新高考数学一轮复习考点分类提升 第26讲 平面向量的数量积及其应用（讲义）（2份，原卷版+解析版）

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1.向量的数量积
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,把数量|a||b|csθ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|csθ.
规定:零向量与任一向量的数量积为0.
2.投影向量
已知两个非零向量a与b,a在b上的投影为，投影向量为.
3.向量数量积的性质
设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则
(1)a·e=e·a=|a|csθ；
(2)a⊥b⇔a·b=0；
(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|；当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
特别地, 或|a|=；
(4)|a·b|≤|a||b|.
4.向量数量积的运算律
(1)a·b=b·a(交换律).
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).
(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
5.常用结论
设O为△ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则
(1)O为△ABC的外心⇔||=||=||.
(2)O为△ABC的重心⇔=0.
(3)O为△ABC的垂心⇔.
(4)O为△ABC的内心⇔a+b+c=0.
考点一：利用定义法求平面向量数量积
例1．设向量，的长度分别为4和3，夹角为120°，则的值为（ ）
A．B．6C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的数量积运算即可求出结果.
【详解】由题意得，
则，
故选：C.
考点二：转化法求平面向量数量积
例2．（2023·北京顺义·统考二模）如图，在矩形中，，点P为的中点，则（ ）
A．0B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用向量的线性加减法法则运算与数量积公式运算即可求解.
【详解】
故选：B.
考点三：转化法求平面向量的模
例3．如图所示，已知正方形的边长为，，则向量的模为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】B
【分析】根据图象以及向量模的运算求得正确答案.
【详解】由题意，可知，
所以
.
故选：B.
考点四：数量积和模求平面向量夹角
例4．已知，且，则向量，的夹角为（ ）
A．120°B．90°C．60°D．30°
【答案】A
【分析】利用向量的模和向量的数量积公式，对向量的模进行平方，得到向量，的夹角的余弦值，从而求出夹角.
【详解】设向量，的夹角为，
，，即，
，，，
，.
故选：A.
考点五：投影与投影向量
例5．已知向量，则在方向上的数量投影为___________
【答案】
【分析】根据平面向量投影的定义计算即可
【详解】向量，
， ，
所以 在 方向上的数量投影为
；
故答案为：
例6．已知向量，满足，且，则在上的投影向量是________．
【答案】
【分析】由，求得，再利用在上的投影向量定义求解.
【详解】解：因为，且，
所以 ，解得，
所以在上的投影向量是 ，
故答案为：
一、单选题
1．已知向屋，，，则（ ）
A．30B．18C．12D．9
【答案】C
【分析】求出向量的模，根据数量积的运算律，结合数量积的计算，即可求得答案.
【详解】由题意知，则，
则，
故选：C.
2．在四边形ABCD中，，已知，与的夹角为且，，则（ ）
A．10B．6C．4D．2
【答案】D
【分析】先用与表示，再求数量积得出结果.
【详解】如图，因为，所以四边形ABCD为平行四边形.
因为，所以，
，
已知，与的夹角为且，
.
.
故选：D.
3．如图，在边长为4的等边中，点E为中线BD的三等分点（靠近点B），点F为BC的中点，则=（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】分别用基底，表示出，利用向量运算进行求解.
【详解】因为点E为中线BD的三等分点，点F为BC的中点，
所以,,
所以
因为是边长为4的等边三角形，为中线，
所以，，
所以，
所以.
故选：A.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】通过转化法得，代入数据即可.
【详解】是边长为1的等边三角形,设,分别是边,的中点,
连接并延长到点，使得,如图,
则，，
则
，
故选：B.
5．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）如图,在平行四边形中,,是边的中点,是上靠近的三等分点,若,则（ ）
A．4B．C．D．8
【答案】A
【分析】将通过平面向量基本定理转化到上,展开计算,再将代入即可求得.
【详解】解:由题知,所以,
记,因为且为平行四边形,
所以
,
解得:(舍)或.
故选:A
6．已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】应用向量数量积的运算律可得，结合已知及向量模长的坐标计算即可求结果.
【详解】由题设，，而，，
所以，则.
故选：C
7．已知，，与的夹角为，则（ ）
A．8B．10C．D．
【答案】C
【分析】利用平方的方法，结合向量数量积运算求得正确答案.
【详解】∵，，与的夹角为，
∴，
∴，
∴.
故选：C
8．设向量，，，且，，，且三个向量两两之间的夹角为，则（ ）
A．B．C．4D．
【答案】D
【分析】利用向量的模的运算以及数量积求解即可.
【详解】由已知可得，，
，
，
则
，
则.
故选：D
9．（2023·全国·模拟预测）已知向量，的夹角为，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，由已知条件得，把等式改写为关于的方程，方程有解，判别式，可求的最大值.
【详解】向量，的夹角为，，
则有，
设，，
∴，即，存在，方程有解，
则有，解得，则的最大值为.
故选：B
10．（2023·全国·高三专题练习）设，若向量、、满足，且，则满足条件的k的取值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据题意可得，利用平面向量的数量积的定义和三角函数的性质可得，进而，结合选项即可求解.
【详解】由，得，
所以，
又，
所以，
即，
得，又，所以，
所以k的取值可以是2.
故选：B.
11．已知，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量垂直和向量数量积运算律可构造方程求得，由向量夹角公式可求得结果.
【详解】，，解得：，
，.
故选：C.
12．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）已知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据投影向量的定义求向量在向量上的投影向量即可.
【详解】向量在向量上的投影向量为.
故选：C
13．已知，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先化简，利用夹角公式可得答案.
【详解】因为，所以；
因为所以，
所以，
因为，所以.
故选：B.
14．空间向量，，若，，，则与的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】B
【分析】由，平方求出，代入向量夹角公式，求出与的夹角余弦值,即可得结果.
【详解】由题意可得：，即，解得，
∴，
且，可得.
故选：B.
15．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量，，且，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】根据向量模长的计算公式可得，进而根据夹角公式即可求解.
【详解】由题意得，
由，得，
所以，所以，
故选:D.
16．已知，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由向量的投影向量公式直接求得.
【详解】依题意在上的投影向量为
.
故选：A.
17．已知的外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可
【详解】
所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，
如图：
又，所以为等边三角形，
，，
向量在向量上的投影数量为：．
故投影向量为.
故选：D．
二、填空题
18．（2023·江西·统考模拟预测）已知向量的夹角为，则等于___________.
【答案】19
【分析】利用向量数量积的定义及向量数量积的运算法则即可求出结果.
【详解】因为，又向量的夹角为，
所以.
故答案为：19.
19．已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数的值为________．
【答案】##1.25
【分析】根据平面向量的数量积求解即可.
【详解】由题意，即有，
即，
即，
即，
解得.
故答案为：.
20．已知向量，满足，，且，的夹角为135°，则______.
【答案】
【分析】，结合数量积的公式代入数据计算即可.
【详解】因为向量，满足，，且，的夹角为，
所以.
故答案为：
21．已知，又在方向上的投影向量为，则的值为__________.
【答案】10
【分析】由已知先求出在方向上的投影向量的，再计算的值.
【详解】由已知，可得，
所以在方向上的投影向量，
所以.
故答案为：10.考点一
利用定义法求平面向量数量积
考点二
转化法求平面向量数量积
考点三
转化法求平面向量的模
考点四
数量积和模求平面向量夹角
考点五
投影与投影向量