甘肃省武威25中联片教研2024-2025学年下学期开学考试九年级数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份甘肃省武威25中联片教研2024-2025学年下学期开学考试九年级数学试卷（原卷版+解析版），共37页。试卷主要包含了 下列事件中，是随机事件是， 若，则的值为等内容，欢迎下载使用。
1. 关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. 且D. 且
2. 抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于x的方程无实数根．其中正确结论的是（ ）
A. ①③B. ①②④C. ②③④D. ①④
3. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转得到，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在中，弦与交于点E，且，连接，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，射线，切于点A，B，直线切于点C，交于点D，交于点E，若的周长是，则的长是（ ）
A. B. C. D.
6. 下列事件中，是随机事件是（ ）
A. 任意画一个三角形，其内角和是B. 明天的太阳从东方升起
C. 从地球上抛出一块石头，落回地面D. 车辆到达一个路口，遇到绿灯
7. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，若，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，若，，，则点B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
二．填空题（共24分，每小题3分）
11. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为______．
12. 设二次函数，当时，函数有最小值，则的值为 _______．
13. 如图，在中，，，，点D，E分别为，的中点，将绕着点B顺时针旋转，得到，当C，，在同一直线上时，则的长为 ______．
14. 如图，在中，弦，点A是圆上一点，且，则的半径是________．
15. 如图，是上点，半径，，，连接，则扇形的面积为______．
16. 如图，矩形顶点A、C分别在x、y轴上，双曲线分别交、于点D、E，连接并延长交x轴于点F，连接，若点E为中点，且，则______．
17. 如果一个矩形的宽与长之比等于黄金数，就称这个矩形为黄金矩形．若矩形为黄金矩形，矩形的周长为，则矩形的长为________．
18. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为_____．
三．解答题（共66分）
19. 请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（说明：图1、图2中点A，B，C在格点上）
（1）在图1中，作的角平分线；
（2）在图2中，以C为位似中心，作的位似图形，使它与的相似比为．
20. 解一元二次方程：
（1）；
（2）．
21. 为了保障人民群众的生命安全和身体健康，某感冒退烧药生产企业产能逐步提升，10月份产量为200万片，11月、12月两个月增长率相同，预计12月份产量可达到338万片．求11月、12月这两个月该企业感冒退烧药产量的月增长率．
22. 正方形的边长为4，E、F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
23. 如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，当，时，求的长．
24. 有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字，，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M的坐标为．
（1）直接写出的概率；
（2）用树状图或列表法求出M点在第四象限的概率．
25. 如图，直线：与双曲线相交于点，将直线向上平移个单位得到，直线与双曲线相交于、两点（点在第一象限），交轴于点，连接．
（1）求双曲线和线段所在直线的解析式；
（2）求四边形的面积．
26. 如图，在平行四边形中，，点G在的延长线上，连接，分别交、于点E、F，且．
（1）求的长；
（2）如果，求四边形面积．
27. 已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且；
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值；
（3）如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
2024-2025学年第二学期开学考试九年级数学试卷
一．选择题（共30分，每小题3分）
1. 关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. 且D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式．根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答．
【详解】解：∵为一元二次方程，
∴，
∵该一元二次方程无实数根，
∴，
解得，
∴，
故选：A．
2. 抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于x的方程无实数根．其中正确结论的是（ ）
A. ①③B. ①②④C. ②③④D. ①④
【答案】B
【解析】
【分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置判断，，符号．②把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点值越大．④由抛物线顶点纵坐标为可得，从而进行判断无实数根．
【详解】解：①抛物线图象开口向上，
，
对称轴在直线轴左侧，
，同号，，
抛物线与轴交点在轴下方，
，
，故①正确．
②，
当时，由图象可得当时，，即，
当时，，由图象可得时，，即，
，即，故②正确．
③，，
∵，
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
，故③错误．
④抛物线的顶点坐标为，
，
，
无实数根．故④正确，
综上所述，①②④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数中，，与函数图象的关系．
3. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转得到，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
由旋转的性质可得，，可得，即可求解．
【详解】解：∵，
，
将绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
故选：．
4. 如图，在中，弦与交于点E，且，连接，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质．由等弧所对的圆周角相等，可得，再由三角形外角的性质得．
【详解】解：，，
，
，
，
故选D．
5. 如图，射线，切于点A，B，直线切于点C，交于点D，交于点E，若的周长是，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了切线长定理，根据切线长定理可得，，，从而可得的周长，即可得解．
【详解】解：根据切线长定理可得：，，，
∴的周长，
∴的长是，
故选：B．
6. 下列事件中，是随机事件的是（ ）
A. 任意画一个三角形，其内角和是B. 明天的太阳从东方升起
C. 从地球上抛出一块石头，落回地面D. 车辆到达一个路口，遇到绿灯
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了事件的分类，理解并掌握事件分类及其辨析是解题的关键．
随机事件：在随机试验中，可能出现也可能不出现；必然事件：在随机试验中，一定会出现的事件；不可能事件：在随机试验中，一定不出现的事件；根据概念辨析即可求解．
【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，不符合题意；
B、明天的太阳从东方升起，是必然事件，不符合题意；
C、从地球上抛出一块石头，落回地面，是必然事件，不符合题意；
D、车辆到达一个路口，遇到绿灯，是随机事件，符合题意；
故选：D ．
7. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，求不等式的解集，掌握反比例函数图象经过的象限确定反比例系数的符号是解题的关键．
根据反比例函数的图象分布在第二、四象限，可得，由此即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限，
∴，
解得，．
故选：D ．
8. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质解答即可求解，掌握比例的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴，
故选：．
9. 如图，若，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质判断即可，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．
【详解】解：，，
，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D错误；
故选：A．
10. 如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，若，，，则点B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了位似图形（求两个位似图形的相似比），坐标系与位似图形（求位似图形的对应坐标）等知识点，熟练掌握位似变换的性质（位似变换的坐标特征）是解题的关键：一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或．
由，可得，，由与是以点O为位似中心的位似图形且可得与的相似比为，然后由及位似变换的性质（位似变换的坐标特征）即可得出点B的坐标．
【详解】解：，，
，，
与是以点O为位似中心的位似图形，且，
与的相似比为，
，
，即，
故选：．
二．填空题（共24分，每小题3分）
11. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；由题意易得，然后代值求解即可．
【详解】解：∵a是方程的一个根，
∴，即，
∴；
故答案为3．
12. 设二次函数，当时，函数有最小值，则的值为 _______．
【答案】
【解析】
【分析】先将二次函数化成顶点式，于是可得其对称轴为直线，由可得抛物线开口向上，然后分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解并验证结果是否符合题意即可．
【详解】解：，
二次函数的对称轴为直线，
，
抛物线开口向上，
分三种情况讨论：
①当时，
即时，此时时，函数有最小值，
将代入，得：
，
解得：，
与相矛盾，不符合题意，故舍去；
②当时，
即时，顶点处取最小值，
，
解得：或（不符合题意，故舍去），
；
③当时，
即时，此时时，函数有最小值，
将代入，得：
，
解得：，
与相矛盾，不符合题意，故舍去；
综上，的值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，把化成顶点式，的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，因式分解法解一元二次方程，解一元一次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用分类讨论思想是解题的关键．
13. 如图，在中，，，，点D，E分别为，的中点，将绕着点B顺时针旋转，得到，当C，，在同一直线上时，则的长为 ______．
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况讨论：①当，在上方时，由线段中点的定义可得，由三角形的中位线定理可得，，由两直线平行同位角相等可得，由旋转的性质可得，，，由于点，，在同一直线上，根据勾股定理可得，然后由线段之间的和差关系可得，由此即可求出的长；②当，在下方时，同理可求得的长；综上，即可得出答案．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当，在上方时，
如图，
点D，E分别为，的中点，，，
，，，
，
由旋转的性质可得：
，，，
点，，在同一直线上，
，
；
②当，在下方时，
如图，
点D，E分别为，的中点，，，
，，，
，
由旋转的性质可得：
，，，
点，，在同一直线上，
，
，
；
综上，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，旋转的性质，勾股定理，两直线平行同位角相等，线段中点的有关计算，线段的和与差，利用邻补角互补求角度等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键．
14. 如图，在中，弦，点A是圆上一点，且，则的半径是________．
【答案】2
【解析】
【分析】连接，，先由圆周角定理求出的度数，再由判断出是等边三角形，故可得出结论．
详解】解：连接，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：2
【点睛】本题考查了圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键．
15. 如图，是上的点，半径，，，连接，则扇形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定义，扇形的面积，连接，由圆周角定理可得，进而得，再根据扇形的面积计算公式计算即可求解，掌握圆周角定理及扇形的面积计算公式是解题的关键．
【详解】解：连接，则，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 如图，矩形顶点A、C分别在x、y轴上，双曲线分别交、于点D、E，连接并延长交x轴于点F，连接，若点E为的中点，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】设，则，，，，待定系数法可得直线的解析式为；直线的解析式为；可得，可证明；结合点E为的中点，证明，则，，， ，过作于，可得，可得答案．
【详解】解：设，则，，
∵点D、E双曲线上，
∴，，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为；
同理可得，直线解析式为；
∴，
∵矩形，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴，，
∴，
过作于，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，一次函数解析式，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义等知识．熟练掌握反比例函数与几何综合，一次函数解析式，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
17. 如果一个矩形的宽与长之比等于黄金数，就称这个矩形为黄金矩形．若矩形为黄金矩形，矩形的周长为，则矩形的长为________．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了黄金数，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键．设矩形长为x，根据黄金矩形定义得到宽为，再根据矩形的周长为，得到方程，即可求解．
【详解】解：由题意，设矩形长为x，则宽为，
∵矩形的周长为
∴，
解得：，
故答案为：8．
18. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键．
【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为，
∴与的位似比为，
∴点的对应点的坐标为，即，
故答案为：．
三．解答题（共66分）
19. 请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（说明：图1、图2中点A，B，C在格点上）
（1）在图1中，作的角平分线；
（2）在图2中，以C为位似中心，作的位似图形，使它与的相似比为．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了画出直线、射线、线段，三线合一，位似图形（画已知图形放大或缩小倍后的位似图形）等知识点，熟练掌握位似变换的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）由图可知，为等腰三角形，取的中点，连接即可；
（2）根据位似变换的性质画图即可．
【小问1详解】
解：如图1，即为所求作；
【小问2详解】
解：如图2，即为所求作．
20. 解一元二次方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程步骤是解决此题的关键．
（1）用因式分解法解一元二次方程即可得解；
（2）用因式分解法解一元二次方程即可得解．
【小问1详解】
解：，
，
或，
，；
【小问2详解】
解：，
，
，
或，
，．
21. 为了保障人民群众的生命安全和身体健康，某感冒退烧药生产企业产能逐步提升，10月份产量为200万片，11月、12月两个月增长率相同，预计12月份产量可达到338万片．求11月、12月这两个月该企业感冒退烧药产量的月增长率．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题），读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键．
设11月、12月这两个月该企业感冒退烧药产量的月增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解方程并取符合题意的值即可．
【详解】解：设11月、12月这两个月该企业感冒退烧药产量的月增长率为，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，故舍去），
，
答：11月、12月这两个月该企业感冒退烧药产量月增长率为．
22. 正方形的边长为4，E、F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据旋转点的性质可得，，再利用边角边证明三角形全等即可；
（2）设，根据正方形的性质，全等三角形的性质和旋转的性质表示出各个边长，再理由勾股定理求解即可；
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵绕点D逆时针旋转，得到，
∴，，，，
∴，
∴F、C、M三点共线，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
解：∵绕点D逆时针旋转，得到，，
∴，
∵正方形的边长为4，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
即．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，旋转的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
23. 如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，当，时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的面积公式，切线的判定和性质，勾股定理，求出是解本题的关键．
（1）先判断出是圆的直径，再判断出，即可得出结论；
（2）先判断出，进而求出，再用勾股定理求出，根据三角形的面积公式即可得出结论．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
，
点必在上，即：是直径，
，
，
，
，
∵，
，
，
，即：，
点在上，
是的切线；
【小问2详解】
解：，
，
，
即，
，，
在中，，
，
．
24. 有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字，，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M的坐标为．
（1）直接写出的概率；
（2）用树状图或列表法求出M点在第四象限的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了用列表或画树状图的方法求随机事件的概率，熟练掌握列表法或画树状图的方法是解答此题的关键．
（1）根据甲袋有三个数字，的情况有一种，利用概率公式计算即可；
（2）画树状图，共有个等可能的结果，点在第四象限的点有个，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意得的概率为：；
【小问2详解】
解：根据题意画树状图：
共有种等可能的结果数，它们是：；
在第四象限点有：，
∴点在第四象限的概率为．
25. 如图，直线：与双曲线相交于点，将直线向上平移个单位得到，直线与双曲线相交于、两点（点在第一象限），交轴于点，连接．
（1）求双曲线和线段所在直线的解析式；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1），线段所在直线的解析式；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了求反比例函数、一次函数的解析式，一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求一次函数和反比例函数是解题的关键．
（1）由点在直线上可知，再代入中求的值可得双曲线，将向上平移了个单位得到的解析式为，联立与双曲线解析式求交点坐标，根据、的坐标，即可求得线段所在直线的解析式；
（2）由（1）得：，当时，，得，过作轴于，过作轴于，利用割补法求解即可．
【小问1详解】
解：∵是与的交点，
∴，
∴．
把代入，得．
∴双曲线的解析式为，
∵直线：，
∴将直线向上平移个单位得到：，
联立与得，
解得或（舍去），
∴，
设线段所在直线的解析式，
把，代入得
解得，
∴线段所在直线的解析式；
【小问2详解】
解：由（1）得：，
当时，，
∴，
如图，过作轴于，过作轴于，
∵，，，，
∴
．
26. 如图，在平行四边形中，，点G在的延长线上，连接，分别交、于点E、F，且．
（1）求的长；
（2）如果，求四边形的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，线段的和与差等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质可得，，由此可证得，于是可得，进而可得，然后根据线段之间的和差关系可得，由此即可求出的长；
（2）由（1）得，，，由平行四边形的性质可得，由此可证得，于是可得，进而可得，然后根据各部分之间的面积关系可得，四边形的面积，由此即可求出四边形的面积．
【小问1详解】
解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）得：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形的面积．
27. 已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且；
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值；
（3）如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或
【解析】
分析】（1）由待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出的解析式，设，则：，将转化为二次函数求最值即可；
（3）易得垂直平分，设，勾股定理求出点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出，分别作点关于轴和直线的对称点，直线，与抛物线的交点即为所求，进行求解即可．
【小问1详解】
解：抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，
∴，
解得：
∴抛物线解析式为：；
【小问2详解】
解：∵，，
∴设直线的解析式为：，把，代入得：
∴，
∴，
设，则：，
∴，，，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，的最大值为；
【小问3详解】
解：存在：
∵，，点为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
①取点关于轴的对称点，连接，交抛物线与点，则：，，
设的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
联立，
解得：（舍去）或，
∴；
②取关于的对称点，连接交于点，连接交抛物线于点，
则：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点作轴，则：，，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
联立，解得：（舍去）或，
∴；
综上：或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求线段的长，坐标与轴对称，勾股定理，解直角三角形，等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．