安徽省六安市金安区淠东学校2024~2025学年八年级下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份安徽省六安市金安区淠东学校2024~2025学年八年级下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在实数范围内，有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若一元二次方程的二次项系数是3，则它的常数项是（ ）
A. B. 2C. D. 5
4. 已知x，y为实数，且，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
5. 下列运算正确的是（ ）
①，②，③，④＝2，⑤，⑥=3
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
6. 我国南宋著名数学家秦九韶也提出了利用三角形三边长求三角形面积的“秦九韶公式”，即．已知在中，，则三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则满足（ ）
A. 且B.
C. D. 且
8. 下列各式中，与化简所得结果相同的是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知，当分别取得1，2，3，…，2025时，所对应值的总和是（ ）
A 2027B. 2025C. 2023D. 2021
10. 已知两个整式，，我们在代数式中的“________”上添加加减乘除的运算符号，将运算结果叫做关于，的“三连运算”．比如就是关于，的一种“三连运算”，下列说法正确的个数是（ ）
①只存在一种关于，的“三连运算”使得结果为1；②将分解因式后为；③三连运算的解为．
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
二、填空题（共4小题，每题5分）
11. 关于x方程是一元二次方程，则m的值为______．
12. 计算：________．
13. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为________．
14. 公元8世纪波斯数学家花拉子米被誉为代数学之父，他在《代数学》中列举了这样一道例题：
根3倍与简单数4的和等于一个平方．用现代数学语言表示为：．即如图所示，正方形的边长为，，将正方形分成面积为的矩形和面积为4的矩形，取中点，构造边长为正方形，延长到，使，则有正方形，此时显然有，即，可以很容易求得该方程的一个正根_____；若令，，则_____．
三、解答题（共9小题）
15. 解方程：
（1）；
（2）．
16. 计算：
（1）；
（2）．
17. 已知实数在数轴上如图，化简值
18. 当时，计算代数式的值．
19. 已知关于的方程．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根．
20. 已知，．
（1）求的值；
（2）若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求的值．
21. 观察下列等式：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：…根据等式所反映的规律，解答下列问题：
（1）第4个等式为_________；
（2）猜想：第n个等式为_________（n为正整数）；
（3）根据你的猜想，计算：．
22. 已知：关于的一元二次方程．
（1）已知是方程的一个根，求的值；
（2）以这个方程的两个实数根作为中、（）的边长，当时，是等腰三角形，求此时的值．
23. 如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”．
（1）判断下列方程是不是“差1方程”，并说明由：
①；
②；
（2）已知关于方程（是常数）是“差1方程”，求的值；
（3）若关于的方程（是常数）是“差1方程”，设，若的值为9，求此时和的值．
2025年春学期八年级第一次综合素质评价数学试题
一、选择题（共10小题，每题4分）
1. 在实数范围内，有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数求解即可．
【详解】解：由题意得：，解得：
故选：A．
2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
可以此来判断哪个选项是正确的．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故本选项符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
3. 若一元二次方程的二次项系数是3，则它的常数项是（ ）
A. B. 2C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，的二次项系数是，一次项系数是，常数项是，据此即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴它的常数项是，
故选：A．
4. 已知x，y为实数，且，则的值为（ ）
A B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组；
根据二次根式有意义的条件求出，进而可得，然后计算即可．
【详解】解：由二次根式有意义的条件得：且，
解得：且，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
5. 下列运算正确的是（ ）
①，②，③，④＝2，⑤，⑥=3
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】由二次根式的加减运算可判断①，由二次根式的化简可判断②，⑤，⑥，由二次根式的乘法可判断③，由二次根式的除法可判断④，从而可得答案．
【详解】解：不是同类二次根式，不能合并，故①不符合题意；
故②符合题意；
故③符合题意；
故④符合题意；
故⑤不符合题意；
故⑥不符合题意；
故正确的有3个，
故选C．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的加法，二次根式的乘法与除法，掌握“二次根式的化简与二次根式的加减乘除运算的运算法则”是解本题的关键．
6. 我国南宋著名数学家秦九韶也提出了利用三角形三边长求三角形面积的“秦九韶公式”，即．已知在中，，则三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次根式的应用．根据题目中的面积公式可以求得的三边长分别为的面积，从而可以解答本题．
【详解】解：∵，且三边长分别为，
∴，
∴的面积为：
，
故选：B．
7. 关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则满足（ ）
A. 且B.
C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的概念以及根的判别式．根据一元二次方程根的判别式求解，即可得到答案．
【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：．
故选：B．
8. 下列各式中，与化简所得结果相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：∵有意义，
∴
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
9. 已知，当分别取得1，2，3，…，2025时，所对应值的总和是（ ）
A. 2027B. 2025C. 2023D. 2021
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握绝对值的性质以及二次根式的性质．
依据二次根式性质化简，即可得到，再根据绝对值的性质化简，即可得到对应的值的总和．
【详解】解：∵，
当时，，
即当时，；
当时，，
即当分别取时，的值均为 1 ，
∴当分别取时，所对应的值的总和是．
故选：A．
10. 已知两个整式，，我们在代数式中的“________”上添加加减乘除的运算符号，将运算结果叫做关于，的“三连运算”．比如就是关于，的一种“三连运算”，下列说法正确的个数是（ ）
①只存在一种关于，的“三连运算”使得结果为1；②将分解因式后为；③三连运算的解为．
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】B
【解析】
【分析】找到两种关于、的“三连运算”使得结果为1，可判断①，利用因式分解可判断②，利用已知建立方程，解出方程可判断③，从而可以得到答案．本题考查因式分解与方程，掌握因式分解与解方程便可解决问题．
【详解】解：， ，故①不符合题意；
，故②不符合题意；
∵，
∴，
即，
∴，
∴或，故③符合题意；
故选B．
二、填空题（共4小题，每题5分）
11. 关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高指数是2的整式方程，且二次项系数不等于0”，即可进行求解．
【详解】解：由题意得，，
解得，
因此，
故答案为：．
12. 计算：________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式乘法计算，同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，根据同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算法则把所求式子变形为，据此计算求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
13. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了同类二次根式，根据同类二根式的定义得到，解方程组后，代入求值即可．
【详解】解∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴
解得，
∴
故答案为：
14. 公元8世纪波斯数学家花拉子米被誉为代数学之父，他在《代数学》中列举了这样一道例题：
根的3倍与简单数4的和等于一个平方．用现代数学语言表示为：．即如图所示，正方形的边长为，，将正方形分成面积为的矩形和面积为4的矩形，取中点，构造边长为正方形，延长到，使，则有正方形，此时显然有，即，可以很容易求得该方程的一个正根_____；若令，，则_____．
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，能够根据题意列出方程，利用直接开平方法求解方程是解题的关键．
由题意列出方程，利用直接开平方法解方程即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
或，
∴该方程的一个正根；
由题意得，
∴，
∴，
∴或（舍去），
，
故答案为：．
三、解答题（共9小题）
15. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
【小问1详解】
解：，
因式分解得，
∴或，
∴．
【小问2详解】
解：，
因式分解得，
或，
．
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）先求算术平方根、绝对值，再计算加减即可；
（2）先计算二次根式的性质、立方根、负整数指数幂，最后计算加减即可．
【小问1详解】
解：
．
小问2详解】
解：
．
17. 已知实数在数轴上如图，化简的值
【答案】2c-a.
【解析】
【详解】试题分析：
由图可知：，从而可得：，然后根据“绝对值的意义”化简即可.
试题解析：
∵从数轴可知：，
∴，
∴
=
=
=.
点睛：解这类时，首先要从数轴上获取所涉及的数的大小和正、负信息；若绝对值符号里（或被开方数中）涉及到异号两数和的还要从数轴上获取两数绝对值的大小关系；然后根据所获取的信息确定好绝对值符号里各个式子的符号，再根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号化简.
18. 当时，计算代数式的值．
【答案】2023
【解析】
【分析】运用完全平方公式将代数式凑成两数差的完全平方式，即，再将代入即可得到答案．
【详解】解：当时，
．
【点睛】本题考查了完全平方公式的逆用，代数式求值，熟练掌握完全平方公式的结构特点是本题的关键．
19. 已知关于的方程．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
（1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可；
（2）根据判别式的意义得到，然后解关于的方程得到，则原方程变形为，然后利用因式分解法解此一元二次方程．
【小问1详解】
解：根据题意得，
解得：；
【小问2详解】
解：根据题意得，
解得：，
原方程变形为，
∴，
所以．
20. 已知，．
（1）求的值；
（2）若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求的值．
【答案】（1）35 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算的应用及求代数式的值．
（1）先分母有理化求出x、y的值，求出 和的值，变形后代入求出即可；
（2）求出m、n的值，代入求值即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴
；
【小问2详解】
∵
∴，
∵x的小数部分是m，y的小数部分是n
∴，，
∴
.
21. 观察下列等式：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：…根据等式所反映的规律，解答下列问题：
（1）第4个等式为_________；
（2）猜想：第n个等式为_________（n为正整数）；
（3）根据你的猜想，计算：．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据给出的等式找出一般规律，写出第4个等式即可；
（2）根据题干中给出的一般规律，写出第n个等式即可；
（3）根据分母有理化运算法则和二次根式混合运算法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：第1个等式为：；
第2个等式为：；
第3个等式为：；
…
第4个等式为：．
故答案为：．
【小问2详解】
解：第n个等式为：（n为正整数）；
故答案为：．
【小问3详解】
解：
．
【点睛】本题考查了分母有理化，解题的关键是熟练掌握利用平方差公式将分式分母有理化．
22. 已知：关于的一元二次方程．
（1）已知是方程的一个根，求的值；
（2）以这个方程的两个实数根作为中、（）的边长，当时，是等腰三角形，求此时的值．
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了解一元二次方程和等腰三角形的定义．
（1）把代入方程得到关于的一元二次方程，然后解关于的方程即可；
（2）先计算出判别式，再利用求根公式得到，则．然后讨论：当时，有；当时，有，再分别解关于的一次方程即可．
【小问1详解】
解：∵是方程的一个根，
，
或．
【小问2详解】
解：∵，
，
，
∵的长是这个方程的两个实数根，
∴．
∵是等腰三角形，
∴当时，有，
；
当时，有，
；
综上所述，当或时，是等腰三角形．
23. 如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”．
（1）判断下列方程是不是“差1方程”，并说明由：
①；
②；
（2）已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值；
（3）若关于的方程（是常数）是“差1方程”，设，若的值为9，求此时和的值．
【答案】（1）①不是“差1方程”；②是“差1方程”；理由见解析
（2）或
（3），
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义．
（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为 1 ，从而确定方程是否为“差1方程”；
（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出的方程，注意有两种情况；
（3）根据新定义得方程的大根与小根的差为 1 ，列出与的关系式，再由，得与的关系，从而得出最后结果．
【小问1详解】
解：①解方程，
∴，
∴或，
解得：或 6 ，
，
不是“差1方程”；
②解方程，
∴，
，
，
是“差1方程”．
小问2详解】
解：解方程（是常数）得：，
∴或，
∵方程是常数）是“差1方程”，
或，
∴或；
【小问3详解】
解：由题可得：，
解方程得，
∵关于的方程是常数，是“差1方程”，
，
，
，
，
解得：，
．