新高考数学一轮复习考点题型归纳讲练第20讲 三角函数的图像与性质（精讲）（2份，原卷版+解析版）

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一、知识点梳理
一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(下表中)
(1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
(2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质
1．对称与周期
(1)正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；
(2)正(余)弦曲线相邻两个对称中心的距离是；
(3)正(余)弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离；
2．函数具有奇、偶性的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；
(3)函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；
(4)函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
二、题型分类精讲
题型一 正弦函数的图像与性质
【典例1】方程的根中，在内的有（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【答案】A
【分析】方程的解等价于两个函数与图像交点的横坐标，所以分别画出两函数图像，由图即可得出结论.
【详解】如图所示，在区间内|的两个根为和，又因为，所以在区间内|只有一个根.
故选：A.
【典例2】函数在区间上的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】利用二倍角余弦公式得，令其为0，解出值，再根据的范围，即可得到零点.
【详解】令，
解得或，
又,
则或或,
则函数在区间上的零点个数为3个.
故选：B.
【题型训练】
一、单选题
1．函数的图象与直线的交点的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】画出以及的图象，由此确定正确答案.
【详解】在同一平面直角坐标系中画出函数和直线的图象(如图所示)，可得两图象的交点共有4个.
故选：D
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】先判断充分性，再判断非必要性，即得解.
【详解】当时，，所以“”是“”的充分条件；
当时，不一定成立，如，但是，所以“”是“”的不必要条件.
故选：A
【点睛】方法点睛：充分条件必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件灵活选择方法求解.
3．函数最大值为（ ）
A．2B．5C．8D．7
【答案】A
【分析】根据正弦函数的图象与性质直接求解.
【详解】时，，
所以，
所以函数最大值为2.
故选:A.
4．函数的零点是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】令，再根据正弦函数的性质即可得解.
【详解】令，则，
所以，
所以函数的零点是.
故选：B.
5．设函数，则（ ）
A．在区间上是单调递减的B．是周期为的周期函数
C．在区间上是单调递增的D．对称中心为，
【答案】A
【分析】先当时，，又是偶函数，由此可判断命题的真假.
【详解】当时，，在上是单调递减的，故A正确；
是偶函数，无周期性，故B错误；
是偶函数，在单调递减，故C错误；
是偶函数，无对称中心，故D错误；
故选：A
二、多选题
6．函数的图象与直线的交点个数可能是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】ABCD
【分析】根据和对应的的范围，去掉绝对值化简函数解析式，再由解析式画出函数的图象，对分类讨论即可判断．
【详解】解：由题意知，，
，
在坐标系中画出函数的图象如图所示：
由其图象知，当直线，时，，的图象，与直线有且仅有两个不同的交点．
当直线，或时，，的图象，与直线有且仅有三个不同的交点．
当直线，时，，的图象，与直线有且仅有一个不同的交点．
当直线，时，，的图象，与直线无交点．
故选：ABCD．
三、填空题
7．观察正弦函数的图像，可得不等的解集为______．
【答案】
【分析】画出的图像，根据图像确定正确答案.
【详解】画出的图像如下图所示，
由图可知，不等的解集为.
故答案为：
8．函数，的值域是______.
【答案】
【分析】利用整体代换和正弦函数的性质即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，
即函数的值域为.
故答案为：.
9．如果方程在上有两个不同的解，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【分析】结合三角函数图像判断即可；
【详解】
结合三角函数图像可知，当时，直线有两个交点，
故答案为：
题型二 余弦函数的图像与性质
【典例1】函数的图象与直线（为常数）的交点最多有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】D
【分析】作出函数与函数的图象，可得出结论.
【详解】作出函数与函数的图象，如下图所示：
由图可知，当时，函数的图象与直线（为常数）的交点最多有个.
故选：D.
【典例2】不等式在上的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】结合余弦函数图象分析运算，即可得结果.
【详解】∵，则，
注意到，结合余弦函数图象解得.
故选：D.
【题型训练】
一、单选题
1．函数y＝|csx|的一个单调增区间是（ ）
A．B．[0，π]
C．D．
【答案】D
【分析】首先画出的图像，根据图像判断各选项，从而得到答案.
【详解】将y＝的图像位于x轴下方的图像关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图像不变，即得y＝|csx|的图像
根据各选项判断只有D选项正确.
故选：D.
【点睛】本题考查通过函数图像判断函数单调性的知识点，属于基础题型.
2．函数的定义域为
A．B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，结合余弦函数的图象，即可求解.
【详解】函数有意义，须，
解得，
所以函数的定义域为.
故选：C.
【点睛】本题考查函数的定义域，熟练掌握三角函数的图象是解题的关键，属于基础题.
3．已知函数的定义域为，值域为，则的值是
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义域，求出值域，也即求得的值，进而求得的值.
【详解】由于，故，，即，故选B.
【点睛】本小题主要考查三角函数的值域，属于基础题.对于定义域范围不同的三角函数，其值域可借助图像来求解出来.
4．函数的最大值是（ ）
A．B．5C．6D．1
【答案】B
【分析】先由余弦的二倍角公式对函数化简，统一成余弦，然后配方利用余弦函数的有界性可求得其最大值.
【详解】，当，即时，．
故选：B．
【点睛】此题考查了余弦的二倍角公式，配方法，属于基础题.
5．若函数的大致图像是
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先去绝对值，化为分段函数，再根据余弦函数的单调性，得出答案．
【详解】，
在，为减函数，在，为增函数，并且函数值都大于等于0，
只有符合，
故答案为
【点睛】本题主要考查了分段函数的图象，以及余弦函数的图象，关键是化为分段函数，去绝对值，属于基础题．
6．在 内，使 成立的的取值范围为
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】画出在内的图像，根据图像求出使 成立的的取值范围.
【详解】画出在内的图像如下图所示，由图可知，使 成立的的取值范围是，故选A.
【点睛】本小题主要考查和的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
二、多选题
7．下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据正弦在单调递增可判断A,根据在单调递减可判断B,根据诱导公式以及正余弦的单调性可判断C,D.
【详解】对A,因为，在单调递增，所以,故A正确；
对B，因为，在单调递减，所以,故B错误；
对于C,，故C正确；
对于D，，故D错误；
故选：AC
三、填空题
8．若，且，则的取值范围是_____．
【答案】
【分析】由余弦函数的值域有，即可求m的范围.
【详解】由余弦函数的性质知：，可得.
故答案为：
9．方程的解集为___________．
【答案】
【分析】本题可根据余弦函数性质得出结果.
【详解】因为，
所以，即，
故方程的解集为，
故答案为：.
10．在内不等式的解集为__________．
【答案】
【分析】利用余弦函数的性质即可得到结果.
【详解】∵，
∴，
根据余弦曲线可得，
∴.
故答案为：
题型三 正切函数的图像与性质
【典例1】设直线l的斜率为k，且，直线l的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据倾斜角与斜率的关系得到，结合正切函数的图象及，数形结合得到直线l的倾斜角的取值范围.
【详解】由题意得：，
因为，且，，
画出的图象如下：
所以
故选：D
【典例2】函数的定义域为（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】利用正切函数图像可以得到结果.
【详解】由题意可得：，且，
即，
∴，．
故选：C．
【题型训练】
一、单选题
1．方程的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】把方程化为，结合正切函数的性质，即可求解方程的解，得到答案.
【详解】由题意，方程，可化为，
解得，，即方程的解集为.
故选：C.
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据充要条件的定义进行判断即可．
【详解】充分性：当时，符合“”，但是不存在，即“”不能推出“”，故充分性不满足；
必要性：当时，符合，此时不满足 “”，即“”不能推出“”，故充分性不满足；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D．
3．在（0，）内，使成立的的取值范围为（ ）
A．（，）B．
C．D．
【答案】B
【分析】画出和直线的图象，由图象可得不等式的解集.
【详解】
画出和直线的图象，
由图象可得,在上解集为，
故选B.
【点睛】本题考查利用正切函数的图象解不等式，关键是掌握正切函数的图像和性质，利用数形结合思想求解.
4．是的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．既非充分也非必要条件D．充要条件
【答案】C
【分析】利用特值法，结合充分必要条件的定义即可
【详解】由于满足，但推不出，故必要性不满足；
由于满足，但正切值不存在，所以充分性不满足；
所以是的既非充分也非必要条件
故选：C
5．若直线（）与函数的图象无公共点，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可得，得，从而转化为解不等式，利用正切函数的性质求解即可.
【详解】因为直线与函数的图象无公共点，且，
所以，所以，
故可化为，
所以解得
所以不等式的解集为，
故选：B．
6．对于四个函数，，，，下列说法错误的是（ ）
A．不是奇函数，最小正周期是，没有对称中心
B．是偶函数，最小正周期是，有无数多条对称轴
C．不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴
D．是偶函数，最小正周期是，没有对称中心
【答案】D
【分析】利用图象逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，如下图所示：
由图可知，函数不是奇函数，最小正周期是，没有对称中心，A对；
对于B选项，如下图所示：
由图可知，是偶函数，最小正周期是，有无数多条对称轴，B对；
对于C选项，如下图所示：
由图可知，不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴，C对；
对于D选项，如下图所示：
由图可知，函数是偶函数，不是周期函数，没有对称中心，D错.
故选：D.
二、多选题
7．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数B．的定义域是
C．在上单调递增D．的最小正周期是
【答案】AD
【分析】利用偶函数的定义可判断A，利用正切函数的性质可判断B，利用函数的图象可判断CD.
【详解】因为函数，作出函数的大致图象，
对于B，令，得，可知的定义域为，故B错误；
对于A，定义域关于原点对称，且，故是偶函数，故A正确；
对于C，由图象可知函数在上单调递减，在上单调递增，故C错误；
对于D，由的图象的可知函数最小正周期是，故D正确；
故选：AD.
三、填空题
8．若，则该函数定义域为_____________．
【答案】
【分析】解不等式即得解.
【详解】由题得.
所以函数的定义域为.
故答案为：
9．函数的对称轴是___________.
【答案】，
【分析】作出函数的图象，观察图象可得出函数的对称轴方程.
【详解】函数的图象是把轴的下部分翻折到轴的上方可得到的，如下图所示：
由图象可知，函数的对称轴是，.
故答案为：，.
【点睛】本题考查含绝对值的正切函数对称轴的求解，作出函数图象是关键，考查数形结合思想的应用，属于基础题.
①正弦函数的图像与性质
②余弦函数的图像与性质
③正切函数的图像与性质
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
递减区间
无
对称中心
对称轴方程
无