新高考数学一轮复习讲义4.3《三角函数的图象与性质》(2份打包，解析版+原卷版)

§4.3　三角函数的图象与性质

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．

(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，        ，，(2π，1)．

2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)

概念方法微思考

1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？

2．思考函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件？

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数．(　 　)

(2)由sin＝sin 知，是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．(　 　)

(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　 　)

(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　 　)

(5)y＝sin|x|是偶函数．(　 　)

题组二　教材改编

2．函数f(x)＝cos的最小正周期是________．

答案　π

3．y＝3sin在区间上的值域是________．

4．函数y＝－tan的单调递减区间为________________．

题组三　易错自纠

5．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x＝对称的是(　　)

A．y＝2sin   B．y＝2sin

C．y＝2sin   D．y＝2sin

6．函数f(x)＝4sin的单调递减区间是______________________．

7．cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________．

题型一　三角函数的定义域

1．函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)

A.   B.

C.   D.

2．函数y＝的定义域为________．

3．函数y＝lg(sin x)＋的定义域为________．

题型二　三角函数的值域(最值)

例1 (1)函数y＝cos 2x＋2cos x的值域是(　　)

A．[－1,3]   B.

C.   D.

(2)(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是________．

跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是______．

(2)(2018·通辽质检)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为__________．

题型三　三角函数的周期性与对称性

例2 (1)若函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1<T<2，则自然数k的值为________．

(2)(2018·辽阳模拟)若函数y＝cos(ω∈N＋)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为_____________．

跟踪训练2 (1)(2018·抚顺质检)下列函数中，是周期函数的为(　　)

A．y＝sin|x|   B．y＝cos|x|

C．y＝tan|x|   D．y＝(x－1)0

(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，且∀x∈R，有f(x)≤f成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是(　　)

A.   B.

C.   D.

题型四　三角函数的单调性

命题点1　求三角函数的单调区间

例3 (1)函数f(x)＝sin的单调递减区间为________．

(2)函数f(x)＝tan的单调递增区间是____________．

(3)函数y＝sin x＋cos x的单调递增区间是____________．

命题点2　根据单调性求参数

例4 已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．

引申探究

本例中，若已知ω>0，函数f(x)＝cos在上单调递增，则ω的取值范围是_______．

跟踪训练3　(1)已知函数f(x)＝2sin，则函数f(x)的单调递减区间为(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

(2)若函数g(x)＝sin在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是________．

三角函数的图象与性质

纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．

例 (1)在函数①y＝cos|2x|；②y＝|cos x|；③y＝cos；④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)

A．①②③   B．①③④

C．②④   D．①③

(2)(2017·全国Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)

A．f(x)的一个周期为－2π 

B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称

C．f(x＋π)的一个零点为x＝ 

D．f(x)在上单调递减

(3)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为________．

(4)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．

1．函数y＝2sin的图象(　　)

A．关于原点对称

B．关于点对称

C．关于y轴对称

D．关于直线x＝对称

2．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为(　　)

A．－1  B．－  C.  D．0

3．函数y＝sin x2的图象是(　　)

4．函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为(　　)

A．3，－1   B．3，－2

C．2，－1   D．2，－2

5．已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(x)图象的一个对称中心是(　　)

A.   B.

C.   D.

6．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤对任意x∈R恒成立，且f>0，则f(x)的单调递减区间是(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

7．函数y＝的定义域为________．

8．(2018·赤峰模拟)设函数f(x)＝3sin，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．

9．已知函数f(x)＝2sin＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f(x)的最小正周期为________．

10．已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是________．(填序号)

①f(x)的周期是；

②f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}；

③直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴；

④f(x)的单调递减区间是，k∈Z.

11．(2017·北京)已知函数f(x)＝cos－2sin xcos x.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.

12．(2018·呼伦贝尔质检)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；

(2)讨论函数f(x)在上的单调性．

13．定义运算：a*b＝例如1*2=1，则函数f(x)＝sin x*cos x的值域为(　　)

A.   B．[－1,1]

C.   D.

14．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋1，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为，若f(x)>1对任意x∈恒成立，则φ的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

15．已知函数f(x)＝cos(2x＋θ)在上单调递增，若f≤m恒成立，则实数m的取值范围为________．

16．设函数f(x)＝2sin＋m的图象关于直线x＝π对称，其中0<ω<.

(1)求函数f(x)的最小正周期．

(2)若函数y＝f(x)的图象过点(π，0)，求函数f(x)在上的值域．