新高考数学一轮复习考点题型归纳讲练第54讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差（精讲）（2份，原卷版+解析版）

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一、知识点梳理
一、离散型随机变量的分布列
1.随机变量的定义
在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母，，，，…表示．
注：①有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，表示反面向上，表示正面向上．
②随机变量的线性关系：若是随机变量，，是常数，则也是随机变量．
2.离散型随机变量的定义
对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量．
注：离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出．
3.离散型随机变量的分布列的表示
一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下：
我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列．
4.离散型随机变量的分布列的性质
根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
（1），；（2）．
注：①性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数．
②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．
二、离散型随机变量的均值与方差
1.均值
若离散型随机变量的分布列为
称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
2.均值的性质
（1）（为常数）．
（2）若，其中为常数，则也是随机变量，且．
（3）．
（4）如果相互独立，则．
3.方差
若离散型随机变量的分布列为
则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差．
4.方差的性质
（1）若，其中为常数，则也是随机变量，且．
（2）方差公式的变形：．
二、题型分类精讲
题型一 离散型随机变量的概念
策略方法 离散型随机变量分布列的求解步骤
离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系
①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；
②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出．
【典例1】（单选题）下列叙述中，是离散型随机变量的为（ ）
A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
B．某人早晨在车站等出租车的时间
C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D．袋中有个黑球个红球，任取个，取得一个红球的可能性
【题型训练】
一、单选题
1．在下列表述中不是离散型随机变量的是（ ）
①某机场候机室中一天的旅客数量；
②某寻呼台一天内收到的寻呼次数；
③某篮球下降过程中离地面的距离；
④某立交桥一天经过的车辆数X．
A．①中的 B．②中的C．③中的 D．④中的
2．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局二次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
3．①某座大桥一天经过的车辆数为X；
②某通信公司官方客服一天内接听电话的总次数为X；
③一天之内的温度为X；
④一射手对目标进行射击，命中得1分，未命中得0分，用X表示射手在一次射击中的得分.
上述问题中的X是离散型随机变量的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
4．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
5．下面是离散型随机变量的是（ ）
A．电灯泡的使用寿命
B．小明射击1次，击中目标的环数
C．测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值
D．一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置
题型二 离散型随机变量的分布列
策略方法 离散型随机变量分布列的求解步骤
【典例1】（单选题）一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（ ）
A．B．C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为，则的分布列为（ ）
A．

B．

C．

D．

2．一袋中装5个球，编号为1，2，3，4，5，从袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为（ ）
A．B．
C．D．
3．甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．已知随机变量的分布列为：
若，则实数的值可能是（ ）
A．B．C．D．
5．已知随机变量ξ的分布列为：
若，则实数的值可以是（ ）
A．5B．7
C．9D．10
6．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的历史.在某次围棋比赛中，甲，乙两人进入决赛.决赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为，且每局比赛的胜负互不影响，记决赛中的比赛局数为X，则（ ）
A．乙连胜三场的概率是
B．
C．
D．的最大值是
三、填空题
7．数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称有一个“巧合”，求“巧合”个数的分布列 ．
8．从装有除颜色外其余均相同的3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，随机变量的概率分布列如下:
则的值分别为 、 、 .
9．设随机变量的分布为，则 ．
10．某社区为了丰富群众的业余活动，倡导群众参加踢毽子、广场舞、投篮、射门等体育活动．在一次“定点投球”的游戏中，游戏共进行两轮，每小组两位选手，在每轮活动中，两人各投一次，如果两人都投中，则小组得3分；如果只有一个人投中，则小组得1分；如果两人都没投中，则小组得0分．甲、乙两人组成一组，甲每轮投中的概率为，乙每轮投中的概率为，且甲、乙两人每轮是否投中互不影响，各轮结果亦互不影响，则该小组在本次活动中得分之和不低于3分的概率为 ．
四、解答题
11．将个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号.现从中任取个球，以表示取出球的最大号码.
(1)求的分布列；
(2)求的概率.
12．2022年卡塔尔世界杯（英语：FIFAWrldCupQatar2022）是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行､也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的界杯足球赛，体育生更是热爱观看世界杯，某体育学院统计了该校足球系10个班级的学生喜欢观看世界杯的人数，统计人数如下表所示：
(1)该校计划从这10个班级中随机抽取3个班级的学生，就世界杯各国水平发挥进行交谈，求这3个班级喜欢观看世界杯的人数不全相同的概率；
(2)从10个班级中随机选取一个班级，记这个班级喜欢观看世界杯的人数为X，用上表中的频率估计概率，求随机变量X的分布列与数学期望．
13．作为北京副中心，通州区的建设不仅成为京津冀协同发展战略的关键节点，也肩负着医治北京市“大城市病”的历史重任，因此，通州区的发展备受瞩目．2017年12月25日发布的《北京市通州区统计年鉴（2017）》显示：2016年通州区全区完成全社会固定资产投资939.9亿元，比上年增长，下面给出的是通州区2011~2016年全社会固定资产投资及增长率，如图一．又根据通州区统计局2018年1月25日发布：2017年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长．
(1)在图二中画出2017年通州区全区完成全社会固定资产投资（柱状图），标出增长率并补全折线图；
(2)通过计算2011~2017这7年的平均增长率约为，现从2011~2017这7年中随机选取2个年份，记X为“选取的2个年份中，增长率高于的年份的个数”，求X的分布列及数学期望；
(3)设2011~2017这7年全社会固定资产投资总额的中位数为，平均数为，比较和与的大小（只需写出结论）．
14．（1）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中随机的抽取出两个数字，记两个数字的和为X．
（i）求X的分布列；
（ii）求X的数学期望．
（2）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中随机的抽取出三个数字，记三个数字的和为Y．写出Y的数学期望（只需写出结果即可，不需写出推证过程）．
题型三 离散型随机变量的分布列的性质
策略方法 分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．
【典例1】（单选题）若随机变量的分布列为
且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（ ）
A．B．C．D．
2．若随机变量的分布列为
则当时，实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．随机变量ξ的分布列如下：
其中，则等于（ ）
A．B．
C．D．
4．若随机变量的分布列为
且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．设随机变量X的分布列为，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．某银行有一自动取款机，在某时刻恰有个人正在使用或等待使用该取款机的概率为，根据统计得到，则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．已知随机变量X的概率分布如下表（其中a为常数）：
则下列计算结果正确的是（ ）
A．a＝0.1B．P（X≤2）＝0.7
C．P（X≥3）＝0.4D．P（X≤1）＝0.3
8．已知离散型随机变量的分布列为
则下列选项正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．
9．一个盒子里放着大小、形状完全相同的1个黑球、2个白球、2个红球，现不放回地随机从盒子中摸球，每次取一个，直到取到黑球为止，记摸到白球的个数为随机变量，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
10．已知随机变量X的分布列为
且，则 ．
11．离散型随机变量X的概率分布中部分数据丢失，丢失数据以x，y代替，其概率分布如下：
则等于 .
12．随机变量X的分布列如下，其中a，b，c成等差数列，则公差d的取值范围是 .
13．离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则 .
题型四 离散型随机变量的分布列的均值
策略方法 求离散型随机变量X的均值的步骤
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值．
(2)求X取每个值时的概率．
(3)写出X的分布列．
(4)由均值的定义求E(X)．
【典例1】（单选题）一袋中装有编号分别为1，2，3，4的4个球，现从中随机取出2个球，用表示取出球的最大编号，则（ ）
A．2B．3C．D．
【典例2】（单选题）已知随机变量X的分布列为
且，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．已知随机变量的分布列为：
则的均值是（ ）
A．2B．2.1
C．2.3D．随的变化而变化
2．随机变量的概率分布为
则等于（ ）
A．11B．15C．35D．39
3．现有10张奖券，8张2元的、2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的均值是（ ）
A．6B．7.8
C．9D．12
4．为了备战2023斯诺克世锦赛，丁俊晖与赵心童两人进行了热身赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，热身进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设丁俊晖在每局中获胜的概率为，赵心童在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时已打局数为，则（ ）
A．B．C．D．
5．某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记X为其中有奖的瓶数，则为（ ）
A．4B．5C．6D．7
6．元宵节庙会上有一种摸球游戏：布袋中有15个大小和形状均相同的小球，其中白球10个，红球5个，每次摸出2个球．若摸出的红球个数为，则（ ）
A．B．C．D．
7．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜错得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X的均值（ ）
A．0.9B．0.8
C．1.2D．1.1
二、多选题
8．已知X的分布列为
则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．
9．随机变量和，其中，且，若的分布列如表：
则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为取出白球的个数，随机变量为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则下列结论中不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
11．已知离散型随机变量的概率分布如下表，则其数学期望 ；
12．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的概率分布为
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为100元；分2期或3期付款，其利润为150元；分4期付款，其利润为200元．若表示经销一件该商品的利润，则 元．
13．小青准备用万元投资A，B两种股票，已知两种股票收益相互独立，且这两种股票的买入都是每股1万元，每股收益的分布列如下表所示，若投资A种股票万元，则小青两种股票的收益期望和为 万元.
股票A的每股收益分布列
股票B的每股收益分布列
四、解答题
14．某闯关游戏共设置4道题，参加比赛的选手从第1题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继续，直到答完所有题目．设选手甲答对第1题的概率为，甲答对题序为的题目的概率，，各题回答正确与否相互之间没有影响．
(1)若甲已经答对了前3题，求甲答对第4题的概率；
(2)求甲停止答题时答对题目数量的分布列与数学期望．
15．2022年北京承办了第二十四届冬季奥运会，本届冬奥会共设7个大项（滑雪、滑冰、冰球、冰壶、雪车、雪橇、冬季两项），15个分项（高山滑雪、自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪、北欧两项、短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶、雪车、钢架雪车、雪橇、冬季两项），共计109个小项．某校为了调查学生喜欢冰雪运动与性别的关系，在高三年级选取了200名学生进行问卷调查，得到如下的列联表（单位：人）．
已知从这200名学生中随机抽取1人，此人不喜欢冰雪运动的概率为0.2，表格中，．
(1)完成列联表，并判断是否有90%的把握认为是否喜欢冰雪运动与性别有关；
(2)从上述喜欢冰雪运动的学生中用分层抽样的方法抽取8人，再从中抽取3人调查其喜欢的项目，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及数学期望．
附：，其中．
16．某梯级共20级，某人上梯级（从0级梯级开始向上走）每步可跨一级或两级，每步上一级的概率为，上两级的概率为，设他上到第n级的概率为．
(1)求他上到第10级的概率（结果用指数形式表示）；
(2)若他上到第5级时，求他所用的步数X的分布列和数学期望．
17．科普知识是一种用通俗易懂的语言，来解释种种科学现象和理论的知识文字，以普及科学知识为目的.科普知识涵盖了科学领域的各个方面，无论是物理､化学､生物各个学科，还是日常生活无不涉及到科普知识.由于其范围的广泛性，奠定了科普知识的重要意义和影响.某校为了普及科普知识，在全校组织了一次科普知识竞赛.经过初赛､复赛，甲､乙两个代表队（每队3人）进入了决赛.决赛规则为每人回答一个问题，答对者为本队赢得5分，答错或不答者得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响.
(1)设随机变量表示甲队的总得分，求的分布列和数学期望；
(2)求甲､乙两队总得分之和等于15分且乙队得分高的概率.
18．设有甲､乙､丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的5个球，其中甲箱有3个蓝球和2个黑球，乙箱有4个红球和1个白球，丙箱有2个红球和3个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.
(1)若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；
(2)若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量表示最后摸出的2个球的分数之和，求的分布列及数学期望.
题型五 离散型随机变量的分布列的方差
策略方法 求离散型随机变量X的方差的步骤
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值．
(2)求X取每个值时的概率．
(3)写出X的分布列．
(4)由方差的定义求D(X)．
【典例1】（单选题）已知随机变量X的分布列如下表，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【典例2】（单选题）已知的分布列如下表所示，设，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．已知离散型随机变量的分布列如下表所示.
则（ ）
A．B．C．D．
2．已知随机变量X的分布列如下表所示，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知的分布列如下表所示，设，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．某离散型随机变量的分布列如下，若，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知样本数据，，，，，的平均数为16，方差为9，则另一组数据，，，，，，12的方差为（ ）．
A．B．C．D．7
7．甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，则（ ）
A．B．
C．D．
8．设，随机变量的分布列为
则当在内增大时（ ）
A．增大
B．减小
C．先减小后增大
D．先增大后减小
二、多选题
9．若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．设离散型随机变量的分布列如下表：
若离散型随机变量，且，则（ ）
A．B．
C．D．
11．设某项试验成功率是失败率的2倍，若用随变量描述一次试验的成功次数，，分别为随机变量的均值和方差，则（ ）
A．B．
C．D．
12．已知随机变量的分布列如下表所示，且满足，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
13．设离散型随机变量X的分布列为：
则离散型随机变量X的方差 .
14．随机变量的分布列如下，则 ．
15．已知随机变量X，Y满足，且随机变量X的分布列如下：
则随机变量Y的方差等于 ；
16．随机变量的取值为，若，，则 ．
四、解答题
17．袋中有形状、大小完全相同的3个球，编号分别为1，2，3.用表示取出的2个球中的最大号码，有放回地从袋中取两次，每次取1个球
(1)写出的分布列；
(2)求的均值与方差.
18．每年月第三个公休日是全国科普日．某校为迎接年全国科普日,组织了科普知识竞答活动,要求每位参赛选手从道“生态环保题”和道“智慧生活题”中任选道作答每道题被选中的概率相等,设随机变量表示某选手所选道题中“智慧生活题”的个数．
(1)求该选手恰好选中一道“智慧生活题”的概率；
(2)求随机变量的分布列及方差．
19．杂交水稻的育种理论由袁隆平院士在1966年率先提出，1972年全国各地农业专家齐聚海南攻关杂交水稻育种，从此杂交水稻育种在袁隆平院士的理论基础上快速发展.截至2021年5月22日，中国国家水稻数据中心收录杂交水稻品种超1000种.如图为部分水稻稻种的生育期天数的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，估算水稻稻种生育期天数的平均值和第80百分位数；
(2)以频率视作概率，对中国国家水稻中心收录的所有稻种进行检验，
检验规定如下：①检验次数不超过5次；
②若检验出3个生育期超过中位数的稻种则检验结束.
设检验结束时，检验的次数为X，求随机变量X的分布列、期望和方差.
20．甲乙两人进行一场乒乓球比赛.已知每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，甲乙约定比赛采取“3局2胜制”.
(1)求这场比赛甲获胜的概率；
(2)这场比赛甲所胜局数的数学期望（保留两位有效数字）；
(3)根据（2）的结论，计算这场比赛甲所胜局数的方差.
21．为深入学习贯彻党的二十大精神，认真贯彻落实习近平总书记在二十大报告中指出的“加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化，优化区域教育资源配置”指示精神，促进城乡教育高质量共同发展．某市第一中学打算从各年级推荐的总共6名老师中任选3名去参加“送教下乡”的活动．这6名老师中，英语老师､化学老师､数学老师各2名．
(1)求选出的数学老师人数多于英语老师人数的概率；
(2)设表示选出的3人中数学老师的人数，求的均值与方差．
①离散型随机变量
②离散型随机变量的分布列
③离散型随机变量的分布列的性质
④离散型随机变量的分布列的均值
⑤离散型随机变量的分布列的方差
X
1
2
P
X
0
1
P
X
0
1
2
P
X
0
1
2
P
X
0
1
2
P
0.08
0.14
0.78
X
0
1
2
P
0.06
0.24
0.70
X
0
1
2
P
0.06
0.56
0.38
X
0
1
2
P
0.06
0.38
0.56
ξ
－2
－1
0
1
2
3
P
0
1
2
班级
1
2
3
4
5
喜欢观看世界杯的人数
39
35
38
38
36
班级
6
7
8
9
10
喜欢观看世界杯的人数
39
40
37
40
38
X
3
4
5
9
P
X
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.1
0.3
0.1
0.2
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.4
0.2
a
1
2
4
6
0.2
0.1
X
0
1
2
P
0.1
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
x
0.10
y
0.20
X
0
1
P
a
b
c
X
1
2
3
P
1
2
3
0.2
0.5
1
2
4
0.4
0.3
0.3
X
0
1
2
P
a
X
1
2
3
4
P
m
n
P
1
2
3
4
收益/万元
概率
收益/万元
概率
性别
是否喜欢冰雪运动
合计
喜欢
不喜欢
男
a
c
女
b
d
合计
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
X
P
X
0
1
P
a
b
0
1
2
0
1
2
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b
X
1
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5
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m
0.1
0.2
n
0.3
0
2
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0
1
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4
P
0.1
0.4
0.1
0.2
0.2
0
1
2
P
X
0
1
2
P