新高考数学一轮复习题型归纳与强化测试专题24 任意角和弧度制及三角函数的概念（2份，原卷版+解析版）

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【考纲要求】
1.了解任意角的概念和弧度制的概念.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
【考点预测】
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为正角、负角、, 零角.,按终边位置不同分为象限角, 和轴线角.))
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
3.任意角的三角函数
(1)设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，
则sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
(2)任意角的三角函数的定义(推广)：
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
【常用结论】
1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.
3.象限角
4.轴线角
【方法技巧】
1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
2.确定kα，eq \f(α,k)(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或eq \f(α,k)的范围，然后根据k的可能取值确定kα或eq \f(α,k)的终边所在位置．
3.应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
4.利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．
5.判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
二、【题型归类】
【题型一】象限角及终边相同的角
【典例1】(多选)下列与角eq \f(2π,3)的终边相同的角是( )
A．eq \f(14π,3) B．2kπ－eq \f(2π,3)(k∈Z)
C．2kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z) D．(2k＋1)π＋eq \f(2π,3)(k∈Z)
【解析】与角eq \f(2π,3)的终边相同的角为2kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z)，k＝2时，4π＋eq \f(2π,3)＝eq \f(14,3)π.
故选AC.
【典例2】集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
【解析】当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋eq \f(π,4)≤α≤2nπ＋eq \f(π,2)，此时α表示的范围与eq \f(π,4)≤α≤eq \f(π,2)表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋eq \f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq \f(π,2)，此时α表示的范围与π＋eq \f(π,4)≤α≤π＋eq \f(π,2)表示的范围一样，故选C．
【典例3】若角α是第二象限角，则eq \f(α,2)是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
【解析】因为α是第二象限角，所以eq \f(π,2)＋2kπ