高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第08课时离散型随机变量的分布列、均值与方差(原卷版+解析)

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【回归教材】
1.离散型随机变量的分布列
(1)随着试验结果变化而 叫做随机变量．所有取值可以 的随机变量叫做离散型随机变量．
(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表
为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质：
① ，i＝1,2，…，n； ② ＝1.
2.期望与方差
(1)离散型随机变量的数学期望
定义：一般地，设一个离散型随机变量所有可能的取的值是，，…，，这些值对应的概率是，，…，，则，叫做这个离散型随机变量的均值或数学期望（简称期望）．
离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．
(2)离散型随机变量的方差
一般地，设一个离散型随机变量所有可能取的值是，，…，，这些值对应的概率是，，…，，则叫做这个离散型随机变量的方差．
3.离散型随机变量的期望与方差性质
(1)离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．
的算术平方根叫做离散型随机变量的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．
(2)为随机变量，为常数，则；
(3)二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为，在次二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为．
4.两点分布
如果随机变量X的分布列为
其中04.超几何分布
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝eq \f(C\\al(k,M)C\\al(n－k,N－M),C\\al(n,N))(k＝0,1,2，…，m)．即
其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果随机变量X的分布列具有上式形式，那么称随机变量X服从超几何分布
【典例讲练】
题型一 随机变量的概念
【例1-1】写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量的取值所表示的随机试验的结果：
(1)将10个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~10，现从袋中任取1个球，被取出的球的编号为X；
(2)将15个质地、大小一样的球装入袋中，其中10个红球，5个白球，现从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；
(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X.
归纳总结：
【练习1-1】写出下列随机变量可能的取值，并且说明随机变量所表示的意义.
(1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个球，其中所含白球的个数；
(2)投掷两枚骰子，所得点数之和为，所得点数的最大值为．
题型二 离散型随机变量分布列的性质
【例2-1】【多选题】设随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C．D．
【例2-2】【多选题】设离散型随机变量的分布列为：
若离散型随机变量满足：，则下列结论正确的有（ ）
A．B．C．D．
归纳总结：
【练习2-1】设随机变量X的分布列如下表所示，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【练习2-2】【多选题】设，随机变量的分布列为：
则当m在（0，1）上增大时，（ ）
A．减小B．增大
C．先增后减，最大值为D．先减后增，最小值为
题型三 离散型随机变量的期望与方差
【例3-1】【多选题】若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程X（单位：km）的可能取值是20，22，24，26，28，30，它们出现的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，t，2t．
(1)求X的分布列，并求X的均值和方差；
(2)若网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3km时，收费5元，行驶路程超过3km时，则按每超出1km（不足1km也按1km计程）收费3元计费．试计算此人一天中出车一次收入的均值和方差．
归纳总结：
【练习3-1】假定某射手每次射击命中目标的概率为．现有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为X，求：
(1)X的概率分布； (2)均值； (3)标准差．
题型四 超几何分布
【例4-1】袋中装有个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是.
(1)求白球的个数；
(2)从袋中任意摸出个球，记得到白球的个数为，求随机变量的分布列与数学期望.
归纳总结：
【练习4-1】已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为18，27，27.现采用按比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取8人，进行睡眠时间的调查.
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?
(2)若抽出的8人中有5人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这8人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
【完成课时作业（七十）】
【课时作业（七十）】
A组 础题巩固
1．甲、乙两班进行足球对抗赛，每场比赛赢了的队伍得3分，输了的队伍得0分，平局的话，两队各得1分，共进行三场．用表示甲的得分，则表示（ ）．
A．甲赢三场B．甲赢一场、输两场
C．甲、乙平局三次D．甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次
2．设随机变量服从两点分布，若，则（ ）
A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7
3．已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则（ ）
A．2B．1C．D．
4．设随机变量的分布列为，,分别为随机变量的数学期望与方差，则下列结论正确的是（ ）
A．B． C．D．
5．【多选题】一盒中有8个乒乓球，其中6个未使用过，2个已使用过．现从盒中任取3个球来用，用完后再装回盒中，记盒中已使用过的球的个数为X，则（ ）
A．X的所有可能取值是3，4，5B．X最有可能的取值是5
C．X等于3的概率为D．X的均值是
6．随机变量的分布列如图，且，，成等差数列，则______．
7．随机变量的分布列如下表，则___________.
8．已知随机变量有三个不同的取值，分别是0，1，，其中，又，，则随机变量方差的最小值为_______．
9．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
B组 挑战自我
1．【多选题】已知随机变量的分布列如表：
当a增大时，下列说法正确的是（ ）
A．增大B．减小
C．减小D．增大
2．随机变量X的分布列为
若，，成等差数列，则公差的取值范围是______．
3．第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中m的值，并估计这50名学生成绩的中位数；
(2)在这50名学生中用分层随机抽样的方法从成绩在，，的三组中抽取11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望；
(3)转化为百分制后，规定成绩在的为A等级，成绩在的为B等级，其他为C等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参赛的同学中随机抽取100人，其中获得B等级的人数设为，求的数学期望和方差．
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
0
1
P
1－p
p
X
0
1
…
m
P
eq \f(C\\al(0,M)C\\al(n－0,N－M),C\\al(n,N))
eq \f(C\\al(1,M)C\\al(n－1,N－M),C\\al(n,N))
…
eq \f(C\\al(m,M)C\\al(n－m,N－M),C\\al(n,N))
0
1
2
3
4
0.4
0.1
0.2
0.2
X
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
0
m
1
P
-1
0
1
0
1
2
0.4
0.2
－1
0
1
P
a
X
P
第 8 课时 离散型随机变量的分布列、均值与方差
编写：廖云波
【回归教材】
1.离散型随机变量的分布列
(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量．
(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表
为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质：
①pi≥0，i＝1,2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1.
2.期望与方差
(1)离散型随机变量的数学期望
定义：一般地，设一个离散型随机变量所有可能的取的值是，，…，，这些值对应的概率是，，…，，则，叫做这个离散型随机变量的均值或数学期望（简称期望）．
离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．
(2)离散型随机变量的方差
一般地，设一个离散型随机变量所有可能取的值是，，…，，这些值对应的概率是，，…，，则叫做这个离散型随机变量的方差．
3.离散型随机变量的期望与方差性质
(1)离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．
的算术平方根叫做离散型随机变量的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．
(2)为随机变量，为常数，则；
(3)二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为，在次二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为．
4.两点分布
如果随机变量X的分布列为
其中04.超几何分布
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝eq \f(C\\al(k,M)C\\al(n－k,N－M),C\\al(n,N))(k＝0,1,2，…，m)．即
其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果随机变量X的分布列具有上式形式，那么称随机变量X服从超几何分布
【典例讲练】
题型一 随机变量的概念
【例1-1】写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量的取值所表示的随机试验的结果：
(1)将10个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~10，现从袋中任取1个球，被取出的球的编号为X；
(2)将15个质地、大小一样的球装入袋中，其中10个红球，5个白球，现从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；
(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X.
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3)答案见解析.
【分析】(1)所取球的编号X是离散型随机变量，可能取1，2，，10，如表示取出的是1号球；
(2)从中任取4个球，所含红球的个数为离散型随机变量，可能取1，2，3，4，如表示取出2个红球，2个白球；
(3)骰子两次的点数之和为离散型随机变量，可能取2，3，，12，如表示第一次的点数为1，第二次的点数为1.
(1)
的可能取值为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10；
表示取出k号球；
(2)
的可能取值为：0，1，2，3，4；
表示取出k个红球，个白球，
其中；
(3)
的可能取值为：2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12；
若以表示投掷甲、乙两枚均匀骰子后骰子甲得i点且骰子乙得j点，
则表示，
表示，
表示，
表示，
表示，
表示，
表示，
表示，
表示，
表示，
表示.
归纳总结：
【练习1-1】写出下列随机变量可能的取值，并且说明随机变量所表示的意义.
(1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个球，其中所含白球的个数；
(2)投掷两枚骰子，所得点数之和为，所得点数的最大值为．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】(1)根据的意义确定其可能的取值，再确定取各值时所表示的随机事件；(2) 根据，的意义确定其可能的取值，再确定取各值时所表示的随机事件；
(1)
的所有可能取值为0，1，2．“”表示所取3个球没有白球；“”表示所取3个球是1个白球，2个黑球；“”表示所取3个球是2个白球，1个黑球．
(2)
的所有可能取值为2，3，4，5，……，12，的所有可能取值为1，2，3，4，5，6，若以表示先后投掷的两枚骰子出现的点数，则
“”表示；“”表示，；
“”表示，，；“”表示，，，；“”表示，，，，；
“”表示，，，，，；
“”表示，，，，；
“”表示，，，；“”表示，，；“”表示，；“”表示；
“”表示；“”表示，，；
“”表示，，，，；
“”表示，，，，，，；
“”表示，，，，，，，，；“”表示，，，，，，，，，，．
题型二 离散型随机变量分布列的性质
【例2-1】【多选题】设随机变量的分布列为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】利用随机变量分布列的概率和为，计算出值，判断出A正确；由且，可求出选项B，C，D中的的值，并分别计算出其概率．
【详解】由题意，得，解得，故A正确；
，故B正确；
易知，故C错误；，故D错误；
故选：AB．
【例2-2】【多选题】设离散型随机变量的分布列为：
若离散型随机变量满足：，则下列结论正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据给定的分布列求出q，再利用期望、方差的定义计算作答.
【详解】由分布列知：，，A正确；
，B不正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D不正确.
故选：AC
归纳总结：
【练习2-1】设随机变量X的分布列如下表所示，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根数学期望的公式，结合概率的性质求解即可
【详解】由分布列的性质可得，，即①，
，
，即②，
联立①②解得，，
故．
故选：A．
【练习2-2】【多选题】设，随机变量的分布列为：
则当m在（0，1）上增大时，（ ）
A．减小B．增大
C．先增后减，最大值为D．先减后增，最小值为
【答案】BD
【分析】首先根据分布列的性质求，再分别求期望和方差，根据函数特征判断选项.
【详解】由题意得，，得，，
，增大；
，

当实数m在上增大时，先减小后增大，当时，取最小值.
故选：BD.
题型三 离散型随机变量的期望与方差
【例3-1】【多选题】若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据随机变量服从两点分布推出，根据公式先计算出、，由此分别计算四个选项得出结果．
【详解】随机变量服从两点分布，其中，，
，
，
在A中，，故A正确；
在B中，，故B正确；
在C中，，故C错误；
在D中，，故D正确．
故选：ABD．
【例3-2】某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程X（单位：km）的可能取值是20，22，24，26，28，30，它们出现的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，t，2t．
(1)求X的分布列，并求X的均值和方差；
(2)若网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3km时，收费5元，行驶路程超过3km时，则按每超出1km（不足1km也按1km计程）收费3元计费．试计算此人一天中出车一次收入的均值和方差．
【答案】(1)分布列见解析，，；
(2)均值为71元，方差为.
【分析】（1）利用概率和为1求出的值，然后可得X的分布列，然后算出其期望方差即可；
（2）设此人一天中出车一次的收入为Y元，则，然后利用期望方差的性质可算出答案.
（1）
由题意，得．∴．
∴X的分布列为
∴，
．
（2）
设此人一天中出车一次的收入为Y元，则，
∴，．
故此人一天中出车一次收入的均值为71元，方差为95.4．
归纳总结：
【练习3-1】假定某射手每次射击命中目标的概率为．现有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为X，求：
(1)X的概率分布； (2)均值； (3)标准差．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用相互独立事件概率计算公式即可求解；
（2）利用期望计算公式即可求出；
（3）利用方差计算公式即可求出，进而可得．
(1)
解：X的可能取值为1，2，3，
因为，，．
所以的分布列为：
(2)
解：；
(3)
解：因为方差，
所以．
题型四 超几何分布
【例4-1】袋中装有个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是.
(1)求白球的个数；
(2)从袋中任意摸出个球，记得到白球的个数为，求随机变量的分布列与数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列答案见解析，
【分析】（1）设黑球的个数为，根据题意可得出关于的等式，求出的值，即可得出白球的个数；
（2）分析可知随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值.
(1)
解：设黑球的个数为，若，从袋中任意摸出个球，至少得到个白球为必然事件，不合乎题意，
所以，，由题意可得，可得，则，
，解得，故白球的个数为.
(2)
解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
则，，，
，所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，.
归纳总结：
【练习4-1】已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为18，27，27.现采用按比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取8人，进行睡眠时间的调查.
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?
(2)若抽出的8人中有5人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这8人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
【答案】(1)2人，3人，3人
(2)（i）分布列见解析，；（ii）
【分析】（1）根据甲乙丙三个部分的人数之比，即可根据比例进行计算.
（2）根据超几何分布的概率求解，即可求得分布列，进而可求期望，由所求分布列，即可得抽取三人中有睡眠充足也有不足的事件概率.
(1)
由已知甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为2∶3∶3，由于采用按比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取8人，因此甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取
(2)
（i）的可能取值为0，1，2，3

用表格表示的分布列为
（ii）由（i）知
【完成课时作业（七十）】
【课时作业（七十）】
A组 础题巩固
1．甲、乙两班进行足球对抗赛，每场比赛赢了的队伍得3分，输了的队伍得0分，平局的话，两队各得1分，共进行三场．用表示甲的得分，则表示（ ）．
A．甲赢三场B．甲赢一场、输两场
C．甲、乙平局三次D．甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次
【答案】D
【分析】表示甲队得分为3分这个事件，可以直接列举情况即可.
【详解】由于赢了的队伍得3分，输了的队伍得0分，平局的话，两队各得1分，
所以可以分成两种情况，即或，
即甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次．
故选：D．
2．设随机变量服从两点分布，若，则（ ）
A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7
【答案】D
【分析】由题意可得，再结合，可求出，从而可求出
【详解】由题意得，
因为，
所以解得，
所以，
故选：D
3．已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】A
【分析】X服从超几何分布，求出X的分布列，根据数学期望的计算方法计算即可．
【详解】X可能取1，2，3，其对应的概率为
，
，
，
∴．
故选：A
4．设随机变量的分布列为，,分别为随机变量的数学期望与方差，则下列结论正确的是（ ）
A．B． C．D．
【答案】C
【分析】利用分布列的性质概率之和为1，得出，利用概率的性质可判断A选项，再利用均值方差定义公式以及其性质逐项判断BCD即可.
【详解】因为随机变量的分布列为，由分布列的性质可知，，解得，
对于A，，故A不正确；
对于B，，
，故B不正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，，故D不正确.
故选：C
5．【多选题】一盒中有8个乒乓球，其中6个未使用过，2个已使用过．现从盒中任取3个球来用，用完后再装回盒中，记盒中已使用过的球的个数为X，则（ ）
A．X的所有可能取值是3，4，5B．X最有可能的取值是5
C．X等于3的概率为D．X的均值是
【答案】ACD
【分析】由题意可以判断A，再分别计算出X取3，4，5时的概率结合均值公式即可判断B，C，D.
【详解】易知X的所有可能取值是3，4，5．，，，
所以X最有可能的取值是4，，则B错误，ACD正确．
故选：ACD
6．随机变量的分布列如图，且，，成等差数列，则______．
【答案】
【分析】根据，，成等差数列，结合分布列的性质，可得到，从而可求得答案.
【详解】因为，，成等差数列，故 ，
又 ，故 ，则
故，
故答案为：
7．随机变量的分布列如下表，则___________.
【答案】20
【分析】由概率和为1求出a，先求出和，进而求出.
【详解】由，所以，，
故答案为：20
8．已知随机变量有三个不同的取值，分别是0，1，，其中，又，，则随机变量方差的最小值为_______．
【答案】##0.125
【分析】根据分布列的性质求得，表示出均值，根据方差的公式求得的表达式，结合二次函数的性质求得答案.
【详解】由，，得，
所以随机变量的数学期望，
则方差
当 时，取到最小值，
故答案为：
9．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；
（2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．
（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为．
（2）依题可知，的可能取值为，所以，,，，.即的分布列为
期望.
B组 挑战自我
1．【多选题】已知随机变量的分布列如表：
当a增大时，下列说法正确的是（ ）
A．增大B．减小C．减小D．增大
【答案】AD
【分析】求出随机变量分布列的期望和方差，根据a的取值范围，判断函数的单调性即可.
【详解】由分布列的性质，得．，
则当a增大时，增大，
，
∵，∴当a增大时，增大．
故选：AD．
2．随机变量X的分布列为
若，，成等差数列，则公差的取值范围是______．
【答案】
【分析】由等差数列的性质和分布列的性质得，，，，进而得.
【详解】解：由题意知，，
∴，∴．
又，∴，∴．
同理，由，，∴，
∴，即公差的取值范围是
故答案为：
四、解答题(共0分)
3．第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中m的值，并估计这50名学生成绩的中位数；
(2)在这50名学生中用分层随机抽样的方法从成绩在，，的三组中抽取11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望；
(3)转化为百分制后，规定成绩在的为A等级，成绩在的为B等级，其他为C等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参赛的同学中随机抽取100人，其中获得B等级的人数设为，求的数学期望和方差．
【答案】(1)，68
(2)分布列见解析，
(3)数学期望40，方差24
【分析】（1）根据频率直方图中条形面积和为1求解即可，再根据小于中位数的频率为0.5求解中位数即可；
（2）根据分层抽样的性质可得从，，三组中分别抽取7人、3人、1人，可得的可能取值为0，1，2，3，再分别计算概率求出分布列与数学期望即可；
（3）由题意知，再根据二项分布的数学期望与方差公式求解即可.
（1）
，解得．
前两组的频率之和为，
前三组的频率之和为，
设中位数为，则，
所以，解得．
（2）
，，三组数据频率比为，
所以从，，三组中分别抽取7人、3人、1人．
的可能取值为0，1，2，3，
，，
，．
所以的分布列为
．（或由服从参数为11，3，3的超几何分布，得．）
（3）
的频率为，
由题意知，
所以，
．
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
0
1
P
1－p
p
X
0
1
…
m
P
eq \f(C\\al(0,M)C\\al(n－0,N－M),C\\al(n,N))
eq \f(C\\al(1,M)C\\al(n－1,N－M),C\\al(n,N))
…
eq \f(C\\al(m,M)C\\al(n－m,N－M),C\\al(n,N))
0
1
2
3
4
0.4
0.1
0.2
0.2
X
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
0
m
1
P
X
20
22
24
26
28
30
P
0.1
0.2
0.3
0.1
0.1
0.2

1
2
3




X
0
1
2
3
P
-1
0
1
0
1
2
0.4
0.2
0
10
20
30
0.16
0.44
0.34
0.06
－1
0
1
P
a
X
P
0
1
2
3
P