学期开学调研数学试题）已知两点的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)过点的直线与点的轨迹交于，两点，试探究直线与的交点是否在某条定直线上，若是求出该定直线方程，若不是请说明理由．
【解析】（1）设，由题意可知，
即，化简整理，得，
所以点的轨迹方程为.
（2）由题意可设的方程为，
联立，消整理得，
设，，则，即，
由韦达定理有，
又直线的方程为，直线的方程为，
联立，
解得
，
解得，
所以存在定直线，其方程为．
14．（2021年全国高中名校名师原创预测卷数学（第四模拟））已知椭圆：（）的离心率为，上、下顶点分别为，，直线经过点且与椭圆交于，两点，当时，四边形的面积为．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）若直线，交于点，试判断点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由题意知，当时，易得为的中点，
所以，
又直线过点，所以
此时四边形的面积
又，，
得，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）点在定直线上．
显然直线的斜率存在，由题可设：，，．
将代入，得，
则，，
所以．
由（1）知，，
直线的方程为即． ①
同理求得直线的方程为，即． ②
由①②得，
所以，
所以点在定直线上，且定直线的方程为．
15．（江苏省南京师大附中2022-2023学年高三上学期期中数学试题）在平面直角坐标系xy中，已知椭圆C:=1(a> b>0 )的离心率为，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为
（1）求a，b的值
（2）当过点P(6，0)的动直线1与椭圆C交于不同的点A，B时，在线段AB上取点Q，使得=，问点Q是否总在某条定直线上?若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.
【解析】（1）由已知得，解得，所以；
（2）由（1）得椭圆的方程为C:，
设点的坐标分别为，.
由题设知均不为零，记，则且，又四点共线，从而，于是，，，，从而①，②，又点在椭圆上，所以③，④，
所以①②并结合③，④，得 ，
化简得.即点总在定直线上.
16．（福建省泉州第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题）已知椭圆：的左､右顶点分别为，，离心率为，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程.
(2)若过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，已知直线与相交于点，试判断点是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由.
【解析】（1）依题意可得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设，，直线的方程为：，
联立方程组可得，得到，
，则或
由根与系数的关系得到，，
因为直线：，
直线：，
联立两直线方程得到：，
即
，
即，整理得：，
所以点在定直线上.
17．（四川省成都市锦江区成都市盐道街中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知椭圆的左､右顶点分别为，，左､右焦点分别为，，离心率为，点，为线段的中点.
（1）求椭圆的方程.
（2）若过点且斜率不为0的直线与椭圆的交于，两点，已知直线与相交于点，试判断点是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由.
【解析】（1）点，，
由题意可知，即， ①
又因为椭圆的离心率，即， ②
联立方程①②可得，，则，
所以椭圆的方程为.
（2）根据椭圆的对称性猜测点是与轴平行的直线上.
假设当点为椭圆的上顶点时，直线的方程为，
所以点，
则联立直线和直线可得点，
据此猜想点在直线上，下面对猜想给予证明：
设，，直线的方程为
联立方程可得，，
由韦达定理可得， (*)，
因为直线，，
联立两直线方程得(其中为点的横坐标)
即证：，
即，
即证，
将(*)代入上式可得
，
此式明显成立，原命题得证.
所以点在定直线上上
18．（江西省鹰潭市2023届高三第二次模拟考数学试题）已知椭圆：离心率为，点，分别为椭圆的左、右顶点点，分别为椭圆的左、右焦点.过点任作一条不与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，的周长为8.
（1）求椭圆的方程.
（2）若直线，交于点，试判断点是否存在某条定直线上.若是，求出的值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）由题意知的周长为，
根据椭圆的定义得，
解得，又由离心率，可得，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设直线，
联立方程组，整理得，
可得，，
由直线与，
联立得，
将，代入，可得.
即，即直线与的交点的横坐标为4，
故点在直线上，所以.
19．（重庆市第十一中学校2023届高三上学期12月月考数学试题）已知椭圆：，点、分别为椭圆的左右顶点，点、分别为椭圆的左右焦点，过点任作一条不与y轴垂直的直线与椭圆交于、两点，的周长为8.
（1）求椭圆的方程.
（2）若直线，交于点，试判断点是否在某条定直线点上，若是，求出的值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）由的周长为8得：，即，由、，故，
∴椭圆的方程为.
（2）设：，与椭圆C：，联立得，
由韦达定理得，，
直线：与：，
联立得，将，代入整理得：
，
即，即直线与的交点D的横坐标为4，
故点D在直线上，∴.