新高考数学一轮复习题型归纳与强化测试专题26 两角和与差的正弦、余弦和正切（2份，原卷版+解析版）

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【考纲要求】
1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
3.能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).
【考点预测】
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__αcs__β±cs__αsin__β.
cs(α∓β)＝cs__αcs__β±sin__αsin__β.
tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β).
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin__αcs__α.
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
3.函数f(α)＝asin α＋bcs α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq \r(a2＋b2)·cs(α－φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(a,b))).
【常用结论】
1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
2.降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cs α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cs α)2，
sin α±cs α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α±\f(π,4))).
【方法技巧】
1.两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
2.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．
3.常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；eq \f(π,4)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))等．
二、【题型归类】
【题型一】和差公式的直接应用
【典例1】已知α∈(0，π)，且3cs 2α－8cs α＝5，则sin α＝( )
A.eq \f(\r(5),3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,3) D.eq \f(\r(5),9)
【解析】因为3cs 2α－8cs α＝5，所以3(2cs2α－1)－8cs α＝5，所以6cs2α－8cs α－8＝0，所以3cs2α－4cs α－4＝0，解得cs α＝2(舍去)或cs α＝－eq \f(2,3)，因为α∈(0，π)，所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(\r(5),3).
故选A.
【典例2】已知sin α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，tan(π－β)＝eq \f(1,2)，则tan(α－β)的值为( )
A．－eq \f(2,11) B.eq \f(2,11) C.eq \f(11,2) D．－eq \f(11,2)
【解析】因为sin α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(4,5)，
所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(3,4).
因为tan(π－β)＝eq \f(1,2)＝－tan β，
所以tan β＝－eq \f(1,2)，
则tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)＝－eq \f(2,11).
故选A.
【典例3】已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(\r(5),5).
(1)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))的值；
(2)求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2α))的值．
【解析】(1)因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(\r(5),5)，
所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2\r(5),5)，
故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝sin eq \f(π,4)cs α＋cs eq \f(π,4)sin α
＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(5),5)＝－eq \f(\r(10),10).
(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcs α＝2×eq \f(\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq \f(4,5)，cs 2α＝1－2sin2α＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))eq \s\up12(2)＝eq \f(3,5)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2α))＝cs eq \f(5π,6)cs 2α＋sin eq \f(5π,6)sin 2α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))×eq \f(3,5)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＝－eq \f(4＋3\r(3),10).
【题型二】三角函数公式的逆用与变形应用
【典例1】在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cs C的值为( )
A．－eq \f(\r(2),2) B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
【解析】由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝－1，
即tan(A＋B)＝－1，又(A＋B)∈(0，π)，
所以A＋B＝eq \f(3π,4)，则C＝eq \f(π,4)，cs C＝eq \f(\r(2),2).
故选B.
【典例2】已知sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．
【解析】因为sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，
所以sin2α＋cs2β＋2sin αcs β＝1 ①，
cs2α＋sin2β＋2cs αsin β＝0 ②，
①②两式相加可得sin2α＋cs2α＋sin2β＋cs2β＋2(sin αcs β＋cs αsin β)＝1，
所以sin(α＋β)＝－eq \f(1,2).
【典例3】已知sin 2α＝eq \f(1,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝( )
A．－eq \f(1,3) B．eq \f(1,3)
C．－eq \f(2,3) D．eq \f(2,3)
【解析】cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,2))),2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)sin 2α＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).
故选D.
【题型三】三角函数公式中变“角”
【典例1】(多选)若taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝2eq \r(3)，则( )
A．tan α＝eq \f(\r(3),13) B．tan α＝eq \f(\r(3),7)
C．tan 2α＝eq \f(23\r(3),7) D．tan 2α＝eq \f(7\r(3),23)
【解析】tan α＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)－\f(π,3)))＝
eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))－tan \f(π,3),1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))tan \f(π,3))＝eq \f(2\r(3)－\r(3),1＋2\r(3)×\r(3))＝eq \f(\r(3),7)，tan 2α＝eq \f(\f(2\r(3),7),1－\f(3,49))＝eq \f(7\r(3),23).
故选BD.
【典例2】已知α，β都是锐角，cs(α＋β)＝eq \f(5,13)，sin(α－β)＝eq \f(3,5)，则cs 2α＝________．
【解析】因为α，β都是锐角，所以0