高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题22两角和与差及二倍角的正弦、余弦、正切公式(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题22两角和与差及二倍角的正弦、余弦、正切公式(原卷版+解析)，共42页。

两角和与差及二倍角的正弦、余弦、正切公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
正用
逆用
变用
二倍角的正弦、余弦、正切公式
正用
逆用
变用
和角、差角、倍角公式的综合运用
求值
化简
练高考 明方向
1.(2023·新高考Ⅱ卷T6） 角满足，则（ ）
A. B.
C. D.
2.(2023·北京卷T13） 若函数的一个零点为，则______；_____．
3.(2023·浙江卷T13） 若，则__________，_________．
4.(2023·新高考Ⅰ卷T18）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）若，求B；（2）求的最小值．
5．(2023年高考全国甲卷理科)若，则( )
A．B．C．D．
6．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)若α为第四象限角，则( )
A．cs2α>0B．cs2α<0C．sin2α>0D．sin2α<0
7．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知，且，则( )
A．B．C．D．
8．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=( )
A．–2B．–1C．1D．2
9．(2023年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知，，则( )
A．B．C．D．
10．(2023年高考数学课标Ⅲ卷（理）)若，则( )
A．B．C．D．
11．(2023全国卷Ⅱ)已知，，则___．
12．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)若在是减函数，则的最大值是( )
A．B．C．D．
13．(2023浙江）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．
(1)求的值；
(2)若角满足，求的值．
14．(2023年全国III）若 ，则
A． B． C．1 D．
15．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知，，则__________．
16．(2023高考数学课标2理科)函数的最大值为_________．
17．(2023高考数学课标1理科)设,,且,则( )
A． B．C． D．
18．(2023高考数学新课标1理科)设当时，函数取得最大值，则 =______．
讲典例 备高考
类型一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用
基础知识：
1．两角和与差的正弦、余弦公式：
(1)sin(α±β)＝sinαcsβ±csαsinβ； (2)cs(α±β)＝csαcsβ∓sinαsinβ；
2.常用和差角正弦、余弦公式变形：
sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β，cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β，
基础题型：
1．(两角差正弦公式的正用)已知α为锐角，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5)，则sin α＝( )
A.eq \f(4\r(3)＋3,10) B.eq \f(4\r(3)－3,10)
C.eq \f(3\r(3)＋4,10) D.eq \f(3\r(3)－4,10)
2．(两角差正弦、两角和正弦公式的正用)若，则______．
3．(两角和正弦公式的逆用)sin 20°sin 80°－cs 160°sin 10°＝________.
4、(两角差余弦公式的逆用)已知sin α＋sin β＝eq \f(1,2)，cs α＋cs β＝eq \f(1,3)，则cs(α－β)的值等于( )
A．－eq \f(7,12) B．－eq \f(17,18) C．－eq \f(59,72) D．－eq \f(109,72)
5、(两角和余弦公式的正用)已知0<α<<β<π，又sin α＝，cs(α＋β)＝－，则sin β＝( )．
A．0B．0或C．D．0或－
6、(两角差余弦公式的正用)若，，，，
则( )
A． B． C． D．
基本方法：
1、使用两角和、差公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
2、使用两角和、差公式求值，应注意与同角三角函数的基本关系、诱导公式的综合应用．
类型二、两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用
基础知识：
1．两角和与差的正切公式：tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β).
2.常用和差角正切公式变形：
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；（2）tan α·tan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β)＝eq \f(tan α－tan β,tanα－β)－1.
(3)eq \f(1－tanα,1＋tanα)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))； (4)eq \f(1＋tanα,1－tanα)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))。
基础题型：
1．（两角差正切公式的正用）若，则= ．
2．（两角差、和正切公式的正用））tan 15°＋tan 105°等于( )
A．－2eq \r(3) B．2＋eq \r(3)
C．4 D.eq \f(4\r(3),3)
3．（两角差和正切公式的正用）已知角α，β∈(0，π)，tan(α＋β)＝eq \f(1,2)，cs β＝eq \f(7\r(2),10)，则角2α＋β＝( )
A.eq \f(9π,4) B.eq \f(3π,4) C.eq \f(5π,4) D.eq \f(π,4)
4、（两角和正切公式的变用）(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝________.
5．（两角和正切公式的变用）已知不是直角三角形，，则__.
基本方法：
1、逆用公式时，要准确找出所给式子和公式的异同，创造条件逆用公式．同时要注意公式成立的条件和角之间的关系．
2、tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．
3、使用两角和、差公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律，还要注意与同角三角函数的基本关系、诱导公式的综合应用．
类型三、二倍角正弦、余弦、正切公式的应用
基础知识：
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin_αcs_α；
(2)cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
2．二倍角余弦公式的变形
(1)降幂公式：sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)；cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)；sin αcs α＝eq \f(1,2)sin 2α.
(2)升幂公式：1＋cs α＝2cs2eq \f(α,2)；1－cs α＝2sin2eq \f(α,2)；1＋sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))2；1－sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))2.
(3)；；

基本题型：
1．（二倍角正弦、正切公式的正用）设，，则的值是_____．
2．（二倍角正弦公式的正用）设α为锐角，若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))的值为( )
A.eq \f(12,25) B.eq \f(24,25)
C．－eq \f(24,25) D．－eq \f(12,25)
3．（二倍角余弦公式的正用）若，则___________.
4．（二倍角正弦、余弦公式的逆用）计算eq \f(sin110°sin20°,cs2155°－sin2155°)的值为( )
A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
5．（二倍角正弦、余弦公式的逆用）若，是第三象限的角，则
A．B． C．2 D．-2
6．（二倍角正切公式的逆用）计算：eq \f(4tan\f(π,12),3tan2\f(π,12)－3)＝( )
A.eq \f(2\r(3),3) B．－eq \f(2\r(3),3) C.eq \f(2\r(3),9) D．－eq \f(2\r(3),9)
7．（二倍角余弦公式的变用）已知，则（ ）
A． B． C． D．
基本方法：
1、逆用公式时，要准确找出所给式子和公式的异同，创造条件逆用公式．同时要注意公式成立的条件和角之间的关系．
2．运用公式时要注意公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变形．
类型四、和角、差角、倍角公式的综合应用之无条件求值
基础知识：
无条件求值：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解。
基本题型：
1．cseq \f(π,12)的值为( )
A.eq \f(\r(6)＋\r(2),2) B.eq \f(\r(6)－\r(2),4) C.eq \f(\r(6)＋\r(2),4) D.eq \r(3)
2．＝（ ）
A．－B．－ C． D．
3．(多选)下列四个等式中正确的是( )
A．tan 25°＋tan 35°＋eq \r(3)tan 25°tan 35°＝eq \r(3) B.eq \f(tan 22.5°,1－tan222.5°)＝1
C．cs2eq \f(π,8)－sin2eq \f(π,8)＝eq \f(1,2) D.eq \f(1,sin 10°)－eq \f(\r(3),cs 10°)＝4
4、sin 50°(1＋eq \r(3)tan 10°) ．
基本方法：
1、无条件求值问题中所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，从三角函数名及角、次数入手．仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数．
2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)，
α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)，eq \f(α－β,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(β,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋β))等．
类型五、和角、差角、倍角公式的综合应用之给值求值（角）
基础知识：
1．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系。
2．“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角。
基本题型：
1．（给值求值）已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
2、（给值求角）若sin 2α＝eq \f(\r(5),5)，sin(β－α)＝eq \f(\r(10),10)，且α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，则α＋β的值是( )
A.eq \f(9π,4) B.eq \f(7π,4)
C.eq \f(5π,4)或eq \f(7π,4) D.eq \f(5π,4)或eq \f(9π,4)
3．（给值求值）若，，则（ ）．
A．B．0C．D．或0
4、（给值求角）已知α、β∈(0，π)，tanα＝2，csβ＝－eq \f(7\r(2),10)，则2α－β的值为 。
5．（给值求值）已知为第二象限角，且，求的值______.
6．（给值求值、求角）已知.
（1）若，，求α的值；（2）若，，求f(x)的值.
7．（给值求值、求角）已知锐角与钝角，，．
（1）求的值；（2）求的值．
8．（给值求值）已知，，，
(1)求和的值；(2)求的值．
基本方法：
1、给值求值（角）的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示．
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
2．在求角时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为单调函数，一般遵循以下原则：
(1)已知正切函数值，选正切函数．
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数；若角的范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，选正弦函数．
3、解决求角问题的一般步骤
(1)求角的某一个三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围求出要求的角．
类型六、和角、差角、倍角公式的综合应用之三角化简
基础知识：
1、化简原则
一看式中各角：通过看三角函数式中各角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
二看函数名称：函数名称之间的差异，从而确定使用的公式。常见的有切化弦；
三看结构特征：分式结构特征，找到变形的方向，常见的有遇到分式要通分，整式因式分解，二次式配
方等
2．化简要求
(1)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；
(2)式子中的分母尽量不含三角函数；
(3)尽量使被开方数不含三角函数等．
基本题型：
1．化简：2eq \r(sin 8＋1)＋eq \r(2cs 8＋2)＝( )
A．4cs 4 B．－2sin 4－4cs 4
C．4sin 4 D．4cs 4－2sin 4
2．设sin 20°＝m，cs 20°＝n，化简eq \f(tan 10°＋1,1－tan 10°)－eq \f(1,1－2sin210°)＝( )
A.eq \f(m,n) B．－eq \f(m,n) C.eq \f(n,m) D．－eq \f(n,m)
3．化简：eq \f(1＋sin α＋cs α\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))),\r(2＋2cs α))(180°＜α＜360°)＝________.
4．化简：(1)eq \f(sin2α＋β,sin α)－2cs(α＋β)；(2)eq \f(1,tan\f(α,2))－taneq \f(α,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋tan α·tan\f(α,2))).
基本方法：
1．化简方法
(1)异名化同名、异次化同次、异角化同角、弦切互化；
(2)“1”的代换，三角公式的正用、逆用．
新预测 破高考
1．若，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知α终边与单位圆的交点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，\f(3,5)))，且α是第二象限角，则eq \r(1－sin 2α)＋eq \r(2＋2cs 2α) 的值等于( )
A.eq \f(1,5) B．－eq \f(1,5)
C．3 D．－3
3、已知α为锐角，β为钝角且cs α＝eq \f(2\r(5),5)，tan β＝－3，则α＋β的值为( )
A.eq \f(3π,4) B.eq \f(2π,3) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,4)
4、sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－sin2α＝( )
A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(\r(3),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
5．(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)的值是( )
A.eq \r(3) B．1＋eq \r(2)
C．2 D．2(tan 18°＋tan 27°)
6、定义：eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(\s\up7(a b),\s\d5(c d))))＝ad－bc，如eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(\s\up7(1 2),\s\d5(3 4))))＝1×4－2×3＝－2，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(\s\up7(cs 45° sin 75°),\s\d5(sin 135° cs 105°))))＝( )
A．0 B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(\r(3),2) D．1
7．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图（如图）是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为，，且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．若，，则
A． B． C． D．
9．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
10、若α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(12,13)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值等于( )
A．－eq \f(56,65) B.eq \f(56,65)
C．－eq \f(5,13) D．－eq \f(16,65)
11．(多选)已知α，β，γ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sin α＋sin γ＝sin β，cs β＋cs γ＝cs α，则下列说法正确的是( )
A．cs(β－α)＝eq \f(1,2) B．cs(β－α)＝－eq \f(1,2)
C．β－α＝eq \f(π,3) D．β－α＝－eq \f(π,3)
eq \f(sin235°－\f(1,2),cs 10°·cs 80°)的值为_______．
13．已知，，则的值为_______．
14．化简：eq \f(2cs4x－2cs2x＋\f(1,2),2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)))＝________.
15．（2023·江苏徐州）已知，，则的值为_______．
16．已知0<α17．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝eq \f(1,2)，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则tan β的值为________．
18．设x，y∈(0，π)，且满足eq \f(sin2x－cs2x＋cs2xcs2y－sin2xsin2y,sinx＋y)＝1，则x－y＝__________.
19．已知tan α，tan β是方程x2＋3eq \r(3)x＋4＝0的两根，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，则α＋β的值为________．
20．已知，．
(1)求的值；(2)求的值．
21．已知函数．
(1) 求的值；(2) 若，求．
22．已知函数，（其中，）的最小正周期为10．
(1)求的值；
(2)设,,,求的值．
23．已知为锐角，，．
(1)求的值；(2)求的值．
2023高考一轮复习讲与练
专题22 两角和与差及二倍角的正弦、余弦、正切公式
两角和与差及二倍角的正弦、余弦、正切公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
正用
逆用
变用
二倍角的正弦、余弦、正切公式
正用
逆用
变用
和角、差角、倍角公式的综合运用
求值
化简
练高考 明方向
1.(2023·新高考Ⅱ卷T6） 角满足，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
分析：由两角和差正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】由已知得：,
即：，即：,
所以,
2.(2023·北京卷T13） 若函数的一个零点为，则______；_____．
答案： ①. 1 ②.
【解析】
分析：先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可.
【详解】∵，∴，∴
3.(2023·浙江卷T13） 若，则__________，_________．
答案： ①. ②.
【解析】
分析：先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求．
【详解】，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴，则．
4.(2023·新高考Ⅰ卷T18）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）若，求B；（2）求的最小值．
答案：（1）； （2）．
【解析】
分析：（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
【小问1详解】因为，
即，而，所以；
【小问2详解】
由（1）知，，所以，而，
所以，即有．所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
5．(2023年高考全国甲卷理科)若，则( )
A．B．C．D．
答案：A
解析：，
，，，解得，
，．
【点睛】本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出．
6．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)若α为第四象限角，则( )
A．cs2α>0B．cs2α<0C．sin2α>0D．sin2α<0
答案：D
解析：当时，，选项B错误；当时，，选项A错误；由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；
【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
7．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知，且，则( )
A．B．C．D．
答案：A
【解析】，得，即，
解得或（舍去），又．
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题．
8．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=( )
A．–2B．–1C．1D．2
答案：D
解析：，，令，则，
整理得，解得，即．
【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题．
9．(2023年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知，，则( )
A．B．C．D．
答案：B
【解析】∵，∴.,∴，，
∴，又，∴，，又，∴．
【点评】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为关系得出答案．本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．
10．(2023年高考数学课标Ⅲ卷（理）)若，则( )
A．B．C．D．
答案：B
解析：，故选B．
11．(2023全国卷Ⅱ)已知，，则___．
答案：
【解析】∵，，∴ ①，
②，①②两式相加可得
，∴．
12．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)若在是减函数，则的最大值是( )
A．B．C．D．
答案：A
解析：由已知，得，即，
解得，即，所以，得，
所以的最大值是，故选A．
13．(2023浙江）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．
(1)求的值；
(2)若角满足，求的值．
【解析】(1)由角的终边过点得，所以．
(2)由角的终边过点得，由得．
由得，
所以或．
14．(2023年全国III）若 ，则
A． B． C．1 D．
答案：A
【解析】由，，得，或
，，所以，
则，故选A．
15．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知，，则__________．
答案：
解析：因为，所以，
，相加得，所以．
16．(2023高考数学课标2理科)函数的最大值为_________．
答案：1
解析：
，所以最大值为1
17．(2023高考数学课标1理科)设,,且,则( )
A． B．C． D．
答案： B
解析:∵,∴
,
∴,即,选B
18．(2023高考数学新课标1理科)设当时，函数取得最大值，则 =______．
答案：
解析：∵==，令=，，
则==，当=，
即=时，取最大值，此时=，
∴===．
讲典例 备高考
类型一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用
基础知识：
1．两角和与差的正弦、余弦公式：
(1)sin(α±β)＝sinαcsβ±csαsinβ； (2)cs(α±β)＝csαcsβ∓sinαsinβ；
2.常用和差角正弦、余弦公式变形：
sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β，cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β，
基础题型：
1．(两角差正弦公式的正用)已知α为锐角，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5)，则sin α＝( )
A.eq \f(4\r(3)＋3,10) B.eq \f(4\r(3)－3,10)
C.eq \f(3\r(3)＋4,10) D.eq \f(3\r(3)－4,10)
答案：B
【解析】∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5)(α为锐角)，∴α＋eq \f(π,6)为锐角，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，
∴sin α＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))cseq \f(π,6)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))sineq \f(π,6)＝eq \f(4,5)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(3,5)×eq \f(1,2)＝eq \f(4\r(3)－3,10).
2．(两角差正弦、两角和正弦公式的正用)若，则______．
答案：
【详解】，
，，。
3．(两角和正弦公式的逆用)sin 20°sin 80°－cs 160°sin 10°＝________.
答案：eq \f(1,2)
【解析】∵sin 80°＝sin(90°－10°)＝cs 10°，cs 160°＝cs(180°－20°)＝－cs 20°，
∴sin 20°sin 80°－cs 160°sin 10°＝sin 20°cs 10°＋cs 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).
4、(两角差余弦公式的逆用)已知sin α＋sin β＝eq \f(1,2)，cs α＋cs β＝eq \f(1,3)，则cs(α－β)的值等于( )
A．－eq \f(7,12) B．－eq \f(17,18) C．－eq \f(59,72) D．－eq \f(109,72)
答案：C
【解析】sin α＋sin β＝eq \f(1,2)⇒sin2α＋sin2β＋2sin αsin β＝eq \f(1,4) ①，
cs α＋cs β＝eq \f(1,3)⇒cs2α＋cs2β＋2cs αcs β＝eq \f(1,9) ②，
①＋②得，2＋2(sin αsin β＋cs αcs β)＝eq \f(13,36)⇒cs(α－β)＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,36)－2))＝－eq \f(59,72).
5、(两角和余弦公式的正用)已知0<α<<β<π，又sin α＝，cs(α＋β)＝－，则sin β＝( )．
A．0B．0或C．D．0或－
答案：C
【解析】因为 ，所以 ．因为，所以，因为，所以，整理可得，因为，所以，所以．
6、(两角差余弦公式的正用)若，，，，
则( )
A． B． C． D．
答案：C
【解析】，
已知，，则，，
又，，因此，，
则．
基本方法：
1、使用两角和、差公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
2、使用两角和、差公式求值，应注意与同角三角函数的基本关系、诱导公式的综合应用．
类型二、两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用
基础知识：
1．两角和与差的正切公式：tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β).
2.常用和差角正切公式变形：
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；（2）tan α·tan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β)＝eq \f(tan α－tan β,tanα－β)－1.
(3)eq \f(1－tanα,1＋tanα)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))； (4)eq \f(1＋tanα,1－tanα)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))。
基础题型：
1．（两角差正切公式的正用）若，则= ．
答案：
【解析】．
2．（两角差、和正切公式的正用））tan 15°＋tan 105°等于( )
A．－2eq \r(3) B．2＋eq \r(3)
C．4 D.eq \f(4\r(3),3)
答案：A
【解析】tan 15°＋tan 105°＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(45°－30°))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(60°＋45°))＝eq \f(tan 45°－tan 30°,1＋tan 45°·tan 30°)＋eq \f(tan 60°＋tan 45°,1－tan 60°·tan 45°)＝－2eq \r(3).
3．（两角差和正切公式的正用）已知角α，β∈(0，π)，tan(α＋β)＝eq \f(1,2)，cs β＝eq \f(7\r(2),10)，则角2α＋β＝( )
A.eq \f(9π,4) B.eq \f(3π,4) C.eq \f(5π,4) D.eq \f(π,4)
答案：D
【解析】∵β∈(0，π)，cs β＝eq \f(7\r(2),10)，∴β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴sin β＝eq \f(\r(2),10)，∴tan β＝eq \f(1,7).又tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(1,2)，即eq \f(tan α＋\f(1,7),1－\f(1,7)tan α)＝eq \f(1,2)，解得tan α＝eq \f(1,3)，∴α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))).∴tan(2α＋β)＝tan[(α＋β)＋α]＝eq \f(tanα＋β＋tan α,1－tanα＋β·tan α)＝1，
又2α＋β∈(0，π)，∴2α＋β＝eq \f(π,4).
4、（两角和正切公式的变用）(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝________.
答案：2
【解析】由题意知，原式＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°·tan 25°.因为tan 20°＋tan 25°
＝tan 45°(1－tan 20°·tan 25°)＝1－tan 20°tan 25°，所以原式＝2－tan 20°·tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.
5．（两角和正切公式的变用）已知不是直角三角形，，则__.
答案：2.
【详解】因为，所以，则，整理得，所以
，
基本方法：
1、逆用公式时，要准确找出所给式子和公式的异同，创造条件逆用公式．同时要注意公式成立的条件和角之间的关系．
2、tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．
3、使用两角和、差公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律，还要注意与同角三角函数的基本关系、诱导公式的综合应用．
类型三、二倍角正弦、余弦、正切公式的应用
基础知识：
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin_αcs_α；
(2)cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
2．二倍角余弦公式的变形
(1)降幂公式：sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)；cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)；sin αcs α＝eq \f(1,2)sin 2α.
(2)升幂公式：1＋cs α＝2cs2eq \f(α,2)；1－cs α＝2sin2eq \f(α,2)；1＋sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))2；1－sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))2.
(3)；；

基本题型：
1．（二倍角正弦、正切公式的正用）设，，则的值是_____．
答案：
【解析】 ，则，又，
则，．
2．（二倍角正弦公式的正用）设α为锐角，若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))的值为( )
A.eq \f(12,25) B.eq \f(24,25)
C．－eq \f(24,25) D．－eq \f(12,25)
答案：B
【解析】∵α为锐角，即0＜α＜eq \f(π,2)，∴eq \f(π,6)＜α＋eq \f(π,6)＜eq \f(2π,3)，∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6))))＝eq \f(3,5)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝2×eq \f(3,5)×eq \f(4,5)＝eq \f(24,25)。
3．（二倍角余弦公式的正用）若，则___________.
答案：
【详解】因为，两边平方，可得，可得，所以，，可得，
所以.
4．（二倍角正弦、余弦公式的逆用）计算eq \f(sin110°sin20°,cs2155°－sin2155°)的值为( )
A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
答案：B
【解析】 eq \f(sin110°sin20°,cs2155°－sin2155°)＝eq \f(sin70°sin20°,cs310°)＝eq \f(cs20°sin20°,cs50°)＝eq \f(\f(1,2)sin40°,sin40°)＝eq \f(1,2)。
5．（二倍角正弦、余弦公式的逆用）若，是第三象限的角，则
A．B． C．2 D．-2
答案：A
【解析】 ∵，且是第三象限，∴，
∴
．
6．（二倍角正切公式的逆用）计算：eq \f(4tan\f(π,12),3tan2\f(π,12)－3)＝( )
A.eq \f(2\r(3),3) B．－eq \f(2\r(3),3) C.eq \f(2\r(3),9) D．－eq \f(2\r(3),9)
答案：D
【解析】原式＝－eq \f(2,3)·eq \f(2tan\f(π,12),1－tan2\f(π,12))＝－eq \f(2,3)taneq \f(π,6)＝－eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),3)＝－eq \f(2\r(3),9).
7．（二倍角余弦公式的变用）已知，则（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】因为，
所以，选A.
基本方法：
1、逆用公式时，要准确找出所给式子和公式的异同，创造条件逆用公式．同时要注意公式成立的条件和角之间的关系．
2．运用公式时要注意公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变形．
类型四、和角、差角、倍角公式的综合应用之无条件求值
基础知识：
无条件求值：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解。
基本题型：
1．cseq \f(π,12)的值为( )
A.eq \f(\r(6)＋\r(2),2) B.eq \f(\r(6)－\r(2),4) C.eq \f(\r(6)＋\r(2),4) D.eq \r(3)
答案：C
【详解】cseq \f(π,12)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(π,4)))＝cseq \f(π,3)cseq \f(π,4)＋sineq \f(π,3)sineq \f(π,4)＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
2．＝（ ）
A．－B．－ C． D．
答案：D
【详解】原式＝＝
＝.
3．(多选)下列四个等式中正确的是( )
A．tan 25°＋tan 35°＋eq \r(3)tan 25°tan 35°＝eq \r(3) B.eq \f(tan 22.5°,1－tan222.5°)＝1
C．cs2eq \f(π,8)－sin2eq \f(π,8)＝eq \f(1,2) D.eq \f(1,sin 10°)－eq \f(\r(3),cs 10°)＝4
答案：AD
【详解】A选项，∵tan(25°＋35°)＝eq \f(tan 25°＋tan 35°,1－tan 25°tan 35°)＝eq \r(3)，∴tan 25°＋tan 35°＝eq \r(3)(1－tan 25°tan 35°)＝eq \r(3)－eq \r(3)tan 25°tan 35°，∴tan 25°＋tan 35°＋eq \r(3)tan 25°tan 35°＝eq \r(3)，正确；B选项，∵tan 45°＝eq \f(tan 22.5°＋tan 22.5°,1－tan222.5°)＝1，∴eq \f(tan 22.5°,1－tan222.5°)＝eq \f(1,2)，错误；C选项，cs2eq \f(π,8)－sin2eq \f(π,8)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,8)))＝cseq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)，错误；D选项，eq \f(1,sin 10°)－eq \f(\r(3),cs 10°)＝eq \f(cs 10°－\r(3)sin 10°,sin 10°cs 10°)＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°－\f(\r(3),2)sin 10°)),sin 10°cs 10°)＝eq \f(2sin 30°cs 10°－cs 30°sin 10°,\f(1,2)×2sin 10°cs 10°)＝eq \f(2sin 20°,\f(1,2)sin 20°)＝4，正确.
4、sin 50°(1＋eq \r(3)tan 10°) ．
答案：1
【详解】法一：原式＝sin 50°·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\r(3)·\f(sin 10°,cs 10°)))＝sin 50°·eq \f(cs 10°＋\r(3)sin 10°,cs 10°)＝sin 50°·eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°＋\f(\r(3),2)sin 10°)),cs 10°)
＝eq \f(2sin 50°·cs 50°,cs 10°)＝eq \f(sin 100°,cs 10°)＝eq \f(cs 10°,cs 10°)＝1.
法二：令sin 50°(1＋eq \r(3)tan 10°)＝t，所以有sin 50°·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\r(3)\f(sin 10°,cs 10°)))＝t，
所以有sin 50°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs 10°＋\r(3)sin 10°,cs 10°)))＝t，即sin 50°·2sin(10°＋30°)＝tcs 10°，
得2sin 50°cs 50°＝tcs 10°，即sin 100°＝cs 10°＝tcs 10°⇒t＝1.即原式＝1.
基本方法：
1、无条件求值问题中所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，从三角函数名及角、次数入手．仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数．
2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)，
α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)，eq \f(α－β,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(β,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋β))等．
类型五、和角、差角、倍角公式的综合应用之给值求值（角）
基础知识：
1．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系。
2．“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角。
基本题型：
1．（给值求值）已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】因为，所以，
即，所以，即，
所以，
2、（给值求角）若sin 2α＝eq \f(\r(5),5)，sin(β－α)＝eq \f(\r(10),10)，且α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，则α＋β的值是( )
A.eq \f(9π,4) B.eq \f(7π,4)
C.eq \f(5π,4)或eq \f(7π,4) D.eq \f(5π,4)或eq \f(9π,4)
答案：B
【解析】∵α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，∴2α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，2π))，又0＜sin 2α＝eq \f(\r(5),5)＜eq \f(1,2)，∴2α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π))，即α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，\f(π,2)))，
∴β－α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(13π,12)))，∴cs 2α＝－eq \r(1－sin22α)＝－eq \f(2\r(5),5).又sin(β－α)＝eq \f(\r(10),10)，∴β－α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
∴cs(β－α)＝－eq \r(1－sin2β－α)＝－eq \f(3\r(10),10)，
∴cs(α＋β)＝cs[2α＋(β－α)]＝cs 2αcs(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－eq \f(2\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(10),10)))－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2).
又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，∴α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17π,12)，2π))，∴α＋β＝eq \f(7π,4).
3．（给值求值）若，，则（ ）．
A．B．0C．D．或0
答案：A
【详解】由，可得，
即．因为，所以，，即，于是，所以．
4、（给值求角）已知α、β∈(0，π)，tanα＝2，csβ＝－eq \f(7\r(2),10)，则2α－β的值为 。
答案：－eq \f(π,4)
【解析】法一：因为tanα＝2>0，α∈(0，π)，所以α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))。
因为csβ＝－eq \f(7\r(2),10)，β∈(0，π)，所以β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且tanβ＝－eq \f(1,7)。
所以α－β∈(－π，0)，tan(α－β)＝eq \f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝3>0，
所以α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))，所以2α－β∈(－π，0)。
因为tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝eq \f(tanα＋tanα－β,1－tanαtanα－β)＝－1，所以2α－β＝－eq \f(π,4)。
法二：因为tanα＝2>1，α∈(0，π)，所以α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))。
因为csβ＝－eq \f(7\r(2),10)，β∈(0，π)，所以β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以2α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))。
因为tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝eq \f(tanα＋tanα－β,1－tanαtanα－β)＝－1，所以2α－β＝－eq \f(π,4)。
5．（给值求值）已知为第二象限角，且，求的值______.
答案：
【详解】因为为第二象限角，且，所以
所以，
所以
6．（给值求值、求角）已知.
（1）若，，求α的值；（2）若，，求f(x)的值.
答案：（1）；（2）.
【详解】由题意有，
（1）因为，所以，则，又因为，所以；
（2）因为，，所以，
所以，
所以，
7．（给值求值、求角）已知锐角与钝角，，．
（1）求的值；（2）求的值．
答案：（1）；（2）
【详解】（1）由题可知：且，，
所以，所以
（2）由，则，又由（1）可知，，
所以，所以，则，所以
所以
所以，所以。
8．（给值求值）已知，，，
(1)求和的值；(2)求的值．
答案：(1) ，，（2）
【详解】(1)由题意得()2＝，即1＋＝，∴.
又，∴＝，∴＝.
(2)∵，，∴＝，于是).
又.又.
又＝，，()．
∴×(－)－×＝－.
基本方法：
1、给值求值（角）的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示．
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
2．在求角时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为单调函数，一般遵循以下原则：
(1)已知正切函数值，选正切函数．
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数；若角的范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，选正弦函数．
3、解决求角问题的一般步骤
(1)求角的某一个三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围求出要求的角．
类型六、和角、差角、倍角公式的综合应用之三角化简
基础知识：
1、化简原则
一看式中各角：通过看三角函数式中各角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
二看函数名称：函数名称之间的差异，从而确定使用的公式。常见的有切化弦；
三看结构特征：分式结构特征，找到变形的方向，常见的有遇到分式要通分，整式因式分解，二次式配
方等
2．化简要求
(1)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；
(2)式子中的分母尽量不含三角函数；
(3)尽量使被开方数不含三角函数等．
基本题型：
1．化简：2eq \r(sin 8＋1)＋eq \r(2cs 8＋2)＝( )
A．4cs 4 B．－2sin 4－4cs 4
C．4sin 4 D．4cs 4－2sin 4
答案：B
【详解】原式＝2eq \r(1＋2sin 4cs 4)＋eq \r(4cs24)＝2eq \r(sin24＋cs24＋2sin 4cs 4)＋2|cs 4|
＝2|sin 4＋cs 4|＋2|cs 4|，∵π＜4＜eq \f(3π,2)，∴sin 4＋cs 4＜0，cs 4＜0，
∴原式＝－2(sin 4＋cs 4)－2cs 4＝－2sin 4－4cs 4.
2．设sin 20°＝m，cs 20°＝n，化简eq \f(tan 10°＋1,1－tan 10°)－eq \f(1,1－2sin210°)＝( )
A.eq \f(m,n) B．－eq \f(m,n) C.eq \f(n,m) D．－eq \f(n,m)
答案：A
【详解】因为sin 20°＝m，cs 20°＝n，所以eq \f(tan 10°＋1,1－tan 10°)－eq \f(1,1－2sin210°)＝eq \f(sin 10°＋cs 10°,cs 10°－sin 10°)－eq \f(1,cs 20°)
＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin 10°＋cs 10°))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 10°－sin 10°))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 10°＋sin 10°)))－eq \f(1,cs 20°)
＝eq \f(1＋2sin 10°cs 10°,cs210°－sin210°)－eq \f(1,cs 20°)＝eq \f(1＋sin 20°,cs 20°)－eq \f(1,cs 20°)＝eq \f(sin 20°,cs 20°)＝eq \f(m,n).
3．化简：eq \f(1＋sin α＋cs α\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))),\r(2＋2cs α))(180°＜α＜360°)＝________.
答案：cs α.
【详解】原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cs\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))),\r(4cs2\f(α,2)))＝eq \f(2cs\f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)＋sin\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))),2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2))))
＝eq \f(cs\f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2\f(α,2)－cs2\f(α,2))),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2))))＝eq \f(－cs\f(α,2)cs α,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)))).
因为180°＜α＜360°，所以90°＜eq \f(α,2)＜180°，所以cseq \f(α,2)＜0，所以原式＝cs α.
4．化简：(1)eq \f(sin2α＋β,sin α)－2cs(α＋β)；(2)eq \f(1,tan\f(α,2))－taneq \f(α,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋tan α·tan\f(α,2))).
【详解】(1)原式＝eq \f(sin2α＋β－2sin αcsα＋β,sin α)＝eq \f(sin[α＋α＋β]－2sin αcsα＋β,sin α)
＝eq \f(sin αcsα＋β＋cs αsinα＋β－2sin αcsα＋β,sin α)
＝eq \f(cs αsinα＋β－sin αcsα＋β,sin α)＝eq \f(sin[α＋β－α],sin α)＝eq \f(sin β,sin α).
(2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(cs\f(α,2),sin\f(α,2))－eq \f(sin\f(α,2),cs\f(α,2))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋eq \f(sin α,cs α)·eq \f(sin\f(α,2),cs\f(α,2))))＝eq \f(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cs\f(α,2))·eq \f(cs αcs\f(α,2)＋sin αsin\f(α,2),cs αcs\f(α,2))＝eq \f(2cs α,sin α)·eq \f(cs\f(α,2),cs αcs\f(α,2))＝eq \f(2,sin α).
基本方法：
1．化简方法
(1)异名化同名、异次化同次、异角化同角、弦切互化；
(2)“1”的代换，三角公式的正用、逆用．
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1．若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】设，因为，所以，故.
2．已知α终边与单位圆的交点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，\f(3,5)))，且α是第二象限角，则eq \r(1－sin 2α)＋eq \r(2＋2cs 2α) 的值等于( )
A.eq \f(1,5) B．－eq \f(1,5)
C．3 D．－3
答案：C
【解析】因为α终边与单位圆的交点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，\f(3,5)))，且α是第二象限角，所以sin α＝eq \f(3,5)，cs α＝－eq \f(4,5)，
则eq \r(1－sin 2α)＋eq \r(2＋2cs 2α)＝eq \r(1－2sin α·cs α)＋eq \r(21＋cs 2α)
＝eq \r(sin α－cs α2)＋eq \r(4cs2α)＝|sin α－ cs α|＋2|cs α|＝eq \f(7,5)＋eq \f(8,5)＝3.
3、已知α为锐角，β为钝角且cs α＝eq \f(2\r(5),5)，tan β＝－3，则α＋β的值为( )
A.eq \f(3π,4) B.eq \f(2π,3) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,4)
答案：A
【解析】由α为锐角且cs α＝eq \f(2\r(5),5)，得sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(\r(5),5)，则tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(1,2)，
则tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(\f(1,2)＋－3,1－\f(1,2)×－3)＝－1，又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
则α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，得α＋β＝eq \f(3π,4).
4、sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－sin2α＝( )
A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(\r(3),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
答案：C
【解析】原式＝eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3))),2)＋eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3))),2)－sin2α＝1－eq \f(1,2)·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3)))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))))－sin2α＝
1－cs 2αcseq \f(π,3)－sin2α＝1－eq \f(cs 2α,2)－eq \f(1－cs 2α,2)＝eq \f(1,2).
5．(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)的值是( )
A.eq \r(3) B．1＋eq \r(2)
C．2 D．2(tan 18°＋tan 27°)
答案：C
【解析】(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°
＝1＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°tan 27°＝2.
6、定义：eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(\s\up7(a b),\s\d5(c d))))＝ad－bc，如eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(\s\up7(1 2),\s\d5(3 4))))＝1×4－2×3＝－2，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(\s\up7(cs 45° sin 75°),\s\d5(sin 135° cs 105°))))＝( )
A．0 B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(\r(3),2) D．1
答案：C
【解析】由题意得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(\s\up7(cs 45° sin 75°),\s\d5(sin 135° cs 105°))))＝cs 45°cs 105°－sin 75°sin 135°
＝－cs 45°cs 75°－sin 75°sin 45°＝－cs(75°－45°)＝－cs 30°＝－eq \f(\r(3),2).
7．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图（如图）是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为，，且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【详解】设大的正方形边长为，由小正方形与大正方形面积之比为，则小正方形的边长为，
可得：，①，，②，由图可得：，，
①②可得
，解得.
8．若，，则
A． B． C． D．
答案：D
【解析】法一：由可得，，
，答案应选D．
法二：由及，可得
，而当时
，结合选项即可得．
9．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】，
，，
，.
10、若α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(12,13)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值等于( )
A．－eq \f(56,65) B.eq \f(56,65)
C．－eq \f(5,13) D．－eq \f(16,65)
答案：A
【解析】因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，所以α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，且sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，所以cs(α＋β)＝eq \f(4,5)，同理，
因为β－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(12,13)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝－eq \f(5,13)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))
＝cs(α＋β)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \f(12,13)＝－eq \f(56,65).
11．(多选)已知α，β，γ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sin α＋sin γ＝sin β，cs β＋cs γ＝cs α，则下列说法正确的是( )
A．cs(β－α)＝eq \f(1,2) B．cs(β－α)＝－eq \f(1,2)
C．β－α＝eq \f(π,3) D．β－α＝－eq \f(π,3)
答案：AC
【解析】由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cs γ＝cs α－cs β.两式分别平方相加，得(sin β－sin α)2＋(cs α－cs β)2＝1.∴－2cs(β－α)＝－1，∴cs(β－α)＝eq \f(1,2)，∴A正确，B错误．∵sin γ＝sin β－sin α＞0，α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴β＞α，∴β－α＝eq \f(π,3)，∴C正确，D错误，故选A、C.
eq \f(sin235°－\f(1,2),cs 10°·cs 80°)的值为_______．
答案：-1
【解析】原式＝eq \f(\f(1－cs 70°,2)－\f(1,2),cs 10°·sin 10°)＝－eq \f(cs 70°,2sin 10°·cs 10°)＝－eq \f(sin 20°,sin 20°)＝－1.
13．已知，，则的值为_______．
答案：3
【解析】．
14．化简：eq \f(2cs4x－2cs2x＋\f(1,2),2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)))＝________.
答案：eq \f(1,2)cs 2x
【解析】原式＝eq \f(\f(1,2)4cs4x－4cs2x＋1,2·\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)))·cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)))＝eq \f(2cs2x－12,4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)))＝eq \f(cs22x,2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x)))＝eq \f(cs22x,2cs 2x)＝eq \f(1,2)cs 2x.
15．（2023·江苏徐州）已知，，则的值为_______．
答案：
【详解】，，则，所以，，，，因此.
16．已知0<α答案：eq \f(3π,4)
【详解】∵taneq \f(α,2)＝eq \f(1,3)，∴tan α＝eq \f(2tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq \f(3,4)，∴eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(3,4)，∵sin2α＋cs2α＝1，及0<α∴sin α＝eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(4,5)，∵0<α∴sin(β－α)＝eq \r(1－cs2β－α)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),10)))2)＝eq \f(7\r(2),10)，
∴cs β＝cs[(β－α)＋α]＝cs(β－α)cs α－sin(β－α)sin α＝－eq \f(\r(2),10)×eq \f(4,5)－eq \f(7\r(2),10)×eq \f(3,5)＝－eq \f(\r(2),2).
∵eq \f(π,2)<β<π，∴β＝eq \f(3π,4).
17．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝eq \f(1,2)，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则tan β的值为________．
答案：eq \f(1,3)
【详解】由题意可知，tan 2β＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－α－β))＝eq \f(tanα＋β－tanα－β,1＋tanα＋βtanα－β)＝eq \f(3,4)，
且tan 2β＝eq \f(2tan β,1－tan 2β)＝eq \f(3,4)，即3tan 2β＋8tan β－3＝0，解得tan β＝eq \f(1,3)或tan β＝－3，
因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以tan β＝eq \f(1,3).
18．设x，y∈(0，π)，且满足eq \f(sin2x－cs2x＋cs2xcs2y－sin2xsin2y,sinx＋y)＝1，则x－y＝__________.
答案：eq \f(π,2)
【详解】eq \f(sin2x－cs2x＋cs2xcs2y－sin2xsin2y,sinx＋y)＝eq \f(sin2x1－sin2y＋cs2xcs2y－1,sinx＋y)
＝eq \f(sin2xcs2y－cs2xsin2y,sinx＋y)＝eq \f(sin xcs y＋cs xsin ysin xcs y－cs xsin y,sinx＋y)
＝eq \f(sinx＋ysinx－y,sinx＋y)＝sin(x－y)＝1，而x－y∈(－π，π)，解得x－y＝eq \f(π,2).
19．已知tan α，tan β是方程x2＋3eq \r(3)x＋4＝0的两根，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，则α＋β的值为________．
答案：eq \f(4π,3)
【详解】∵tan α，tan β是方程x2＋3eq \r(3)x＋4＝0的两根，
∴tan α＋tan β＝－3eq \r(3)，tan αtan β＝4，∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(－3\r(3),1－4)＝eq \r(3).
又tan α＋tan β＜0，tan αtan β＞0，∴tan α＜0，tan β ＜0，
∵α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，∴α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，∴π＜α＋β＜2π，∴α＋β＝eq \f(4π,3).
20．已知，．
(1)求的值；(2)求的值．
【解析】（1）∵，∴
；
（2）∵
∴．
21．已知函数．
(1) 求的值；(2) 若，求．
【解析】（1）
（2）<θ<2π，所以，
因此=

22．已知函数，（其中，）的最小正周期为10．
(1)求的值；
(2)设,,,求的值．
【解析】（1）．
（2）
．
．
23．已知为锐角，，．
(1)求的值；(2)求的值．
【解析】(1)因为，，所以．
因为，所以，因此，．
(2)因为为锐角，所以．
又因为，所以，
因此．因为，所以，
因此，．