新高考数学一轮复习考点分类提升 第23讲 三角恒等变换（讲义）（2份，原卷版+解析版）

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1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)，简记作；
(2)，简记作；
(3)，简记作．
2.二倍角公式
(1)；
(2)；
(3)．
3.辅助角公式
，其中为辅助角，且其中，，.
4.公式的逆用及有关变形
(1)；
(2)；；；
(3)；(降幂公式)；
(4)，(升幂公式)．
5.常用结论
(1)；
(2)(降幂公式)；
(3)常用拆角、拼角技巧：例如，；；
；；；等.
考点一：两角和与差的三角函数
例1．在直角坐标系中，若角的终边绕原点O逆时针旋转得到角.已知角的终边经过，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角函数定义求出，再利用差角的余弦公式求解作答.
【详解】依题意，，因此，
又角的终边绕原点O逆时针旋转得到角，则，
所以.
故选：B
例2．已知，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】根据余弦两角和公式和辅助角公式求解即可.
【详解】.
故选：A
考点二：二倍角公式
例3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将条件两边同时平方即可.
【详解】，
，
，
故选：C.
例4．（安徽省黄山市2023届高三第二次质量检测数学试卷）若，则的值可能是（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【分析】利用余弦的二倍角公式和“齐次式”结构，求出或，再利用的周期，化简，从而求出结果.
【详解】由余弦的二倍角公式知，
得到 ，即，解得或，
当时，，
当时，
所以，当时，或，
当时，或，
故选：D.
考点三：辅助角公式
例5．（2023·四川遂宁·统考二模）将函数的图象上的所有点向右平移个单位长度，得到的图象对应的函数可以是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】现利用辅助角公式将f(x)化简，再根据函数图象左右平移即可求出新的函数解析式．
【详解】，
将函数的图象上的所有点向右平移个单位长度，
得到函数．
故选：D．
例6．函数的最小正周期和振幅分别是（ ）
A．，2B．，1C．，2D．，1
【答案】B
【分析】利用倍角公式和辅助角公式将的解析式化为正弦型即可求出答案.
【详解】，
所以的最小正周期是，振幅是，
故选：B.
考点四：三角恒等变换的应用
例7．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用降幂公式及两角和差的余弦公式化简即可得解.
【详解】
.
故选：B.
例8．在△ABC中，已知，且，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】先由可得△ABC为直角三角形，再由可得，可得△ABC为等腰三角形，进而可得答案.
【详解】在△ABC中, ,
，故△ABC为直角三角形，
，即，
，
故△ABC为等腰三角形，
综上：△ABC的形状是等腰直角三角形.
故选：D.
一、单选题
1．若，是方程的两根，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据根与系数的关系求出和，结合两角和的正切公式求得结果.
【详解】，是方程的两根，
，，
则，
故选：A．
2．（2023·青海·校联考模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由，可得，，由求解即可.
【详解】解：由，解得，
则，
则．
故选：A.
3．若，则（ ）
A．B．C．－D．－3
【答案】D
【分析】利用余弦倍角公式和同角三角函数关系结合条件求得，再结合正切的差角公式即得.
【详解】因为，
所以，
即，
所以，
所以.
故选：D.
4．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出的值，利用两角和的正切公式可求得结果.
【详解】因为，则，因此，.
故选：D.
5．已知，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【详解】由题意，可将展开为，再结合两角和的正切公式及即可求值.
【解答】∵，
∴
.
故选：D.
6．（2023·河南·校联考模拟预测）已知向量，，且，则实数的值为（ ）
A．8B．C．4D．
【答案】A
【分析】利用向量垂直的坐标表示，结合数量积公式，即可求解.
【详解】因为，
，.
所以.
所以.
故选：A
7．已知，，则的值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】由条件可得，，两式平方相加可得答案.
【详解】由条件可得，，
两式平方相加可得，所以，
故选：D
8．已知，，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对两式平方求和，可求出的范围，即可求出结果.
【详解】易知，且，
展开整理得，
所以，
因为，所以．
故选：C
9．如图，在梯形中，且为以为圆心为半径的圆弧上的一动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及三角函数的性质求解.
【详解】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则有，，，，设，
得，，，
则
由，当时，有最小值.
故选：B
10．函数（）的最大值为（ ）
A．5B．C．D．7
【答案】A
【分析】利用辅助角公式可得答案.
【详解】由辅助角公式，，其中.则当，即时，取最大值为5.
故选：A
11．已知为锐角，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用配角法及两角和余弦公式，即可得到结果.
【详解】∵为锐角，，
∴，，
∴
，
又，
∴，
故选：B
二、填空题
12．已知，，则______．
【答案】##-0.5
【分析】根据的范围，可得，再根据平方关系式，结合二倍角的正弦公式直接求解即可.
【详解】∵
∴，
∴，又
∴
∴
故答案为：.
13．已知，则__________.
【答案】##-0.6
【分析】利用诱导公式化简可得，然后根据二倍角公式及同角关系式转化为齐次式即得.
【详解】由，得，
则，所以，
所以.
故答案为：.
14．已知函数，若函数在区间上存在两个零点和两个最值点，则m的取值范围是___．
【答案】
【分析】先根据辅助角公式得到，再求出的取值范围，然后根据正弦函数的性质及题意建立不等关系，求得参数的取值范围即可．
【详解】依题意可得，
由，则，
要使函数在区间上存在两个零点和两个最值点，
则，解得．
所以m的取值范围为．
故答案为：．
15．在中，、、分别为角的对边，且满足，则角A的大小是______.
【答案】##
【分析】根据题意结合三角恒等变换运算求解即可得答案.
【详解】由，即，故
则，
可得，解得，
因为，所以.
故答案为：.
16．已知函数，则的最小正周期为______．
【答案】
【分析】利用倍角公式以及辅助角公式变形为的形式，进而可得周期.
【详解】
，
所以的最小正周期为.
故答案为：.
17．已知是方程的两个根，且，则的值是________．
【答案】
【分析】利用韦达定理求得，再根据两角和的正切公式求出，再根据的范围即可得解.
【详解】因为是方程的两个根，
所以，
所以
又因，所以，所以，
则，
所以.
故答案为：.
三、解答题
18．已知向量与，且，其中.
(1)求和的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）根据向量平行的坐标表示可得，再结合，可得解；
（2）根据两角差的余弦公式结合特殊角的三角函数值即得.
【详解】（1）因为向量与，且，
所以，
又，，，，
，；
（2），，
所以，又，
则，
，
又，所以.
19．已知函数，.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求的单调区间；
【答案】(1)
(2)单调递增区间为；单调递减区间为.
【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）利用整体代换的方法，分别计算，，，求解可得答案.
【详解】（1）解：
所以函数的最小正周期．
（2）令，解得，
的单调递增区间为；
令，解得，
的单调递减区间为.
考点一
两角和与差的三角函数
考点二
二倍角公式
考点三
辅助角公式
考点四
三角恒等变换的应用