新高考数学一轮复习考点分类提升 第22讲 三角函数的性质与应用2（讲义）（2份，原卷版+解析版）

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1.正弦函数的“五点(画图)法”
(1)在正弦函数y=sin x(x∈[0,2π])的图象中,五个关键点是:(0,0),,(π,0),,(2π,0).
(2)在余弦函数y=cs x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),,(π,-1),,(2π,1).
2.由函数y=sin x的图象变换到函数y=Asin(ωx+φ)的图象
3.常用结论
考点一：利用三角函数的性质求参数值
例1．（2023·江苏·统考一模）已知函数的图象关于直线对称，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由正弦函数的图象的对称性可得，由此可以求出的值.
【详解】由题得：，故，而，所以.
故选：B.
例2．已知函数的最小正周期为T，若，且的图象关于对称，则（ ）
A．B．1C．3D．
【答案】C
【分析】先根据周期T的范围确定ω的范围，再利用对称性确定ω的值，进而求出的值即可．
【详解】因为，所以，即，
又因为的图象关于对称，所以，，，
所以，，
又因为，所以当时，满足要求，其他均不合要求，
所以．
故选：C
考点二：五点法求三角函数解析式
例3．已知函数的部分图象如下图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由图可求出函数的周期，再由周期公式求出的值，然后将点代入函数关系式中可求出的值
【详解】设函数的最小正周期为，则由题可得，
即，所以，所以，，
即，，因为，所以．
故选:D．
例4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）已知函数，当时，取得最小值，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据时，取得最小值，列出等式后解出，取为连续的整数时，刚好正负发生变化，即可得出的最小值.
【详解】解：因为当时，取得最小值，即，
所以，即，
解得：，当时，，
当时，，所以的最小值是.
故选：C
考点三：利用图像平移求函数解析式或参数值
例5．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个虫位长度
C．向上平移个单位长度D．向下平移个单位长度
【答案】A
【分析】由平移变换的规则求解即可.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数的图象.
故选：A.
例6．将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据周期公式得个周期为，进而根据平移的法则即可求解.
【详解】的周期为，所以个周期为，
故将向右平移个单位得，
故选:D
一、单选题
1．已知函数，，若当时，总有，则正实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意构造函数，从而得出函数在上的单调性，由正弦函数的性质即可求得正实数的范围.
【详解】设，
因为当时，总有，即总有，即总有，
所以当时，为增函数，所以，解得，
则正实数的最大值为.
故选：B
2．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知函数，则“函数是偶函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用必要不充分条件的概念，结合三角函数知识可得答案.
【详解】因为，
若函数是偶函数，则，即 ，又，故或，
若，则为偶函数，
所以“是偶函数“是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3．（2023·新疆阿克苏·校考一模）若函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】由已知可推得，即可求出答案.
【详解】由题意可知，，所以.
又，所以，所以.
故选：B.
4．已知函数的最小正周期为，则函数的图象（ ）
A．关于直线对称B．关于直线对称
C．关于点对称D．关于点对称
【答案】B
【分析】由最小正周期求出，再依次对各选项进行辨析即可.
【详解】∵函数的最小正周期为，
∴，∴，
∴．
根据正弦函数的性质，
由，，解得，，
∴的图象关于直线，对称，
∴时，的图象关于直线对称，故选项B正确，选项A错误；
由，，解得，，
∴的图象关于点，对称，故选项C、D错误.
故选：B.
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数的部分图像如图所示，且的图像关于点中心对称，则（ ）．
A．4B．3C．2D．0
【答案】A
【分析】根据函数图像的最低点及对称中心的位置得到A，B的值，根据点得出的值，由五点作图法可得，即可得出答案．
【详解】由图可知，，
又因为过点，
所以，解得，
又因为，且在的一个减区间上，
所以，
根据五点作图法可知，，解得，
∴，
，
故选：A．
6．函数在一个周期内的图像如图，则此函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据图中函数在一个周期内的图像经过和，可分析出函数的最值、周期，求出后，代入点求，即可得到函数解析式
【详解】函数在一个周期内的图像如图，观察选项，不妨设，，，
由函数图像可得，，，，又，故，
则函数的解析式可化为，将点代入得，即，
又，取，得，此时.
故选：A．
7．函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函数的部分图像得到函数的最小正周期，求出，代入求出值，则函数的解析式可求，取可得的值.
【详解】由图像可得函数的最小正周期为，则.
又，则，
则，，则，，
，则，，则，
.
故选：A.
8．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且函数的图象关于y轴对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据图象变换得解析式，再根据偶函数性质确定，最后计算结果．
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，
得到函数的图象.
若是偶函数，则，∴
，
故选：A
9．为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
①向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的；
②向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的；
③每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度；
④每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度．
A．①④B．①③C．②④D．②③
【答案】A
【分析】利用三角函数图象的平移变换、周期变换进行判断.
【详解】因为，
对于①，函数的图象向左平移个单位长度，得到，
再将每个点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，故①正确；
对于②，函数的图象向右平移个单位长度，得到，
再将每个点的横坐标缩短为原来的，得到，故②错误；
对于③，将函数的图象每个点的横坐标缩短为原来的，得到，
再向右平移个单位长度，得到，故③错误；
对于④，将函数的图象每个点的横坐标缩短为原来的，得到，
再向左平移个单位长度，得到，故④正确．故B，C，D错误.
故选：A.
10．已知曲线：，：，则下面结论正确的是（ ）
A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
【答案】C
【分析】根据三角函数平移伸缩变换的性质即可求解.
【详解】由题可知，
，把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
得到函数的图象，再把得到的曲线向右平移个单位长度，
得到函数的图象，即曲线．
故选：C.
11．将函数 图象上的所有点向左平移m(m>0)个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据图象平移写出平移后的解析式，再结合正弦型函数是偶函数，即可求得参数的值.
【详解】因为函数图象上的所有点向左平移m个单位长度，所得图象对应的函数为y ，所以即
又m>0，所以m的最小值为，
故选：B．
12．（2023·青海·校联考模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先由三角函数的图象变换及诱导公式可得.再利用余弦函数的单调性即可.
【详解】，
令，，解得，，
故的单调递增区间为．
故选：D
二、填空题
13．如图是函数，的部分图象，则函数的一个解析式为______.
【答案】
【分析】由函数的部分图象，求出、、和的值，即可写出的解析式．
【详解】由函数的部分图象知，
， ， ，
由时，，解得，，
，故当时，，
当时，，
所以或，观察图象知，，
所以.
故答案为：
14．（2023·北京海淀·统考一模）已知函数．若在区间上单调递减，则的一个取值可以为_________．
【答案】（不唯一）
【分析】根据正弦型函数的单调性进行求解即可.
【详解】由，
因为在区间上单调递减，且，
所以有，
因此的一个取值可以为，
故答案为：
15．写出一个满足下列条件的正弦型函数，____________．
①最小正周期为； ②在上单调递增； ③成立．
【答案】（答案不唯一）
【分析】设，，根据，则可设，根据最小正周期为，可得，通过整体换元法则可得到，取即可.
【详解】设，，因为，
所以
所以，不妨设
因为最小正周期为，所以
因为在上单调递增，所以
所以，
当时，，不妨设
所以满足条件之一的．
故答案为：.
16．（2023·贵州铜仁·统考二模）若函数在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】化简解析式，求得的取值范围，根据三角函数对称轴和对称中心的知识列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】由题意，函数，
因为，可得，
要使得函数在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，
则满足，解得，所以的取值范围为．
故答案为：
17．已知函数的部分图像如图所示，点A的坐标为，则的值为______.
【答案】
【分析】将点代入函数解析式，求出值，通过判断点所在区间的单调性以及的范围，得出的具体值.
【详解】因为过点，则有，解得：或，
因为处于余弦单调递增区间，则有
因为，所以.
故答案为：
18．函数的图象如下，求它的解析式__________.
【答案】
【分析】根据最高点可确定，利用周期，将代入即可求解.
【详解】由图象最高点可知,由点和可得周期,此时
将代入得,由于
，所以取，故
故答案为：.
19．函数图象上的所有点向右平移个单位长度，再把图象上所得点的横坐标缩短为原来的，所得图象的函数解析式为_____．
【答案】
【分析】根据三角函数图象的变换即可求得解析式.
【详解】将图象上的所有点向右平移个单位长度得：，
再将得到的函数图象上所得点的横坐标缩短为原来的得：.
故答案为：.
20．（2023·福建厦门·统考二模）将函数的图象向左平移个单位长度．得到函数g(x)的图象，若g(x)是奇函数，则φ＝_______．
【答案】
【分析】首先根据平移规律求函数的解析式，再根据函数是奇函数，求的值.
【详解】函数向左平移个单位长度，得到函数，
函数是奇函数，所以，则，，
则，，因为，所以.
故答案为：.
函数
y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)
定义域
R
值域
[-A+b,A+b]
最值
ymax=A+b,取得最大值的x可由ωx+φ=2kπ+(k∈Z)解得;
ymin=-A+b,取得最小值的x可由ωx+φ=2kπ-(k∈Z)解得
周期性
最小正周期T=
奇偶性
当φ=kπ(k∈Z),且b=0时,函数为奇函数;当φ=kπ+(k∈Z)时,函数为偶函数
单调性
单调递增区间可由2kπ-≤ωx+φ≤2kπ+(k∈Z)解得;单调递减区间可由2kπ+≤ωx+φ≤2kπ+(k∈Z)解得
图象的
对称性
对称轴可由ωx+φ=kπ+(k∈Z)解得;
对称中心的纵坐标为b,横坐标可由ωx+φ=kπ(k∈Z)解得
考点一
利用三角函数的性质求参数值
考点二
五点法求三角函数解析式
考点三
利用图像平移求函数解析式或参数值