新高考数学二轮复习《导数》压轴题突破练第13讲 证明不等式之对数单身狗，指数找朋友（2份，原卷版+解析版）

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例1．已知，函数．
（Ⅰ）证明：在上有唯一零点；
（Ⅱ）记为函数在上的零点．证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
【解析】证明：当，时，，
所以在，是减函数（2分）
，
（1），
所以在上存在唯零点（5分）
（Ⅱ）（ⅰ）即证，，
由已知得，
代入上式只要证，（6分）
构造函数，
，所以为增函数，
所以，（8分）
构造函数，
，
所以为增函数，，
所以，
故原不等式成立（10分）
由已知，
所以
，
记，
，
所以为减函数，因为，
所以（12分）
因为，
所以
，
由得，
所以，
故成立（15分）
例2．已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求函数的零点个数；
（Ⅲ）当时，求证不等式解集为空集．
【解析】解：（Ⅰ）的定义域为，，
令，得，，
当时，有，所以在上单调递增．
当时，有，所以在上单调递减．
所以的单调增区间为，单调减区间为；
（Ⅱ）函数的导数为，
令，解得，，
，，
当时，在上递减，有（1）（a），
所以（a）．所以有一个零点，
当时，在上递增，
所以有一个零点，
当时，在上递增，在上递减，在上递增．
此时，
所以在上只有一个零点；
（Ⅲ）证明：当时，不等式解集为空集，
等价于在定义域内恒成立，
即在定义域内恒成立；
令，
所以；
令，得，
列表得：
，
因为，所以．
又，所以，
所以恒成立，
所以不等式解集为空集．
例3．设函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）记函数的最小值为（a），证明：（a）．
【解析】解：（Ⅰ）显然的定义域为． （1分）
．（3分）
，，
若，，此时，在上单调递减；
若，，此时，在上单调递增；
综上所述：在上单调递减，在上单调递增．（5分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：，
即：．（6分）
要证（a），即证明，即证明，
令，则只需证明，（8分）
，且，
当，，此时（a），（a）在上单调递减；
当，，此时（a），（a）在上单调递增，
．（11分）
．（a）． （12分）
例4．已知函数．
（Ⅰ）当时，求在点，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调递增区间；
（Ⅲ）当时，证明：（其中为自然对数的底数）．
【解析】解：（Ⅰ）当时，，
，
（1），（1），
故在点，（1）处的切线方程是；
（Ⅱ），，
当，即当时，由，解得：或，
当时，，，
当，即当时，由，解得：或，
综上，当时，的递增区间是，，
时，的递增区间是，
当时，的递增区间是，，；
（Ⅲ）当时，由，
只需证明，
令，，
，故递增，
（1），，
故存在，，使得，
即，
当时，，递减，
当，时，，递增，
故时，取得唯一的极小值，也是最小值，
的最小值是，
，
【同步练习】
1．已知函数．
（Ⅰ）当时，求在，上最大值及最小值；
（Ⅱ）当时，求证．
【解析】解：（Ⅰ），；
时，；，时，；
（1）是函数的极小值，即的最小值；又，（2）；
的最大值是；
函数在上的最小值是0，最大值是；
（Ⅱ），要证明原不等式成立，只要证明；
设，则；
函数在上是增函数，（1）；
；
原不等式成立．
2．已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．
（1）求、的值；
（2）当且时．求证：．
【解析】解：（1）函数的导数为，
曲线在点，（1）处的切线方程为，
可得（1），（1），
解得；
（2）证明：当时，，
即为，
即，
当时，，
即为，
设，，
可得在递增，
当时，（1），即有；
当时，（1），即有．
综上可得，当且时，都成立．
3．已知二次函数对任意实数都满足，且（1），令．
（1）求的表达式；
（2）设，．证明：对任意，，，恒有．
【解析】（1）解：设，于是，
所以，，
又（1），则．
所以．（5分）
（2）证明：因为对，，，
所以在，内单调递减．
于是（1）
证明，即证明，
记，
则，
所以函数在，是单调增函数，
所以（e），故命题成立．（12分）
4．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数图象过点，求证：．
【解析】解：（1）函数的定义域为，又，
当时，，在上单调递增；
当时，由得，
若，则在上单调递增；
若，则在上单调递减；
（2）证明：函数图象过点，可得，此时，
要证，令，则，
令，则，
当时，，故在上单调递增，
由，即，故存在使得，此时，故，
当时，，当，时，，
函数在上单减，在，上单增，
故当时，有最小值，
成立，即得证．
5．已知函数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数图象过点，求证：．
【解析】解：（Ⅰ）函数的定义域为，．
当时，，在上单调递增；
当时，由，得．
若，，单调递增；
若，，单调递减
综合上述：当时，在上单调递增；
当时，在单调递增，在上单调递减．
（Ⅱ）证明：函数图象过点，
，解得．
．即．．
令．．．
令，，
函数在上单调递增，
存在，使得，可得，．
．
成立．
6．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：；
（3）若不等式恰有两个整数解，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）由题意，得 的定义域为．
若，则当 时，，故 在 上单调递增，
若，则当 时，，当 时
，故 在 上单调递增，在 上单调递减．
综上所述，若， 在 上单调递增；若， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）由（1）知，当 时， 在 取得最大值，
最大值为，
所以 等价于，
设，则，
当时，；当 时，，
所以 在上单调递增，在 上单调递减，
故当 时， 取得最大值，最大值为（1），
所以当 时，，
从而当 时，，
即．
（3）①当 时，
由 （1）知 在 上单调递增，因为（1），
所以当 时， 恒成立，不符合题意；
②当 时，由 （1）知 在 上单调递增，在 上单调递减，
且，
当 时，此时，
所以，即 恒成立，显然不满足题意；
当 时，此时，
当，即 时，此时结合题意有
当 时，即 时，
此时（1），（2），（3），与题意矛盾．
综上所述， 的取值范围为．
7．已知函数．
（1）若在处取得极值，求实数的值；
（2）讨论在上的单调性；
（3）证明：在（1）的条件下．
【解析】（1）解：因为，
在处取得极值，则（1），
所以，解得，
验证知符合条件．
（2）解：，
当时，在上，恒成立，单调递减；
当时，令，解得，
当时，，单调递减，当，时，，单调递增．
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在，上单调递增．
（3）证明：由（1）知，则，
令，，在上单调递增，
当时，，当时，，
则，使，即，
则当时，，单调递减，当，时，，单调递增，
所以，
令，，，所以单调递减，
所以，
所以，
所以，得证．
0
递减
最小值
递增