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（课标全国版）高考数学第一轮复习讲练 第53讲 离散型随机变量的分布列、均值与方差（讲+练）原卷版+解析
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1．已知随机变量X的分布列为
则E(5X＋4)等于( )
A．15 B．11
C．2.2 D．2.3
2．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为( )
A．25 B．10
C．7 D．6
3．若随机变量X的分布列为
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[1,2]
C．(1,2] D．(1,2)
4．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))k(k＝1,2,3)，则m的值为( )
A.eq \f(17,38) B．eq \f(27,38)
C.eq \f(17,19) D．eq \f(27,19)
5．口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3)
C．2 D.eq \f(8,3)
6．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于( )
A.eq \f(1,5) B．eq \f(2,5)
C.eq \f(3,5) D．eq \f(4,5)
7．随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
8．随机变量X的分布列如表所示，若E(X)＝eq \f(1,3)，则D(3X－2)＝( )
A.eq \f(5,9) B.eq \f(5,3)
C．5 D．7
9．一个摊主在一旅游景点设摊，游客向摊主支付2元进行1次游戏．游戏规则：在一个不透明的布袋中装入除颜色外无差别的2个白球和3个红球，游客从布袋中随机摸出2个小球，若摸出的小球同色，则游客获得3元奖励；若异色，则游客获得1元奖励．则摊主从每次游戏中获得的利润(单位：元)的期望值是( )
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.5
10．一袋中装有5个球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为( )
【练提升】
1．甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为X，则E(X)为( )
A．1 B．1.5
C．2 D．2.5
2．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为eq \f(2,3)，乙在每局中获胜的概率为eq \f(1,3)，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为( )
A.eq \f(241,81) B．eq \f(266,81)
C.eq \f(274,81) D．eq \f(670,243)
3．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为p(0＜p＜1)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(7,12)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,12)，1))
4．设0则当p在(0,1)内增大时( )
A．D(ξ)减小 B．D(ξ)增大
C．D(ξ)先减小后增大 D．D(ξ)先增大后减小
5．随机变量ξ的分布列如下：
其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．
6．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P(ξ＝2)＝________.
7．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和均值．
8．某工厂生产一种产品的标准长度为10.00 cm，只要误差的绝对值不超过0.03 cm就认为合格，工厂质检部抽检了某批次产品1 000件，检测其长度，绘制条形统计图如图：
(1)估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；
(2)如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取2件，假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时，该设备符合生产要求．现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值．
9．共享单车的出现大大方便了人们的出行．已知某城市有A，B，C，D，E五种共享单车，某人在某周的周一至周五这五天中，每天选择其中任意一种共享单车出行的可能性相同．
(1)求此人在这连续五天的出行中共选择了三种共享单车的概率；
(2)记此人在这连续五天的出行中选择的共享单车的种数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
10．某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取6个家庭，得到数据如下：
(1)据题中数据，求月支出y(千元)关于月收入x(千元)的线性回归方程(保留一位小数)；
(2)从这6个家庭中随机抽取3个，记月支出超过6千元的家庭个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．
参考公式：回归直线的方程是：eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，其中，eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up11(n),\s\d4(i＝1)) xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) xi－\x\t(x)2)＝eq \f(\(∑,\s\up11(n),\s\d4(i＝1))xiyi－n\x\t(x) \x\t(y),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))x\\al(2,i)－n\x\t(x)2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x).
X
1
2
4
P
0.4
0.3
0.3
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
X
0
2
a
P
eq \f(1,6)
p
eq \f(1,3)
X
－1
0
1
P
eq \f(1,6)
a
b
ξ
0
1
2
P
eq \f(1－p,2)
eq \f(1,2)
eq \f(p,2)
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
家庭编号
1
2
3
4
5
6
月收入x(千元)
20
30
35
40
48
55
月支出y(千元)
4
5
6
8
8
11
第53讲 离散型随机变量的分布列、均值与方差
【练基础】
1．已知随机变量X的分布列为
则E(5X＋4)等于( )
A．15 B．11
C．2.2 D．2.3
【答案】A
【解析】∵E(X)＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2，
∴E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝11＋4＝15.
2．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为( )
A．25 B．10
C．7 D．6
【答案】C
【解析】X的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.
3．若随机变量X的分布列为
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[1,2]
C．(1,2] D．(1,2)
【答案】C
【解析】由随机变量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]．
4．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))k(k＝1,2,3)，则m的值为( )
A.eq \f(17,38) B．eq \f(27,38)
C.eq \f(17,19) D．eq \f(27,19)
【答案】B
【解析】由分布列的性质得P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝m×eq \f(2,3)＋m×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＋m× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝eq \f(38m,27)＝1，∴m＝eq \f(27,38).
5．口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3)
C．2 D.eq \f(8,3)
【答案】D
【解析】因为口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个，所以取出的球的最大编号X的可能取值为2,3，所以P(X＝2)＝eq \f(1,C\\al(2,3))＝eq \f(1,3)，P(X＝3)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,1),C\\al(2,3))＝eq \f(2,3)，所以E(X)＝2×eq \f(1,3)＋3×eq \f(2,3)＝eq \f(8,3).
6．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于( )
A.eq \f(1,5) B．eq \f(2,5)
C.eq \f(3,5) D．eq \f(4,5)
【答案】D
【解析】P(ξ≤1)＝1－P(ξ＝2)＝1－eq \f(C\\al(1,4)C\\al(2,2),C\\al(3,6))＝eq \f(4,5).
7．随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】C
【解析】因为p＝1－eq \f(1,6)－eq \f(1,3)＝eq \f(1,2)，
所以E(X)＝0×eq \f(1,6)＋2×eq \f(1,2)＋a×eq \f(1,3)＝2，解得a＝3，
所以D(X)＝(0－2)2×eq \f(1,6)＋(2－2)2×eq \f(1,2)＋(3－2)2×eq \f(1,3)＝1，
所以D(2X－3)＝22D(X)＝4，故选C.
8．随机变量X的分布列如表所示，若E(X)＝eq \f(1,3)，则D(3X－2)＝( )
A.eq \f(5,9) B.eq \f(5,3)
C．5 D．7
【答案】C
【解析】∵E(X)＝eq \f(1,3)，
∴由随机变量X的分布列得：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,6)＋a＋b＝1，,－\f(1,6)＋b＝\f(1,3)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,3)，,b＝\f(1,2)，))
∴D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1－\f(1,3)))2×eq \f(1,6)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(1,3)))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))2×eq \f(1,2)＝eq \f(5,9)，
∴D(3X－2)＝9D(X)＝9×eq \f(5,9)＝5.
9．一个摊主在一旅游景点设摊，游客向摊主支付2元进行1次游戏．游戏规则：在一个不透明的布袋中装入除颜色外无差别的2个白球和3个红球，游客从布袋中随机摸出2个小球，若摸出的小球同色，则游客获得3元奖励；若异色，则游客获得1元奖励．则摊主从每次游戏中获得的利润(单位：元)的期望值是( )
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.5
【答案】A
【解析】摊主从每次游戏中获得的利润(单位：元)的期望值是E(X)＝2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3×\f(C\\al(2,2)＋C\\al(2,3),C\\al(2,5))＋1×\f(C\\al(1,2)C\\al(1,3),C\\al(2,5))))＝0.2.
10．一袋中装有5个球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为( )
【答案】C
【解析】随机变量ξ的可能取值为1,2,3，P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(2,4),C\\al(3,5))＝eq \f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,3),C\\al(3,5))＝eq \f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq \f(C\\al(2,2),C\\al(3,5))＝eq \f(1,10)，故选C.
【练提升】
1．甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为X，则E(X)为( )
A．1 B．1.5
C．2 D．2.5
【答案】B
【解析】X可取0,1,2,3，P(X＝0)＝eq \f(C\\al(3,6),C\\al(3,6)×C\\al(3,6))＝eq \f(1,20)，
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,6)×C\\al(2,5)×C\\al(2,3),C\\al(3,6)×C\\al(3,6))＝eq \f(9,20)，P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,6)×C\\al(1,4)×C\\al(1,3),C\\al(3,6)×C\\al(3,6))＝eq \f(9,20)，P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,6),C\\al(3,6)×C\\al(3,6))＝eq \f(1,20)，故E(X)＝0×eq \f(1,20)＋1×eq \f(9,20)＋2×eq \f(9,20)＋3×eq \f(1,20)＝1.5.
2．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为eq \f(2,3)，乙在每局中获胜的概率为eq \f(1,3)，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为( )
A.eq \f(241,81) B．eq \f(266,81)
C.eq \f(274,81) D．eq \f(670,243)
【答案】B
【解析】由已知，ξ的可能取值是2,4,6.设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＝eq \f(5,9).
若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响．
所以P(ξ＝2)＝eq \f(5,9)，P(ξ＝4)＝eq \f(4,9)×eq \f(5,9)＝eq \f(20,81)，P(ξ＝6)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9)))2＝eq \f(16,81)，所以E(ξ)＝2×eq \f(5,9)＋4×eq \f(20,81)＋6×eq \f(16,81)＝eq \f(266,81).故选B.
3．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为p(0＜p＜1)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(7,12)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,12)，1))
【答案】A
【解析】由题可知P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＞1.75，解得p＞eq \f(5,2)或p＜eq \f(1,2)，由p∈(0,1)可得p∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，故选A.
4．设0则当p在(0,1)内增大时( )
A．D(ξ)减小 B．D(ξ)增大
C．D(ξ)先减小后增大 D．D(ξ)先增大后减小
【答案】D
【解析】由题意知E(ξ)＝0×eq \f(1－p,2)＋1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(p,2)＝p＋eq \f(1,2)，D(ξ)＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p＋\f(1,2)))))2×eq \f(1－p,2)＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p＋\f(1,2)))))2×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p＋\f(1,2)))))2×eq \f(p,2)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p＋\f(1,2)))2×eq \f(1－p,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p－\f(1,2)))2×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－p))2×eq \f(p,2)
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p＋\f(1,2)))2＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p－\f(1,2)))2－eq \f(p,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p＋\f(1,2)))2＋eq \f(p,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－p))2
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2p2＋\f(1,2)))－eq \f(p,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p＋\f(1,2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p－\f(3,2)))2))
＝p2＋eq \f(1,4)－p(2p－1)
＝－p2＋p＋eq \f(1,4)
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p－\f(1,2)))2＋eq \f(1,2)，
∴D(ξ)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))上递减，即当p在(0,1)内增大时，D(ξ)先增大后减小．故选D.
5．随机变量ξ的分布列如下：
其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．
【解析】∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，∴b＝eq \f(1,3)，∴P(|ξ|＝1)＝a＋c＝eq \f(2,3).
又a＝eq \f(1,3)－d，c＝eq \f(1,3)＋d，根据分布列的性质，
得0≤eq \f(1,3)－d≤eq \f(2,3)，0≤eq \f(1,3)＋d≤eq \f(2,3)，
∴－eq \f(1,3)≤d≤eq \f(1,3).
【答案】eq \f(2,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3)))
6．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P(ξ＝2)＝________.
【解析】由题意可知，P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,2)C\\al(1,4)＋C\\al(2,3)C\\al(2,2),C\\al(2,4)C\\al(2,6))＝eq \f(3,10).
【答案】eq \f(3,10)
7．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和均值．
【解析】(1)由已知，有P(A)＝eq \f(C\\al(2,2)C\\al(2,3)＋C\\al(2,3)C\\al(2,3),C\\al(4,8))＝eq \f(6,35).
所以事件A发生的概率为eq \f(6,35).
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
则P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,5)C\\al(3,3),C\\al(4,8))＝eq \f(1,14)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,5)C\\al(2,3),C\\al(4,8))＝eq \f(3,7)，
P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,5)C\\al(1,3),C\\al(4,8))＝eq \f(3,7)，
P(X＝4)＝eq \f(C\\al(4,5)C\\al(0,3),C\\al(4,8))＝eq \f(1,14).
所以随机变量X的分布列为
均值E(X)＝1×eq \f(1,14)＋2×eq \f(3,7)＋3×eq \f(3,7)＋4×eq \f(1,14)＝eq \f(5,2).
8．某工厂生产一种产品的标准长度为10.00 cm，只要误差的绝对值不超过0.03 cm就认为合格，工厂质检部抽检了某批次产品1 000件，检测其长度，绘制条形统计图如图：
(1)估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；
(2)如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取2件，假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时，该设备符合生产要求．现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值．
【解析】(1)由条形统计图知，该批次产品长度误差的绝对值X的分布列为
所以X的数学期望E(X)＝0×0.4＋0.01×0.3＋0.02×0.2＋0.03×0.075＋0.04×0.025＝0.010 25.
(2)由(1)可知标准长度的概率为0.4，设至少有1件是标准长度产品为事件B，则P(B)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＝eq \f(16,25)＝0.64＜0.8，故不符合概率不小于0.8的要求．
设生产一件产品为标准长度的概率为x，
由题意知P(B)＝1－(1－x)2≥0.8，
又0＜x＜1，解得1－eq \f(\r(5),5)≤x＜1.
所以概率的最小值为1－eq \f(\r(5),5).
9．共享单车的出现大大方便了人们的出行．已知某城市有A，B，C，D，E五种共享单车，某人在某周的周一至周五这五天中，每天选择其中任意一种共享单车出行的可能性相同．
(1)求此人在这连续五天的出行中共选择了三种共享单车的概率；
(2)记此人在这连续五天的出行中选择的共享单车的种数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
【解析】(1)记“此人在这连续五天的出行中共选择了三种共享单车”为事件M，则事件M包含“某种共享单车用三天，另有两种共享单车各用一天”、“某种共享单车用一天，另有两种共享单车各用两天”两种情况．
所以P(M)＝eq \f(C\\al(3,5)C\\al(3,5)C\\al(1,3)A\\al(2,2)＋C\\al(1,3)C\\al(1,5)C\\al(2,4),55)＝eq \f(12,25).
(2)易知随机变量X的所有可能的取值为1,2,3,4,5，
由(1)知，P(X＝3)＝eq \f(12,25)，
又P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,5),55)＝eq \f(1,625)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,5)C\\al(1,2)C\\al(1,5)＋C\\al(2,5),55)＝eq \f(12,125)，
P(X＝4)＝eq \f(C\\al(4,5)C\\al(1,4)C\\al(2,5)A\\al(3,3),55)＝eq \f(48,125)，
P(X＝5)＝eq \f(A\\al(5,5),55)＝eq \f(24,625)，
则随机变量X的分布列为
所以随机变量X的数学期望E(X)＝1×eq \f(1,625)＋2×eq \f(12,125)＋3×eq \f(12,25)＋4×eq \f(48,125)＋5×eq \f(24,625)＝eq \f(2 101,625).
10．某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取6个家庭，得到数据如下：
(1)据题中数据，求月支出y(千元)关于月收入x(千元)的线性回归方程(保留一位小数)；
(2)从这6个家庭中随机抽取3个，记月支出超过6千元的家庭个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．
参考公式：回归直线的方程是：eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，其中，eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up11(n),\s\d4(i＝1)) xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) xi－\x\t(x)2)＝eq \f(\(∑,\s\up11(n),\s\d4(i＝1))xiyi－n\x\t(x) \x\t(y),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))x\\al(2,i)－n\x\t(x)2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x).
【解析】(1)因为eq \x\t(x)＝eq \f(20＋30＋35＋40＋48＋55,6)＝38，
eq \x\t(y)＝eq \f(4＋5＋6＋8＋8＋11,6)＝7，
eq \(∑,\s\up11(6),\s\d4(i＝1))xiyi＝20×4＋30×5＋35×6＋40×8＋48×8＋55×11＝1 749，
eq \(∑,\s\up11(6),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)＝202＋302＋352＋402＋482＋552＝9 454，
eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(1 749－6×38×7,9 454－6×382)≈0.2，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)＝7－0.2×38＝－0.6，
所以月支出y关于x月收入的线性回归方程是eq \(y,\s\up6(^))＝0.2x－0.6.
(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(3,3)·C\\al(0,3),C\\al(3,6))＝eq \f(1,20)，
P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(2,3)·C\\al(1,3),C\\al(3,6))＝eq \f(9,20)，
P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(1,3)·C\\al(2,3),C\\al(3,6))＝eq \f(9,20)，
P(ξ＝3)＝eq \f(C\\al(0,3)·C\\al(3,3),C\\al(3,6))＝eq \f(1,20).
故ξ的分布列为
数学期望E(ξ)＝0×eq \f(1,20)＋1×eq \f(9,20)＋2×eq \f(9,20)＋3×eq \f(1,20)＝eq \f(3,2).
X
1
2
4
P
0.4
0.3
0.3
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
X
0
2
a
P
eq \f(1,6)
p
eq \f(1,3)
X
－1
0
1
P
eq \f(1,6)
a
b
ξ
0
1
2
P
eq \f(1－p,2)
eq \f(1,2)
eq \f(p,2)
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
X
1
2
3
4
P
eq \f(1,14)
eq \f(3,7)
eq \f(3,7)
eq \f(1,14)
X
0
0.01
0.02
0.03
0.04
P
0.4
0.3
0.2
0.075
0.025
X
1
2
3
4
5
P
eq \f(1,625)
eq \f(12,125)
eq \f(12,25)
eq \f(48,125)
eq \f(24,625)
家庭编号
1
2
3
4
5
6
月收入x(千元)
20
30
35
40
48
55
月支出y(千元)
4
5
6
8
8
11
ξ
0
1
2
3
P
eq \f(1,20)
eq \f(9,20)
eq \f(9,20)
eq \f(1,20)
1．已知随机变量X的分布列为
则E(5X＋4)等于( )
A．15 B．11
C．2.2 D．2.3
2．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为( )
A．25 B．10
C．7 D．6
3．若随机变量X的分布列为
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[1,2]
C．(1,2] D．(1,2)
4．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))k(k＝1,2,3)，则m的值为( )
A.eq \f(17,38) B．eq \f(27,38)
C.eq \f(17,19) D．eq \f(27,19)
5．口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3)
C．2 D.eq \f(8,3)
6．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于( )
A.eq \f(1,5) B．eq \f(2,5)
C.eq \f(3,5) D．eq \f(4,5)
7．随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
8．随机变量X的分布列如表所示，若E(X)＝eq \f(1,3)，则D(3X－2)＝( )
A.eq \f(5,9) B.eq \f(5,3)
C．5 D．7
9．一个摊主在一旅游景点设摊，游客向摊主支付2元进行1次游戏．游戏规则：在一个不透明的布袋中装入除颜色外无差别的2个白球和3个红球，游客从布袋中随机摸出2个小球，若摸出的小球同色，则游客获得3元奖励；若异色，则游客获得1元奖励．则摊主从每次游戏中获得的利润(单位：元)的期望值是( )
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.5
10．一袋中装有5个球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为( )
【练提升】
1．甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为X，则E(X)为( )
A．1 B．1.5
C．2 D．2.5
2．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为eq \f(2,3)，乙在每局中获胜的概率为eq \f(1,3)，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为( )
A.eq \f(241,81) B．eq \f(266,81)
C.eq \f(274,81) D．eq \f(670,243)
3．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为p(0＜p＜1)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(7,12)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,12)，1))
4．设0
A．D(ξ)减小 B．D(ξ)增大
C．D(ξ)先减小后增大 D．D(ξ)先增大后减小
5．随机变量ξ的分布列如下：
其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．
6．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P(ξ＝2)＝________.
7．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和均值．
8．某工厂生产一种产品的标准长度为10.00 cm，只要误差的绝对值不超过0.03 cm就认为合格，工厂质检部抽检了某批次产品1 000件，检测其长度，绘制条形统计图如图：
(1)估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；
(2)如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取2件，假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时，该设备符合生产要求．现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值．
9．共享单车的出现大大方便了人们的出行．已知某城市有A，B，C，D，E五种共享单车，某人在某周的周一至周五这五天中，每天选择其中任意一种共享单车出行的可能性相同．
(1)求此人在这连续五天的出行中共选择了三种共享单车的概率；
(2)记此人在这连续五天的出行中选择的共享单车的种数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
10．某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取6个家庭，得到数据如下：
(1)据题中数据，求月支出y(千元)关于月收入x(千元)的线性回归方程(保留一位小数)；
(2)从这6个家庭中随机抽取3个，记月支出超过6千元的家庭个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．
参考公式：回归直线的方程是：eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，其中，eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up11(n),\s\d4(i＝1)) xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) xi－\x\t(x)2)＝eq \f(\(∑,\s\up11(n),\s\d4(i＝1))xiyi－n\x\t(x) \x\t(y),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))x\\al(2,i)－n\x\t(x)2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x).
X
1
2
4
P
0.4
0.3
0.3
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
X
0
2
a
P
eq \f(1,6)
p
eq \f(1,3)
X
－1
0
1
P
eq \f(1,6)
a
b
ξ
0
1
2
P
eq \f(1－p,2)
eq \f(1,2)
eq \f(p,2)
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
家庭编号
1
2
3
4
5
6
月收入x(千元)
20
30
35
40
48
55
月支出y(千元)
4
5
6
8
8
11
第53讲 离散型随机变量的分布列、均值与方差
【练基础】
1．已知随机变量X的分布列为
则E(5X＋4)等于( )
A．15 B．11
C．2.2 D．2.3
【答案】A
【解析】∵E(X)＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2，
∴E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝11＋4＝15.
2．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为( )
A．25 B．10
C．7 D．6
【答案】C
【解析】X的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.
3．若随机变量X的分布列为
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[1,2]
C．(1,2] D．(1,2)
【答案】C
【解析】由随机变量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]．
4．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))k(k＝1,2,3)，则m的值为( )
A.eq \f(17,38) B．eq \f(27,38)
C.eq \f(17,19) D．eq \f(27,19)
【答案】B
【解析】由分布列的性质得P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝m×eq \f(2,3)＋m×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＋m× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝eq \f(38m,27)＝1，∴m＝eq \f(27,38).
5．口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3)
C．2 D.eq \f(8,3)
【答案】D
【解析】因为口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个，所以取出的球的最大编号X的可能取值为2,3，所以P(X＝2)＝eq \f(1,C\\al(2,3))＝eq \f(1,3)，P(X＝3)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,1),C\\al(2,3))＝eq \f(2,3)，所以E(X)＝2×eq \f(1,3)＋3×eq \f(2,3)＝eq \f(8,3).
6．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于( )
A.eq \f(1,5) B．eq \f(2,5)
C.eq \f(3,5) D．eq \f(4,5)
【答案】D
【解析】P(ξ≤1)＝1－P(ξ＝2)＝1－eq \f(C\\al(1,4)C\\al(2,2),C\\al(3,6))＝eq \f(4,5).
7．随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】C
【解析】因为p＝1－eq \f(1,6)－eq \f(1,3)＝eq \f(1,2)，
所以E(X)＝0×eq \f(1,6)＋2×eq \f(1,2)＋a×eq \f(1,3)＝2，解得a＝3，
所以D(X)＝(0－2)2×eq \f(1,6)＋(2－2)2×eq \f(1,2)＋(3－2)2×eq \f(1,3)＝1，
所以D(2X－3)＝22D(X)＝4，故选C.
8．随机变量X的分布列如表所示，若E(X)＝eq \f(1,3)，则D(3X－2)＝( )
A.eq \f(5,9) B.eq \f(5,3)
C．5 D．7
【答案】C
【解析】∵E(X)＝eq \f(1,3)，
∴由随机变量X的分布列得：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,6)＋a＋b＝1，,－\f(1,6)＋b＝\f(1,3)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,3)，,b＝\f(1,2)，))
∴D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1－\f(1,3)))2×eq \f(1,6)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(1,3)))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))2×eq \f(1,2)＝eq \f(5,9)，
∴D(3X－2)＝9D(X)＝9×eq \f(5,9)＝5.
9．一个摊主在一旅游景点设摊，游客向摊主支付2元进行1次游戏．游戏规则：在一个不透明的布袋中装入除颜色外无差别的2个白球和3个红球，游客从布袋中随机摸出2个小球，若摸出的小球同色，则游客获得3元奖励；若异色，则游客获得1元奖励．则摊主从每次游戏中获得的利润(单位：元)的期望值是( )
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.5
【答案】A
【解析】摊主从每次游戏中获得的利润(单位：元)的期望值是E(X)＝2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3×\f(C\\al(2,2)＋C\\al(2,3),C\\al(2,5))＋1×\f(C\\al(1,2)C\\al(1,3),C\\al(2,5))))＝0.2.
10．一袋中装有5个球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为( )
【答案】C
【解析】随机变量ξ的可能取值为1,2,3，P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(2,4),C\\al(3,5))＝eq \f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,3),C\\al(3,5))＝eq \f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq \f(C\\al(2,2),C\\al(3,5))＝eq \f(1,10)，故选C.
【练提升】
1．甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为X，则E(X)为( )
A．1 B．1.5
C．2 D．2.5
【答案】B
【解析】X可取0,1,2,3，P(X＝0)＝eq \f(C\\al(3,6),C\\al(3,6)×C\\al(3,6))＝eq \f(1,20)，
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,6)×C\\al(2,5)×C\\al(2,3),C\\al(3,6)×C\\al(3,6))＝eq \f(9,20)，P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,6)×C\\al(1,4)×C\\al(1,3),C\\al(3,6)×C\\al(3,6))＝eq \f(9,20)，P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,6),C\\al(3,6)×C\\al(3,6))＝eq \f(1,20)，故E(X)＝0×eq \f(1,20)＋1×eq \f(9,20)＋2×eq \f(9,20)＋3×eq \f(1,20)＝1.5.
2．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为eq \f(2,3)，乙在每局中获胜的概率为eq \f(1,3)，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为( )
A.eq \f(241,81) B．eq \f(266,81)
C.eq \f(274,81) D．eq \f(670,243)
【答案】B
【解析】由已知，ξ的可能取值是2,4,6.设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＝eq \f(5,9).
若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响．
所以P(ξ＝2)＝eq \f(5,9)，P(ξ＝4)＝eq \f(4,9)×eq \f(5,9)＝eq \f(20,81)，P(ξ＝6)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9)))2＝eq \f(16,81)，所以E(ξ)＝2×eq \f(5,9)＋4×eq \f(20,81)＋6×eq \f(16,81)＝eq \f(266,81).故选B.
3．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为p(0＜p＜1)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(7,12)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,12)，1))
【答案】A
【解析】由题可知P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＞1.75，解得p＞eq \f(5,2)或p＜eq \f(1,2)，由p∈(0,1)可得p∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，故选A.
4．设0
A．D(ξ)减小 B．D(ξ)增大
C．D(ξ)先减小后增大 D．D(ξ)先增大后减小
【答案】D
【解析】由题意知E(ξ)＝0×eq \f(1－p,2)＋1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(p,2)＝p＋eq \f(1,2)，D(ξ)＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p＋\f(1,2)))))2×eq \f(1－p,2)＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p＋\f(1,2)))))2×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p＋\f(1,2)))))2×eq \f(p,2)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p＋\f(1,2)))2×eq \f(1－p,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p－\f(1,2)))2×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－p))2×eq \f(p,2)
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p＋\f(1,2)))2＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p－\f(1,2)))2－eq \f(p,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p＋\f(1,2)))2＋eq \f(p,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－p))2
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2p2＋\f(1,2)))－eq \f(p,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p＋\f(1,2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p－\f(3,2)))2))
＝p2＋eq \f(1,4)－p(2p－1)
＝－p2＋p＋eq \f(1,4)
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p－\f(1,2)))2＋eq \f(1,2)，
∴D(ξ)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))上递减，即当p在(0,1)内增大时，D(ξ)先增大后减小．故选D.
5．随机变量ξ的分布列如下：
其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．
【解析】∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，∴b＝eq \f(1,3)，∴P(|ξ|＝1)＝a＋c＝eq \f(2,3).
又a＝eq \f(1,3)－d，c＝eq \f(1,3)＋d，根据分布列的性质，
得0≤eq \f(1,3)－d≤eq \f(2,3)，0≤eq \f(1,3)＋d≤eq \f(2,3)，
∴－eq \f(1,3)≤d≤eq \f(1,3).
【答案】eq \f(2,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3)))
6．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P(ξ＝2)＝________.
【解析】由题意可知，P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,2)C\\al(1,4)＋C\\al(2,3)C\\al(2,2),C\\al(2,4)C\\al(2,6))＝eq \f(3,10).
【答案】eq \f(3,10)
7．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和均值．
【解析】(1)由已知，有P(A)＝eq \f(C\\al(2,2)C\\al(2,3)＋C\\al(2,3)C\\al(2,3),C\\al(4,8))＝eq \f(6,35).
所以事件A发生的概率为eq \f(6,35).
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
则P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,5)C\\al(3,3),C\\al(4,8))＝eq \f(1,14)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,5)C\\al(2,3),C\\al(4,8))＝eq \f(3,7)，
P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,5)C\\al(1,3),C\\al(4,8))＝eq \f(3,7)，
P(X＝4)＝eq \f(C\\al(4,5)C\\al(0,3),C\\al(4,8))＝eq \f(1,14).
所以随机变量X的分布列为
均值E(X)＝1×eq \f(1,14)＋2×eq \f(3,7)＋3×eq \f(3,7)＋4×eq \f(1,14)＝eq \f(5,2).
8．某工厂生产一种产品的标准长度为10.00 cm，只要误差的绝对值不超过0.03 cm就认为合格，工厂质检部抽检了某批次产品1 000件，检测其长度，绘制条形统计图如图：
(1)估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；
(2)如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取2件，假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时，该设备符合生产要求．现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值．
【解析】(1)由条形统计图知，该批次产品长度误差的绝对值X的分布列为
所以X的数学期望E(X)＝0×0.4＋0.01×0.3＋0.02×0.2＋0.03×0.075＋0.04×0.025＝0.010 25.
(2)由(1)可知标准长度的概率为0.4，设至少有1件是标准长度产品为事件B，则P(B)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＝eq \f(16,25)＝0.64＜0.8，故不符合概率不小于0.8的要求．
设生产一件产品为标准长度的概率为x，
由题意知P(B)＝1－(1－x)2≥0.8，
又0＜x＜1，解得1－eq \f(\r(5),5)≤x＜1.
所以概率的最小值为1－eq \f(\r(5),5).
9．共享单车的出现大大方便了人们的出行．已知某城市有A，B，C，D，E五种共享单车，某人在某周的周一至周五这五天中，每天选择其中任意一种共享单车出行的可能性相同．
(1)求此人在这连续五天的出行中共选择了三种共享单车的概率；
(2)记此人在这连续五天的出行中选择的共享单车的种数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
【解析】(1)记“此人在这连续五天的出行中共选择了三种共享单车”为事件M，则事件M包含“某种共享单车用三天，另有两种共享单车各用一天”、“某种共享单车用一天，另有两种共享单车各用两天”两种情况．
所以P(M)＝eq \f(C\\al(3,5)C\\al(3,5)C\\al(1,3)A\\al(2,2)＋C\\al(1,3)C\\al(1,5)C\\al(2,4),55)＝eq \f(12,25).
(2)易知随机变量X的所有可能的取值为1,2,3,4,5，
由(1)知，P(X＝3)＝eq \f(12,25)，
又P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,5),55)＝eq \f(1,625)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,5)C\\al(1,2)C\\al(1,5)＋C\\al(2,5),55)＝eq \f(12,125)，
P(X＝4)＝eq \f(C\\al(4,5)C\\al(1,4)C\\al(2,5)A\\al(3,3),55)＝eq \f(48,125)，
P(X＝5)＝eq \f(A\\al(5,5),55)＝eq \f(24,625)，
则随机变量X的分布列为
所以随机变量X的数学期望E(X)＝1×eq \f(1,625)＋2×eq \f(12,125)＋3×eq \f(12,25)＋4×eq \f(48,125)＋5×eq \f(24,625)＝eq \f(2 101,625).
10．某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取6个家庭，得到数据如下：
(1)据题中数据，求月支出y(千元)关于月收入x(千元)的线性回归方程(保留一位小数)；
(2)从这6个家庭中随机抽取3个，记月支出超过6千元的家庭个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．
参考公式：回归直线的方程是：eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，其中，eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up11(n),\s\d4(i＝1)) xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) xi－\x\t(x)2)＝eq \f(\(∑,\s\up11(n),\s\d4(i＝1))xiyi－n\x\t(x) \x\t(y),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))x\\al(2,i)－n\x\t(x)2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x).
【解析】(1)因为eq \x\t(x)＝eq \f(20＋30＋35＋40＋48＋55,6)＝38，
eq \x\t(y)＝eq \f(4＋5＋6＋8＋8＋11,6)＝7，
eq \(∑,\s\up11(6),\s\d4(i＝1))xiyi＝20×4＋30×5＋35×6＋40×8＋48×8＋55×11＝1 749，
eq \(∑,\s\up11(6),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)＝202＋302＋352＋402＋482＋552＝9 454，
eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(1 749－6×38×7,9 454－6×382)≈0.2，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)＝7－0.2×38＝－0.6，
所以月支出y关于x月收入的线性回归方程是eq \(y,\s\up6(^))＝0.2x－0.6.
(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(3,3)·C\\al(0,3),C\\al(3,6))＝eq \f(1,20)，
P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(2,3)·C\\al(1,3),C\\al(3,6))＝eq \f(9,20)，
P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(1,3)·C\\al(2,3),C\\al(3,6))＝eq \f(9,20)，
P(ξ＝3)＝eq \f(C\\al(0,3)·C\\al(3,3),C\\al(3,6))＝eq \f(1,20).
故ξ的分布列为
数学期望E(ξ)＝0×eq \f(1,20)＋1×eq \f(9,20)＋2×eq \f(9,20)＋3×eq \f(1,20)＝eq \f(3,2).
X
1
2
4
P
0.4
0.3
0.3
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
X
0
2
a
P
eq \f(1,6)
p
eq \f(1,3)
X
－1
0
1
P
eq \f(1,6)
a
b
ξ
0
1
2
P
eq \f(1－p,2)
eq \f(1,2)
eq \f(p,2)
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
X
1
2
3
4
P
eq \f(1,14)
eq \f(3,7)
eq \f(3,7)
eq \f(1,14)
X
0
0.01
0.02
0.03
0.04
P
0.4
0.3
0.2
0.075
0.025
X
1
2
3
4
5
P
eq \f(1,625)
eq \f(12,125)
eq \f(12,25)
eq \f(48,125)
eq \f(24,625)
家庭编号
1
2
3
4
5
6
月收入x(千元)
20
30
35
40
48
55
月支出y(千元)
4
5
6
8
8
11
ξ
0
1
2
3
P
eq \f(1,20)
eq \f(9,20)
eq \f(9,20)
eq \f(1,20)
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