新高考数学二轮复习高分突破训练第26讲 圆锥曲线压轴小题（2份，原卷版+解析版）

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1、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：
（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与有关，另一条边为焦距。从而可求解
（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用进行表示，再利用条件列出等式求解
2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：
（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口
（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可
（3）通过一些不等关系得到关于的不等式，进而解出离心率
注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：，双曲线：
典型例题：
47．（2022·四川·模拟预测（文））已知抛物线的焦点为，点F关于直线的对称点为M，过点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，当时，直线PQ的斜率为___________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】
根据抛物线的焦点坐标求出抛物线的方程，利用点关于直线对称的点求出点M的坐标，设直线l的方程为：，，联立抛物线方程，进而利用韦达定理表示出，结合垂直向量的数量积为0列出关于的方程，解方程即可.
【详解】
由题意知，抛物线的焦点F为，所以，
所以抛物线的方程为：，
设关于直线的对称点为，
则直线MF与直线垂直，又，
有，得①，
因为线段MF的中点在直线，
所以，即②，
由①②，解得，所以，
设直线l的方程为：，，
则，，
，消去y，得，
，，
因为，所以，又，
所以
，
解得.
故答案为：
48．（2022·全国·模拟预测）已知A为双曲线的左顶点，F为双曲线C的右焦点，以实轴长为直径的圆交其中一条渐近线于点P（点P在第二象限），PA平行于另一条渐近线，且，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
先利用线线平行和渐近线的关系得到是等边三角形，进而得到，再利用三角形的面积求出，，，再利用余弦定理进行求解.
【详解】
如图，连接PF，交另一条渐近线于点Q，
因为，所以，
所以是等边三角形，所以，
则，即；
又因为，所以，
解得，，，
在中，，，，
由余弦定理，得.
故答案为：.
49．（2022·全国·模拟预测）已知点，分别是双曲线的左、右焦点.为双曲线上一点，且，当时，双曲线的焦点到渐近线的距离是______.
【答案】
【解析】
【分析】
由条件可得，由勾股定理结合条件求出，，由双曲线的定义得出，进一步得出双曲线的方程，从而求出渐近线方程，由点到直线的距离公式得出答案.
【详解】
由得.又因为，
由勾股定理得,解得，，
由双曲线定义得，所以，所以，
所以双曲线的渐近线是，所以焦点到渐近线的距离.
故答案为：
50．（2022·全国·模拟预测）已知是抛物线上一点，点，，则周长的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】
由抛物线的定义将P点到B点（B点即为抛物线的焦点）的距离转化为到抛物线的准线的距离即可求解.
【详解】
解：易知是抛物线的焦点，，周长为，
结合抛物线定义可知的最小值为点到抛物线的准线的距离，即，
所以周长的最小值为．
故答案为：.
51．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的右焦点的直线，与的右支分别交于两点，且，（为坐标原点），则双曲线的离心率为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意易知，设，由双曲线定义可知，，在和中由勾股定理，分别可得，，两式联立化简整理可得，由此即可求出结果.
【详解】
如图，连接，．
因为，所以，
设，
因为，所以．
由双曲线定义可得，即，
由双曲线定义可得，即，
在中，由勾股定理可得，即①，
在中，由勾股定理可得，即②，
由②得，代入①整理得，所以C的离心率为．
故答案为：.
52．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（理））已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且，若双曲线为等轴双曲线，则椭圆的离心率为______．
【答案】
【解析】
【分析】
设，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得 ，再由余弦定理，可得，与的关系，结合离心率公式，可得，的关系，计算可得所求值．
【详解】
设，为第一象限的交点，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，
由椭圆和双曲线的定义可得，解得，
在三角形中，，
由余弦定理可得，，
即有，可得，即为，
由双曲线为等轴双曲线，所以，可得.
故答案为：．
53．（2022·四川·三模（理））已知在直角坐标平面内，两定点，，动点Q满足以FQ为直径的圆与x轴相切．直线FQ与动点Q的轨迹E交于另一点P，当时，直线PQ的斜率为______．
【答案】##
【解析】
【分析】
求得点的轨迹方程，设出直线的方程，结合根与系数关系列方程，化简求得直线的斜率.
【详解】
设，的中点坐标为，
由于动点Q满足以FQ为直径的圆与x轴相切，
所以，整理得点的轨迹方程为.
依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由消去并化简得，，
设，
则，
由于，所以，
即，
，
，
，，解得.
故答案为：
54．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知点F（c，0）为双曲线C： （a＞0，b＞0）的右焦点，点B为双曲线虚轴的一个端点，直线BF与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线C的离心率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
设出，，双曲线的一条渐近线，运用两点的斜率公式和两直线垂直
的条件是斜率之积为，结合双曲线的的关系和离心率公式计算即可得到所求值.
【详解】
由对称性知，选取双曲线C的一条渐近线方程为，
相应直线方程为，知，
从而，即，则
，两边同时除以，得，
因为
所以双曲线的离心率．
故答案为：.
55．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（理））若双曲线的一个焦点F关于其一条渐近线的对称点P在双曲线上，则双曲线的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】
求出焦点关于一条渐近线的对称点P的坐标，代入双曲线方程求解作答.
【详解】
由双曲线的对称性，不妨令F为右焦点，渐近线为，即，令半焦距为c，则，
过F垂直于渐近线的直线方程为：，即，
由解得，即过F垂直于渐近线的直线与该渐近线交于点，
依题意，点P的坐标为，而点P在双曲线上，则有，
即，而，于是得，整理得：，而，解得，
所以双曲线的离心率为.
故答案为：
过关练习：
1．（2022·全国·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆.设点满足：圆M上存在点P，使，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
连接MT，过点T作圆M的一条切线，与圆相切于点Q，连接MQ，分析可得，从而可求出结果.
【详解】
由题意知圆心，半径，连接MT，过点T作圆M的一条切线，与圆相切于点Q，连接MQ，
根据圆的切线性质，有，反之，若，则圆M上存在一点P使得，因此圆M上存在点P，使得，等价于，由，得，解得，因此，实数t的取值范围是，
故选：A.
2．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点，当满足时，过点作的平行线l交双曲线于A，B两点，线段AB中点为Q，则直线PQ的斜率为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
由余弦定理求得，从而得，求出后可得值，写出直线方程，与双曲线方程联立，消元后应用韦达定理求得中点的坐标，可得直线斜率．
【详解】
由可得，得，所以，
由双曲线对称性知，，在中，，所以，即，故，
直线l的方程为，与双曲线方程联立可得，
，，从而得点，，
故选：A.
3．（2022·全国·模拟预测）设F为抛物线焦点，是上的一点，，，则满足条件的点的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】D
【解析】
【分析】
过点作抛物线准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义结合题目条件可得，从而写出直线的方程，联立方程组得一元二次方程，由判别式小于零可知直线与抛物线没有交点，所以没有满足条件的点.
【详解】
过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则．又，∴，∴，∴直线的方程为，联立方程组，化简可得，由，可得直线与抛物线没有交点，由对称性可得与抛物线没有交点，故满足条件的点不存在.
故选：D．
【点睛】
解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
4．（2022·安徽·高三开学考试（理））已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点，，，若，满足，，且，则（ ）．
A．6B．4C．3D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
由题设直线，联立抛物线方程，利用韦达定理及条件可得，即得.
【详解】
设直线，
联立，则，
则，．
由，，得P，Q分别为线段AF，BF的中点，
又，满足，，且，
∴，
解得．
故选：A．
5．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知直线与圆相交于，两点，则的值为（ ）
A．B．16C．D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
分别求出A，B坐标，利用向量的坐标运算直接求出.
【详解】
因为直线与圆相交于A，B两点，
所以，解得：.
所以.
故选：C.
6．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（理））已知点，圆上的两个不同的点、满足，则的最大值为（ ）
A．12B．18C．60D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定条件求出弦AB中点的轨迹，再求出这个轨迹上的点到直线的距离最大值即可推理计算作答.
【详解】
因，则点A，P，B共线，即过点P的直线AB与圆交于不同的两点A，B，
表示点、到直线的距离和的5倍，
设弦AB中点，则有
于是得：，
圆的圆心，显然点P在此圆内，即过点P的任意直线与圆都相交，
当点M与点P，Q都不重合时，由圆的性质知，，有，
当点M与点P，Q之一重合时，也成立，于是得，
又，从而得，即点M的轨迹是以原点为圆心的单位圆，
圆的圆心到直线的距离，
则圆上的点到直线的距离的最大值为，
所以的最大值为60.
故选：C
7．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知双曲线C：的右顶点为A，，若在双曲线C的渐近线上存在点M，使得∠AMB＝90°，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出点坐标，以AB为直径的圆D，问题转化为双曲线C的渐近线与圆D有交点，利用点到直线距离得到不等关系，求出离心率的取值范围.
【详解】
依题意，A（a，0），B（5a，0），则以AB为直径的圆D：；而，故双曲线C的渐近线与圆D有交点，故圆心D（3a，0）到直线的距离，则，故，故，则，故双曲线C的离心率的取值为，
故选：B.
8．（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）圆C：上恰好存在2个点，它到直线的距离为1，则R的一个取值可能为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
先求得符合题意条件的R的取值范围，即可做出判断.
【详解】
圆C：的圆心，半径R
点C到直线的距离为
圆C上恰好存在2个点到直线的距离为1，则
故选：B
9．（2022·全国·高三专题练习）广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域．其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数，则当时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆、符号函数的知识对选项逐一分析，从而确定正确选项.
【详解】
对于A选项，当时，，
即表示圆内部及边界，显然不满足，故A错误；
对于C选项，当时，，
即表示圆外部及边界，满足；
当时，，
即表示圆的内部及边界，满足，故C正确；
对于B选项，当时，，
即表示圆内部及边界，显然不满足，故B错误；
对于D选项，当时，，
即表示圆外部及边界，显然不满足，故D错误.
故选：C
10．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（理））已知抛物线，点P为直线上的任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则点到直线AB的距离的最大值为（ ）
A．1B．4C．5D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得直线AB的方程，再去求点到直线AB的距离的最大值即可解决.
【详解】
设，切点，
由题意知在点A处的切线斜率存在且不为0，设在点A处切线斜率为
在点A处切线方程可设为
由，可得
由，可得
则在点A处切线方程可化为，即
由题意知在点B处的切线斜率存在且不为0，设在点B处切线斜率为
在点B处切线方程可设为
由，可得
由，可得
则在点B处切线方程可化为，即
又两条切线均过点P，则，
则直线AB的方程为，即
则直线AB恒过定点
点到直线AB的距离的最大值即为点到的距离
故点到直线AB的距离的最大值为.
故选：D
11．（2022·山东临沂·一模）已知，分别为双曲线C：（，）的左，右焦点，点P在第二象限内，且满足，，线段与双曲线C交于点Q，若.则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
取的中点，由已知得，由三线合一得△是等腰三角形，表示出各边长，再由余弦定理表示，再由双曲线的定义表示，在△中由余弦定理列式，得关于的等式关系，即可求得离心率.
【详解】
取线段的中点，连接，
因为，所以，
所以△是等腰三角形，且，
在中，，
连接，又，点在双曲线上，由，则，
在△中，，整理得，
所以离心率.
故选：C
12．（2022·河南安阳·二模（文））抛物线具有以下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴.该性质在实际生产中应用非常广泛.如图所示，从抛物线的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴的夹角均为60°，且两条反射光线和之间的距离为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
写出直线AF、BF的方程，求出，，由，解出p.
【详解】
抛物线的焦点.
由,所以直线AF的方程为，即，
联立，得，解得：或，可得：.
同理直线BF的方程为，即，
联立，解得：.
所以，解得：.
故选：B
13．（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（理））已知矩形ABCD中，，点M，N分别为线段AB，CD的中点，现将沿DM翻转，直到与△首次重合，则此过程中，线段AC的中点的运动轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，其半径为，分析出线段的中点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，其半径为，即可求出轨迹的长度.
【详解】
由已知得:
四边形是正方形，沿DM翻转的过程中，点的轨迹为
以为圆心，为半径的半圆，其半径为，
设线段的中点,线段的中点,则点的轨迹为
以为圆心，为半径的半圆，其半径为，
线段AC的中点的运动轨迹长度为.
故选：.
14．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线：上一点到其焦点的距离为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用抛物线定义结合已知条件列出方程组，求解方程组作答.
【详解】
抛物线：的焦点，准线，
由点到的距离为得：，即，
由点在抛物线上得：，因此有，整理得，而，解得，
所以.
故选：C
15．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知抛物线的焦点为F，过F作与x轴平行的直线交抛物线于A，B（B在第一象限）两点，且上存在点M，满足，则r的最小值为（ ）
A．2B．6C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出点A,B的坐标，根据得到点M的轨迹方程，然后结合点M满足圆的方程求出答案.
【详解】
易得，将代入得，，．
设，则由得，，故，故点M为圆与曲线（）的公共点，则，故，即．
故选：C．
16．（2022·河南·模拟预测（文））对于曲线（且），以下说法正确的是（ ）
A．曲线是椭圆B．曲线是双曲线
C．曲线的焦点坐标是D．曲线的焦点坐标是
【答案】D
【解析】
【分析】
对m进行分类讨论，分为双曲线和椭圆，即可判断.
【详解】
当时，曲线为双曲线，，故焦点坐标为；
当时，曲线为椭圆，，焦点坐标为.
故选：D.
17．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高三期末（理））已知双曲线的左焦点为F，直线与C交于A，B两点（其中点A位于第一象限），，O为坐标原点，且的面积为，则C的离心率是（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知条件结合双曲线的对称性，知四边形为矩形，再结合双曲线的定义
和直角三角形的勾股定理及双曲线的离心率公式即可求解.
【详解】
如图，设双曲线的右焦点为，连接，因为，所以，
由图形的对称性知为矩形，则有，所以，
在中，，解得．
故选: C.
18．（2022·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（理））过点作曲线C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设出切点坐标，利用导函数求出切线斜率，进而表达出切线方程，将代入，结合，从而求出直线AB的方程.
【详解】
设，，，所以在A点处的切线方程为，将代入得，因为，化简得，同理可得，所以直线AB的方程为，
故选：A．
19．（2022·全国·高三专题练习（理）（文））设F1，F2是双曲线C：(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为（ ）
A．B．2
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用点到直线距离公式求出|F2P|＝b，进而求出|OP|＝a，利用勾股定理求出，从而得到a与b的关系，从而求出离心率.
【详解】
如图，过点F1向OP的反向延长线作垂线，垂足为P′，连接P′F2，由题意可知，四边形PF1P′F2为平行四边形，且△PP′F2是直角三角形，渐近线方程为：，
由点到直线距离公式得：，因为|F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a.
又|PF1|＝a＝|F2P′|，|PP′|＝2a，
所以，所以c＝，
所以.
故选：C.
20．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知是椭圆上的任意一点，过原点作圆的两条切线，设这两条切线与椭圆交于，两点，则，的斜率之积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设过原点作圆两条切线方程为，切线，的斜率分别记为，，
其中，是方程的两根，计算可得结论.
【详解】
由圆：，得圆心为，半径为.
设过原点作圆两条切线方程为，
由题意可知，圆心为到两条切线的距离等于，则
即，
设切线，的斜率分别记为，，则
由已知得，就是，的斜率,
因为是椭圆上的任意一点，
所以，即.
所以，是方程的两个实数根，
所以.
故选：B.
21．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））已知椭圆的上焦点为，过原点的直线交于点，且，若，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由椭圆的对称性，取椭圆的下焦点，由题意可得四边形为矩形，求出，用表示的代数式，由椭圆的定义可得与的关系，由角的范围求出三角函数的范围，进而求出离心率的范围，即可得到结果．
【详解】
因为直线过原点，由椭圆及直线的对称性可得，
所以，
设下焦点，连接，，又因为，即 且互相平分，
可得四边形为矩形，
即有，
在中，，
，
由椭圆的定义可得，
所以，
所以离心率，
因为，，所以，，
所以，,
所以，
故选：C．
22．（2022·云南昭通·高三期末（理））已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么过点P作的垂线，垂足为M，与距离之和的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据点P到距离等于到准线的距离加1，结合抛物线的定义以及图象，得出与距离之和的最小值.
【详解】
抛物线的焦点为，圆的圆心为，半径，如图所示，根据点P到距离等于到准线的距离加1，由抛物线的定义可知，点P到准线的距离等于到焦点的距离，进而推断当P，Q，F三点共线时，点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值为，故与距离的最小值为.
故选：D．
23．（2022·江西上饶·高三阶段练习（理））当曲线与直线有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
画出所表示的半圆，结合直线所过的定点，应用数形结合法判断直线与半圆有两个相异的交点，直线的位置情况，即可求k的范围.
【详解】
由题设，表示圆的半圆，又直线过定点，
由下图知：k的取值范围在直线与半圆左侧相切时斜率(不含)、直线过时斜率之间.
当在半圆左侧相切时到直线距离等于半径，即，可得.
当直线过时，；
综上，要使直线与半圆有两个相异的交点，k的取值范围是.
故选：C
24．（2022·黑龙江·哈师大附中高三期末（理））已知抛物线 的焦点 ，过其准线与 轴的交点 作直线 ，若直线 与抛物线相切于点，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线的方程求出的坐标，设切点的的坐标，求出切线的斜率，求出切线的方程与抛物线联立，
由判别式等于求出的横坐标与焦点的横坐标相同，纵坐标为，可得轴，，可得
为等腰直角三角形，进而求出的值.
【详解】
由题意得，设切点，，
，
所以过切点的切线方程为
，代入抛物线的方程，得
，
所以，可得，
所以，，即，所以轴，，
所以为等腰直角三角形，所以.
故选：C.
25．（2022·黑龙江·哈师大附中高三期末（理））已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是，点是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的个数是（ ）
（1）；
（2）存在点满足
（3）直线与直线的斜率之积为
（4）若△的面积为，则点的横坐标为
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
（1）由椭圆定义进行求解；（2）点P在以为直径的圆上，求出圆的方程，与椭圆方程联立作出判断；（3）设出点P的坐标，表达出直线与直线的斜率，计算出答案；（4）利用的面积求出点P的纵坐标，进而利用椭圆方程求出横坐标.
【详解】
由题意得：，所以，，故，，，，由椭圆的定义知：，（1）错误；
假设存在点满足，则点P在以为直径的圆上，即，与椭圆方程联立得：，无解，故假设不成立，不存在点满足，（2）错误；
设点，则，所以其中，，所以，（3）正确；
，解得：，将代入椭圆方程中，解得：，（4）正确.
综上：正确答案为2个，
故选：B
26．（2022·浙江·模拟预测）已知双曲线H的两条渐近线互相垂直，过H右焦点F且斜率为3的直线与H交于A，B两点，与H的渐近线交于C，D两点．若，则（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知条件可得渐近线方程为，双曲线方程，设出直线方程代入双曲线方程中消去，利用根与系数的关系结合弦长公式列方程可求出的值，从而可得渐近线方程与直线方程联立可求出C，D两点的坐标，从而可求出结果
【详解】
设双曲线方程为，则其渐近线方程为，
因为双曲线H的两条渐近线互相垂直，所以，所以渐近线方程为
所以双曲线方程为，则右焦点，
所以直线方程为，
设，将代入化简得，
，
所以，
所以，
解得，得，
所以双曲线方程为，所以双曲线的右焦点为，
直线方程为，
由，得，
由，得，
所以，
故选：C
27．（2022·河南濮阳·高三开学考试（文））已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线与C交于M，N两点（其中M在第一象限），若四边形为矩形，且，则C的离心率e的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设椭圆的半焦距为，依题意以为直径的圆与椭圆有公共点，得到和的关系，再利用，结合椭圆的定义，得到关于，的不等关系，求解即可得到答案．
【详解】
解：设椭圆的半焦距为，因为四边形为矩形，
所以以为直径的圆与椭圆有公共点，
则，所以，又，即，即
所以，
故，
因为，又，
所以，
则，
又，即，且，
所以，
故，即，即
解得，
所以椭圆的离心率的取值范围是．
故选：C．
28．（2022·全国·高三专题练习）设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ）
A．(1，3)B．(1，4)C．(2，3)D．(2，4)
【答案】D
【解析】
【分析】
设直线l：x＝ty＋m，讨论t＝0时结合半径范围分析满足条件的切线条数，再根据切线的性质研究t≠0时切线的条件，保证两种情况下切线总共4条求r的取值范围
【详解】
不妨设直线l：x＝ty＋m，又，
当t＝0且r≥5，满足条件的直线只有1条，不合题意；
当t＝0且0＜r＜5，则斜率不存在的直线有2条，此时只需t≠0的直线恰有2条即可.
当t≠0时，将直线代入抛物线方程有：y2－4ty－4m＝0,则△＝16t2＋16m＞0①，
所以，则M(2t2＋m，2t)，
由，可得m＝3－2t2代入①，可得3－t2＞0，即0＜t2＜3,
又由圆心到直线的距离等于半径，得d＝r＝,
由0＜t2＜3，可得r∈(2，4).
故选：D
29．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交M，N两点（其中M在笫一象限），若M，，N，四点共圆，则C的离心率e的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设椭圆的半焦距为，由椭圆的中心对称性和圆的性质得到以为直径的圆与椭圆有公共点，得到和的关系，再根据的关系即可得出答案.
【详解】
解：设椭圆的半焦距为，由椭圆的中心对称性和，，，四点共圆，
则四边形为矩形，
所以以为直径的圆与椭圆有公共点，
则，即，
所以，
故.
故选：A.
30．（2022·云南昭通·高三期末（文））已知双曲线的渐近线方程为，则C的焦距等于（ ）
A．B．C．D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据渐近线方程可得，由可得答案.
【详解】
曲线的渐近线方程为，可得，
所以，所以焦距为，
故选：C.
31．（2022·云南昭通·高三期末（文））已知为抛物线上的两个动点，以为直径的圆C经过抛物线的焦点F，且的面积为4，若过圆心C作该抛物线准线的垂线，垂足为D，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
设可得，过点A作于Q，过点B作于P，利用抛物线定义得，利用梯形中位线、基本不等式可得答案.
【详解】
根据题意，，设，即，过点A作于Q，过点B作于P，利用抛物线定义得，根据梯形中位线可知，，所以（当且仅当时，等号成立），
故选：A.
32．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学高三阶段练习（理））已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于、两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设椭圆的左焦点为，连接、，利用椭圆的定义求出的值，利用点到直线的距离公式可求得的取值范围，再利用椭圆的离心率公式可求得结果.
【详解】
设椭圆的左焦点为，连接、，
因为直线与椭圆均关于原点对称，则、关于原点对称，
又因为为的中点，则四边形为平行四边形，则，
所以，，可得，
取点，则，可得，
所以，，
故选：A.
33．（2022·福建漳州·一模）已知以F为焦点的抛物线经过点，直线与C交于A，B两点（其中点A在x轴上方），若，则在y轴上的截距为（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由点求出抛物线方程，再利用向量得出A，B坐标的关系，联立直线方程可求出点B坐标，再求出直线斜率即可得解.
【详解】
抛物线经过点，
所以，解得，
即抛物线方程为，焦点为，
设，
联立，消元得，由，
，
又，即,
，
，
，
，，
，
即直线方程为，
故在y轴上的截距为，
故选：D
34．（2022·江西·高三阶段练习（理））如图所示，椭圆C：的左右焦点分别为，直线y＝kx（k＞0）与C相交于M，N两点，若四点共圆（其中M在第一象限），且直线倾斜角不小于，则椭圆C的实轴长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得椭圆的半焦距为，由椭圆的中心对称性和圆的性质得到以为直径的圆与椭圆有公共点，得到和的关系，再利用直线的倾斜角，结合椭圆的定义，得到关于的不等关系，求解即可得到答案．
【详解】
设椭圆的半焦距为，由椭圆的中心对称性和，，，四点共圆，
则四边形为矩形，
所以以为直径的圆与椭圆有公共点，
则，
所以，又由题意，即，
故，即
因为直线倾斜角不小于，
所以直线的倾斜角不小于，
则，化简可得，
因为，
所以，
则，
又，所以，
故，
解得，所以，
综上
故选：．
35．（2022·贵州贵阳·高三期末（文））已知双曲线的方程为，双曲线的右顶点A到渐近线的距离为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据双曲线方程写出右顶点坐标以及渐近线方程，即可求得答案.
【详解】
双曲线的方程为,则右顶点A的坐标为 ，
根据双曲线的对称性，不妨取渐近线方程为 ，
故右顶点A到渐近线的距离为 ，
故选：C
36．（2022·云南保山·模拟预测（理））已知F为抛物线的焦点，点A在抛物线C上，，则以为直径的圆与x轴的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义求得点A的坐标，再根据直线与圆的位置关系判断.
【详解】
如图所示：
抛物线的焦点为，准线方程为，
设，根据抛物线定义知，得.
线段的中点到轴的距离，
则以为直径的圆与轴相切，
故选：A．
37．（2022·江西上饶·高三阶段练习（文））若直线与圆交于M、N两点，则弦长的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意求得直线过定点，圆心，半径，且当时，值最小，利用弦长公式即可求得答案．
【详解】
设直线，即
联立，解得，故直线经过定点，
由知定点在圆内，
由圆方程可知圆心，半径，
当垂直时，最小，此时到直线的距离，
所以，
故选：．
38．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））已知F为抛物线的焦点，过F的直线与抛物线交于两点，以为直径的圆分别与x轴交于异于F的两点，且，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设为AF的中点，为BF的中点，，根据条件可得点A、B坐标间的关系，结合韦达定理可求得k的值.
【详解】
解：设为AF的中点，为BF的中点，，，
所以，作轴于点P，轴于Q，则，
因为，所以P为NF的中点，则，同理，
因为，则，即，即，
所以，整理得，
设直线l的方程为，联立，整理得，
所以，结合式得，代入中，即，
因为，所以，即，所以，
故选：D.
二、多选题
39．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的焦距为1
B．点在椭圆C内部
C．若椭圆的焦点在x轴上，则
D．若点，则的距离的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】
对于选项A，由椭圆方程求得判断；对于选项B，将点代入椭圆方程判断；对于选项C，由求解判断；对于选项D，由P，Q，三点共线求解判断.
【详解】
对于选项A，由椭圆，易得，所以焦距为2，故选项A错误；
对于选项B，将点代入中，易得，则点Q在椭圆C内部，故选项B正确；
对于选项C，由椭圆的焦点在x轴上，得，解得，故选项C正确；
对于选项D，（当P，Q，三点共线时，且点P位于第四象限时，取得最大值），故选项D正确，
故选：BCD.
40．（2022·全国·模拟预测）已知点，是抛物线上的两个不同的点，为坐标原点，焦点为，则（ ）
A．焦点的坐标为B．若，则过定点
C．若直线过点，则D．若直线过点，则的最小值为16
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据抛物线方程求出焦点坐标，即可判断A；设直线，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，由，即可求出，即可判断B；设直线，代入抛物线方程，消元列出韦达定理，即可判断C、D；
【详解】
解：对于A，由题意，所以焦点，故A错误；
对于B，若直线的斜率，显然不合题意；设直线，代入，得，则，，所以，所以，所以，所以直线过定点，故B正确；
对于C，由直线过点，可设直线，代入，得，则，，所以，故C正确；
对于D，由C可知，，，所以，所以当时，的最小值为16，故D正确，
故选：BCD.
41．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，设直线与抛物线C交于A，B两点，当直线l经过点F时，.设圆F为以点F为圆心，OF为半径的圆（O为坐标原点），则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的C的方程为
B．直线l截圆F的弦长的最小值为
C．直线l截圆F的弦长的最大值为2
D．当时，取到最小值
【答案】ACD
【解析】
【分析】
对于选项A：判断出直线l过定点.设直线l的倾斜角为，由可得，即可得.利用斜率，解得：，即可得抛物线C的方程；
对于选项B：判断出点P在圆F外，可得直线l截圆F的弦长的最小值为0；
对于选项C：直线l截圆F的弦长取到最大值为圆F的直径；
对于选项D：设点A，B的坐标为，，表示出，利用二次函数求最值.
【详解】
对于选项A：直线，可化为：所以直线l过定点.设直线l的倾斜角为，则有，，且由可得，即可得.点F的坐标为，所以，解得：，即可得抛物线C的方程为，故选项A成立；
对于选项B：可得圆F的方程为，因为点P在圆F外，可得直线l截圆F的弦长的最小值为0，故选项B错误；
对于选项C：当直线l经过点F时，此时直线l截圆F的弦长取到最大值，最大值为圆F的直径，故选项C成立；
对于选项D：由l过定点P，可设直线l为，设点A，B的坐标为，，联立可得，
根据韦达定理可得，，
当时，取到最小值为，此时，故选项D成立.
故选：ACD.
42．（2022·全国·模拟预测）已知直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．的取值范围为
C．的取值范围为
D．当取得最小值时，直线的方程为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
对于A,求出圆心到直线l的距离，根据圆心距和弦长的一半及半径之间的关系可求得，即可判断A;对于B,C,根据直线过定点，求出过该顶点的弦长的最小值和最大值，即可判断；对于D,根据取得最小值时，直线的垂直关系，可求得直线MN的方程，由此可判断D.
【详解】
对于选项A，当时，直线，圆心到直线的距离，
∴，故选项A正确；
对于选项B，C，D，∵直线过定点，
当时，取得最小值，
此时圆心到直线的距离，，最长即为圆的直径，故，
所以的取值范围为，故B正确，C错误；
当时，取得最小值，此时，，
直线的方程为，，故选项D正确，
故选：ABD．
43．（2022·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则以下四个命题中正确的是（ ）
A．
B．面积的取值范围为
C．已知M是边BC的中点，则的取值范围为
D．当时，的周长为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用正弦定理化边为角，结合三角形内角关系及两角和的正弦公式即可判断A；以BC的中点为坐标原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则，，设，求出点的轨迹方程，从而可判断BC；由，可得，结合正弦定理及，可得，从而可求出，从而可求出，求出，即可判断D.
【详解】
解：对于A选项，∵，，
∴，
∴，
即，所以，
∴，故选项A正确；
对于选项B，以BC的中点为坐标原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则，，设，
因为，所以，
化简得，
所以点A在以为圆心，为半径的圆上运动，（B、C除外）
所以点A到BC边的最大距离为，
所以面积的最大值为，
∴面积的取值范围为，故选项B正确；
对于C选项，因为点A在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，则，即，
又，，
所以，故选项C错误；
对于D选项，由，可得，
由A选项，得，
由正弦定理得，即，
所以，化简得，
因为，所以化简得，
因为，所以，所以，
则，所以，
所以，，，为直角三角形，
所以，，所以的周长为，所以选项D正确.
故选：ABD．
44．（2022·山东·青岛二中高三开学考试）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是E上异于顶点的一动点，圆I（圆心为I）与的三边，，分别切于点A，B，C，延长PI交x轴于点D，作交于点H，则（ ）．
A．为定值B．为定值
C．为定值D．为定值
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义即可判断A；
根据余弦定理可得，进而判断B；
根据切线长定理和椭圆的定义可得，进而判断C；
根据三角形面积公式和相似三角形的性质可得，进而判断D.
【详解】
A：根据椭圆的定义，得，则A正确；
B：设，，，，
由余弦定理，得，
即，解得，
由于P在E上运动，所以的值也随之变化，从而mn不是定值，则B错误；
C：根据切线长定理和椭圆的定义，得，
且，则，
所以为定值，则C正确；
D：连接IA，则，
由，解得；
由，得为定值，则D正确．
故选ACD．
45．（2022·湖北·高三开学考试）已知双曲线的右焦点为，坐标原点为，左、右顶点分别为、，为双曲线上的点，且轴,连接AD交y轴于C，连接CB交直线DF于，.下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为3B．
C．点到直线的距离为D．直线斜率为2或-2
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由可得，结合条件可得，进而可得，然后逐项判断即得.
【详解】
∵，
∴，，
∴，，即，
∴.
由知，，即
∴，
∴，即，故A正确；
∴，即直线是双曲线的渐近线，所以点到直线的距离为，故C正确；
由条件可得，
∴，即直线BC的斜率为，故D正确；
又，即直线BD的斜率为，它不与直线BC垂直，所以，故B错误.
故选：ACD.
三、填空题
46．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试（理））已知F是抛物线的焦点，抛物线C上的点满足，若在准线上的射影分别为，且的面积为5，则_______
【答案】#6.25
【解析】
【分析】
设出直线AB，联立抛物线，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，利用的面积和向量比例关系得到，进而利用焦点弦公式进行求解.
【详解】
设直线AB为，联立抛物线得：，设，，则，，其中，，则，由可得：，则，解得：，此时，所以，故，解得：，当，时，，此时，当，时，，此时，综上：，.
故答案为：