新高考数学一轮复习《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》课时练习(2份打包，教师版+原卷版)

新高考数学一轮复习

《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》课时练习

一              、选择题

1.已知α∈(，π)，sin α＝，则tan(α＋)等于(　　)

A.         B.7          C.－          D.－7

【答案解析】答案为：A

解析：∵sin α＝，α∈(，π)，∴cos α＝－＝－，

∴tan α＝＝－，∴tan(α＋)＝＝.

2.若α，β∈(，π)，且sin α＝，sin＝－，则sin β等于(　　)

A.          B.           C.          D.

【答案解析】答案为：B

解析：β＝α－(α－β)，∵＜α＜π，＜β＜π，∴－π＜－β＜－，

∴－＜α－β＜，∵sin(α－β)＝－＜0，∴－＜α－β＜0，

则cos(α－β)＝＝，

∵sin α＝，∴cos α＝－＝－，

则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝.

3.若cos(α＋β)＝，sin(β－)＝，α，β∈(0,)，则cos(α＋)等于(　　)

A.－          B.         C.          D.－

【答案解析】答案为：C

解析：∵(α＋β)－(β－)＝α＋，∴cos(α＋)＝cos[(α＋β)-(β－)]

＝cos(α＋β)·cos(β－)＋sin(α＋β)·sin(β－)，

∵α，β∈(0,)，∴0<α＋β<π，－<β－<，

∴sin(α＋β)＝，cos(β－)＝，∴cos(α＋)＝×＋×＝.

4.设a＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°，b＝2cos213°－1，c＝，则有(　　)

A.c<a<b        B.b<c<a        C.a<b<c        D.b<a<c

【答案解析】答案为：A

解析：化简得a＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°＝sin(17°＋45°)＝sin 62°，

b＝2cos213°－1＝cos 26°＝cos(90°－64°)＝sin 64°，c＝＝sin 60°，

∵正弦函数在[0,]上单调递增， ∴sin 60°<sin 62°<sin 64°，即c<a<b.

5.已知锐角α满足cos－sin α＝，则sin α等于(　　)

A.        B.      C.        D.

【答案解析】答案为：A

解析：cos－sin α＝cos αcos ＋sin αsin －sin α

＝cos αcos－sin αsin＝cos＝.

由α∈可得α＋∈，

又cos＝>0，所以α＋∈，

所以sin＝＝，所以sin α＝×－×＝.

6.已知cos＋sin α＝，则sin的值是(　　)

A.－        B.     C.－        D.

【答案解析】答案为：C

解析：∵cos＋sin α＝cos αcos ＋sin αsin ＋sin α

＝cos α＋sin α＋sin α＝cos α＋sin α＝，

∴cos α＋sin α＝，

∴sin＝－sin＝－＝－.

7.已知sin(α＋15°)＝，则cos(α－30°)等于(　　)

A.        B.－    C.或        D.或－

【答案解析】答案为：D

解析：∵sin(α＋15°)＝，∴cos(α＋15°)＝或－.

当cos(α＋15°)＝时，cos(α－30°)＝cos[(α＋15°)－45°]

＝cos(α＋15°)cos 45°＋sin(α＋15°)·sin 45°＝；

当cos(α＋15°)＝－时，cos(α－30°)＝cos[(α＋15°)－45°]

＝cos(α＋15°)cos 45°＋sin(α＋15°)sin 45°＝－，

∴cos(α－30°)＝或－.

8.已知α＋β＋γ＝π，β为锐角，tanα＝3tan β，则＋的最小值为(　　)

A.          B.         C.           D.

【答案解析】答案为：A

解析：∵α＋β＋γ＝π，

∴tan γ＝－tan(α＋β)＝－＝－，

∴＋＝＋

＝＝(tan β＋)≥×＝，

当且仅当tan β＝，即tan β＝时取等号，

∴＋的最小值为.

9.已知圆O：x2＋y2＝，直线l：y＝kx＋b(k≠0)，l和圆O交于E，F两点，以Ox为始边，逆时针旋转到OE，OF为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题：

①当k为常数，b为变数时，sin(α＋β)是定值；

②当k为变数，b为变数时，sin(α＋β)是定值；

③当k为变数，b为常数时，sin(α＋β)是定值.

其中正确命题的个数是(　　)

A.0          B.1          C.2            D.3

【答案解析】答案为：B

解析：设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，由三角函数的定义得

将直线l的方程与圆O的方程联立

得(k2＋1)x2＋2kbx＋b2－＝0，

由根与系数的关系得

所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝4x2y1＋4x1y2

＝4x2(kx1＋b)＋4x1(kx2＋b)＝8kx1x2＋4b(x1＋x2)＝－，

因此，当k是常数时，sin(α＋β)是定值.

二              、多选题

10. (多选)计算下列几个式子，结果为的是(　　)

A.4sincos       B.2(sin 35°cos 25°＋sin55°cos65°)

C.          D.

【答案解析】答案为：ABD.

解析：对于A,4sin cos ＝2sin ＝；

对于B，原式＝ 2(sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°)=2sin 60°＝；

对于C，原式＝·＝tan ＝；

对于D，原式＝＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝.

11. (多选)已知α，β是锐角，cos α＝，cos(α－β)＝，则cos β等于(　　)

A.        B.        C.          D.－

【答案解析】答案为：AC

解析：由α是锐角，cos α＝，得sin α＝＝，

又α，β是锐角，则－β∈，得α－β∈，

又cos＝，则sin(α－β)＝±，

则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)

＝×±×＝，得cos β＝或cos β＝.

12. (多选)下列说法不正确的是(　　)

A.存在x∈R，使得1－cos3x＝log2

B.函数y＝sin 2xcos 2x的最小正周期为π

C.函数y＝cos 2的一个对称中心为

D.若角α的终边经过点(cos(－3)，sin(－3))，则角α是第三象限角

【答案解析】答案为：ABC

解析：在A中，因为cos x∈[－1,1]，所以1－cos3x≥0，

因为log2<log21＝0，所以不存在x∈R，使得1－cos3x＝log2，故A错误；

在B中，函数y＝sin 2xcos 2x＝sin 4x的最小正周期为，故B错误；

在C中，令2＝＋kπ，k∈Z，得x＝－＋，k∈Z，

所以函数y＝cos 2的对称中心为，k∈Z，故C错误；

在D中，因为cos(－3)＝cos 3<0，sin(－3)＝－sin 3<0，所以角α是第三象限角，故D正确.

三              、填空题

13.计算：tan 80°＋tan 40°－tan 80°·tan 40°＝________.

【答案解析】答案为：－

解析：根据两角和的正切公式，

可得tan 120°＝tan(80°＋40°)＝＝－，

所以tan 40°＋tan 80°＝－(1－tan 40°·tan 80°)＝－＋tan 40°tan 80°，

所以tan 80°＋tan 40°－tan 80°tan 40°＝－.

14.已知coscos=，则sin4θ＋cos4θ的值为        .

【答案解析】答案为：.

解析：因为coscos=

=(cos2θ－sin2θ)=cos2θ=.所以cos2θ=.

故sin4θ＋cos4θ=2＋2=＋=.

15.已知数列{an}满足an＝，{an}的前n项的和记为Sn，则＝______.

【答案解析】答案为：3.

解析：∵an＝＝

＝tan n°－tan°＝－tan°＋tan n°，

∴Sn＝＋＋＋…

＋[－tan(n－1)°＋tan n°]＝tan n°，∴＝＝3.

16.如图，以Ox为始边作钝角α，角α的终边与单位圆相交于点P(x1，y1)，将角α的终边顺时针旋转得到角β，角β的终边与单位圆相交于点Q(x2，y2)，则x2﹣x1的取值范围为________.

【答案解析】答案为：(,1].

解析：由已知得β＝α﹣，x1＝cos α，x2＝cos β＝cos(α﹣)，∴x2﹣x1＝cos β﹣cos α＝cos(α﹣)﹣cos α＝﹣cos α＋sin α＝sin(α﹣)，∵＜α＜π，∴＜α﹣＜，∴sin(α﹣)∈(,1]，即x2﹣x1的取值范围为(,1].