新高考数学一轮复习考点分类提升 第21讲 三角函数的性质与应用1（讲义）（2份，原卷版+解析版）

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1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
2.常用结论
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
(3)若f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0),则f(x)为偶函数的充要条件是φ=+kπ(k∈Z);
(4)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).
考点一：代入检验法判断三角函数的对称轴和对称中心
例1．已知函数图象恰好关于轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．关于点对称
C．在上单调递增
D．若在区间上存在最大值，则实数的取值范围为
【答案】A
【分析】利用三角函数图象的对称性及诱导公式求得的解析式，再结合三角函数的性质对选项逐一判断即可.
【详解】因为图象恰好关于轴对称，即为偶函数，
所以，解得，
又因为，所以，，
选项A：的最小正周期为，正确；
选项B：由可得不是的对称中心，错误；
选项C：当时，，
所以由余弦函数的图象可得 在单调递增，在单调递减，错误；
选项D：当时，，
若在区间上存在最大值，则，解得，
即实数的取值范围为，错误；
故选：A
例2．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）（多选）若函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为B．函数在区间上单调递增
C．函数图象关于对称D．函数的图象关于点对称
【答案】BCD
【分析】利用三角恒等变换、诱导公式化简得，根据正弦型函数的性质判断A、B，代入法验证函数的对称轴、对称中心判断C、D.
【详解】由，
所以最小正周期为，A错误；
当，则，故在上递增，B正确；
由，故是的一条对称轴，C正确；
由，故是的一个对称点，D正确.
故选：BCD
考点二：整体代入法求三角函数的单调区间对称轴和对称中心
例3．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据周期的计算可判断A，根据对称轴以及对称中心可判断BC，代入验证的表达式可判断D.
【详解】由，得的最小正周期为，故选项A正确；
因为，所以关于点对称，故选项B正确；
因为，所以关于直线对称，故选项C正确；
因为而
，所以，故选项D错误.
故选：D
例4．已知函数，若是函数图象的一条对称轴，则其图象的一个对称中心为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据余弦函数的对称轴公式求解，再由对称中心公式求得结果.
【详解】因为是函数图象的对称轴，
所以，则又因为，
所以.
令，得，
所以函数图象的一个对称中心为.
故选：A.
考点三：图像法求三角函数最值或值域
例5．函数的单调区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】单调区间满足，解得答案.
【详解】函数的单调区间满足：，
解得.
故选：D
例6．函数的最大值为2，且对任意的，恒成立，在区间上单调递增，则的值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】根据函数的最值可得A＝2，根据恒成立可得，由函数的单调性可得，进而求得，求出函数解析式，即可求解.
【详解】因为的最大值为2，所以A＝2，
因为恒成立，所以当时，函数取得最大值，
则，，所以，．
当时，，
因为在区间上单调递增，
所以，解得，即，
所以，则．
所以，
故选：B．
考点四：换元法求三角函数最值或值域
例7．函数的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】先利用三角恒等变换整理得，换元令，结合二次函数求最值.
【详解】由题意可得：，
令，则的对称轴为，
∴当时，取到最大值，
故函数的最大值为.
故选：D.
例8．设函数，，则函数的最小值是（ ）
A．B．0C．D．
【答案】B
【分析】结合的奇偶性、二倍角公式、二次函数的性质求得正确答案.
【详解】依题意函数，，
，所以是偶函数，图象关于轴对称.
当时，，
令，，开口向下，对称轴为，
所以当时，取得最小值为，
即时，取得最小值为，
根据对称性可知，在区间上，的最小值为.
故选：B
一、单选题
1．下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用求解最小正周期，再代入验证，是否是对称轴，对四个选项一一判断.
【详解】A选项，的最小正周期为，
且当时，，故图象关于直线对称，A正确；
B选项，的最小正周期为，B错误；
C选项，当时，，故图象不关于直线对称，C错误；
D选项，当时，，故图象不关于直线对称，D错误.
故选：A.
2．已知函数，下列结论中错误的是（ ）
A．的最小正周期为B．的图像关于直线对称
C．在上单调递增D．的值域为 [-1，1]
【答案】C
【分析】根据周期公式的计算即可判断A，代入 ，取最大值，即可判断B,根据整体范围即可验证C,D.
【详解】的最小正周期为,故A正确，当时，，故的图像关于直线对称，B正确，当时，，故C错误，，故D正确.
故选：C
3．已知函数的图像与直线的相邻两个交点的距离为，则的图像的一个对称中心是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定信息，结合正切函数的性质求出，再列出方程可求解.
【详解】由函数的图像与直线的相邻两个交点的距离为，
则有的周期，解得，
于是得，
所以的图像的对称中心横坐标方程满足，（），
解得，（）,可知为其一个对称中心.
故选：C
4．已知函数，且恒成立，则下列说法中错误的是（ ）
A．
B．是奇函数
C．在区间上单调递增
D．的图象关于点对称
【答案】C
【分析】由题意可得当时，取到最大值，结合正弦函数的最值可求得，即，再根据正弦函数性质逐项分析判断.
【详解】由题意可得：当时，取到最大值，
则，解得，
∴.
对A：，故A不符合题意；
对B：∵，
故函数为奇函数，故B不符合题意；
对C：令，解得，
故的单调递增区间为，
∵，则取，可得在区间上单调递增，在上单调递减，故C符合题意；
对D：∵，∴的图象关于点对称，故D不符合题意.
故选：C.
5．函数图象的对称轴方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】采用整体对应法即可构造方程求得对称轴方程.
【详解】令，解得：，
的对称轴方程为.
故选：C.
6．函数和都是增函数的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正余弦函数图像即可求得结果.
【详解】
函数和在上的图像如图所示，
则由图像可知C选项符合题意，
故选：C.
7．已知函数，则（ ）
A．的图象关于点对称B．的图象关于直线对称
C．为奇函数D．为偶函数
【答案】C
【分析】根据余弦函数的图象性质结合函数的奇偶性的定义求解.
【详解】，，A错误；
，B错误；
，
所以是奇函数，C正确；
，所以不是偶函数，D错误．
故选:C.
8．函数图象的对称中心可能是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令即可求出f(x)对称中心横坐标，从而可判断求解．
【详解】由，得，
当时，．
故选：C．
9．（2023·北京西城·统考一模）函数是（ ）
A．奇函数，且最小值为B．奇函数，且最大值为
C．偶函数，且最小值为D．偶函数，且最大值为
【答案】C
【分析】根据题意可知定义域关于原点对称，再利用同角三角函数之间的基本关系化简可得，由三角函数值域即可得，即可得出结果.
【详解】由题可知，的定义域为，关于原点对称，
且，
而，即函数为偶函数；
所以，又，
即，可得函数最小值为0，无最大值.
故选：C
10．若函数在上存在两个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式化简函数得，
令，则，问题转化为函数的两个交点，
画出图像，找出关系式解出即可.
【详解】因为
所以
令，则
因为，所以
若函数在上存在两个零点，
问题转化为与图像有两个交点
如图
由图可得：
解得：
故选：B.
11．若函数在上的最小值和最大值分别为和4，则实数b的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设则，由条件结合正弦函数的图像性质可得，，从而可得出答案.
【详解】当时，，设则
所以函数在上的最小值和最大值分别为和4，
当时，，
所以要使函数的最小值和最大值分别为和4，
由正弦函数的图像性质可得，，解得.
故选：D
12．已知函数，则（ ）
A．的最大值为3，最小值为1
B．的最大值为3，最小值为-1
C．的最大值为，最小值为
D．的最大值为，最小值为
【答案】C
【分析】利用换元法求解函数的最大值和最小值即可.
【详解】因为函数，
设，，
则，
所以，，
当时，；当时，.
故选：C
13．函数，的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，求得，然后根据正切函数在上递增，可求出函数的值域.
【详解】设，因为，所以．
因为正切函数在上单调递增，且，，
所以．
故选：A．
二、填空题
14．函数的图象的对称轴方程是______（）．
【答案】
【分析】根据正弦型函数的对称性直接求解即可.
【详解】令,
解得，
即函数的图象的对称轴方程是，
故答案为：
15．函数，，则严格单调递减区间是__.
【答案】
【分析】由可求得的取值范围，结合正弦型函数的单调性可求得原函数的递减区间.
【详解】由可得，由可得，
所以，函数，的严格单调递减区间为.
故答案为：.
16．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是__．
【答案】．
【分析】利用整体代换法求出函数的增区间，然后根据题意分析建立不等式组解出即可.
【详解】由，
得，
即函数的单调增区间为，
因为在是增函数，所以区间过原点，且
所以时，的增区间为，
则满足，即，
所以实数的取值范围是
故答案为：.
17．已知函数，则的值域是______.
【答案】
【分析】对自变量进行讨论取绝对值，化简函数，再求函数的值域
【详解】当，
有，
即时，
，
此时值域为；
当，
即，
，此时值域为，
故的值域是.
故答案为：
18．函数的值域是______．
【答案】
【分析】由题可得，然后结合正弦函数的值域即得.
【详解】∵，
所以时，，当时，，
所以函数的值域是.
故答案为：.
19．函数的最大值为__________.
【答案】##1.25
【分析】由同角三角函数的平方关系得,令，根据二次函数的最值，可得答案.
【详解】由已知得,
令，则，
当时，函数有最大值为.
故答案为：
20．函数的最大值为______.
【答案】
【分析】利用三角函数的基本关系式将化为关于的二次函数，从而利用配方法即可得解.
【详解】因为，
又，所以当时，.
故答案为：.
函数
y＝sinx
y＝csx
y＝tanx
图象
定义域
R
R
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R，且x≠kπ＋\f(π,2)))，k∈Z))
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)上是递增函数,在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)上是递减函数
在[2kπ－π,2kπ](k∈Z)上是递增函数,在[2kπ,2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上是递增函数
周期性
周期是2kπ(k∈Z且k≠0),最小正周期是2π
周期是2kπ(k∈Z且k≠0),最小正周期是2π
周期是kπ(k∈Z且k≠0),最小正周期是π
对称性
对称轴是x＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z),对称中心是(kπ,0)(k∈Z)
对称轴是x＝kπ(k∈Z),对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)
对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)
考点一
代入检验法判断三角函数的对称轴和对称中心
考点二
整体代入法求三角函数的单调区间对称轴和对称中心
考点三
图像法求三角函数最值或值域
考点四
换元法求三角函数最值或值域