甘肃省武威二十六中学联片2024-2025学年下学期九年级开学检测数学试卷（原卷版+解析版）

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1. 已知关于的一元二次方程有一个根为， 则的值为（ ）
A. B. 5C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的解的定义是解题关键．将代入方程，可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案．
【详解】解：根据题意，关于的一元二次方程有一个根为，
将代入方程，
可得，
解得．
故选：A．
2. 二次函数的图像如图所示，则化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，化简绝对值，本题利用了二次函数的图象确定a，b，c的取值范围后再化简绝对值．
【详解】解：由图知，二次函数的图象的开口向，
，
与y轴交于y轴的正半轴，
，
对称轴在二象限，
，
则，
图象过点，
，
故选：D．
3. 已知点在抛物线的图象上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握抛物线开口方向向上、离对称轴越远，函数值越大成为解题的关键．
先求出抛物线的对称轴，然后根据抛物线开口方向向上、离对称轴越远，函数值越大求解即可．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线对称轴为直线，
∵，
∴．
故选D．
4. 如图，在边长为1的正方形中，过点C的直线，将对角线绕点B顺时针旋转n度，当点D的对应点恰好落在直线l上时，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了正方形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识，连结交于点E，作于点F，由正方形的性质得，，，则，，所以，由，得，可证明四边形是正方形，则，由旋转得，则，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：连结交于点E，作于点F，则，
∵四边形是边长为1的正方形，
∴，，，，，且，
∴，，
∴，
∵过点C的直线，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
由旋转得，
∴，
∴，
故选：D．
5. 如图，四边形为的内接四边形，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，先根据圆内接四边形的对角互补求出，再根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”求解．
【详解】解：四边形为的内接四边形，
，
，
，
，
故选B．
6. 如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为7，则r的值可以是（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据直线与圆相交、相切、相离的定义判定．直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离 ，即可得到问题的选项．
【详解】解：∵直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为7，
∴，
故选：D．
7. 如图，在正方形中，，点E是对角线上的一个动点，且不与端点B、D重合，连接，过点B作，垂足为F，连接．则的最小值是（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了求一点到圆上一点的最值，勾股定理，正方形的性质；取的中点，连接，依题意得出在以为直径的上运动，进而由勾股定理求得，根据的最小值为，即可求解．
【详解】解：如图所示，取的中点，连接，
∵
∴，
∴在以为直径的上运动，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值为，
故选：C．
8. 事件“3人分成两组，一定有2人分在一组”属于（ ）
A. 必然事件B. 不可能事件C. 随机事件D. 不确定事件
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了事件的分类，随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】解：事件“3人分成两组，一定有2人分在一组”属于必然事件
故选：A．
9. 下列各点在反比例函数的图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上的点，解题关键是明确反比例函数图象上的点的横纵坐标乘积等于比例系数k，据此逐项判断即可．
【详解】解：∵，，，，
∴在反比例函数的图象上，
故选项B符合题意，
故选：B．
10. 如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴，垂足为，若的面积等于5，则的值等于（ ）
A. 2.5B. 10C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解．
【详解】解：轴，的面积等于5，
，
∵图象在第二象限，，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，利用数形结合思想解答是解题的关键．
二．填空题（共9小题，每小题3分，共27分）
11. 若m是一元二次方程的一个根，则的值为__________．
【答案】8
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根．熟练掌握一元二次方程根的定义，分解因式，整体代入法求代数式的值，是解决问题的关键．
根据一元二次方程根的定义得到 ，得到，化为，代入计算即得．
【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：8．
12. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后的抛物线的解析式为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的平移，掌握函数平移规律是解题的关键．根据“左加右减、上加下减”的平移原则进行解答即可．
【详解】解：抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为，
故答案为：．
13. 已知二次函数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的定义，形如，这样的函数叫做二次函数，根据二次函数的定义得到，，进行求解即可．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴，，
∴．
故答案为：．
14. 如图，点E是等边边的中点，点D是直线上一动点，连接，并绕点E逆时针旋转，得到线段，连接，若运动过程中的最小值为，则的值为_____．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质等知识点，确定取最小值的条件是解题的关键．
如图：连接，延长到，使得，连接，证明，得到，即点F在与成的直线上运动，证明当时，有最小值为：，求出，即可得．
【详解】解：如图：连接，延长到，使得，连接，
∵点E是等边边的中点，
∴，
∴，
根据旋转可得，
，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点F在与成的直线上运动，
∴时，有最小值为：，
∴，解得：，
∴．
故答案为：4．
15. 如图，点A，B，C在上． 若，则的度数为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵点A，B，C在上，，
∴．
故答案为： ．
16. 如图，将三个正六边形按如图方式摆放，若小正六边形的面积是12，则大正六边形的面积是_____．
【答案】108
【解析】
【分析】题目主要考查正多边形的性质，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．由正六边形的性质，可知图中每个三角形都为等边三角形且全等，再确定每个小正三角形得面积，即可得出结果．
【详解】解：如图连线：
∵多边形为正六边形，
∴图中每个三角形都为等边三角形且全等，
∵小正六边形的面积是12，
∴每个三角形的面积为，
由图得共有54个等边小三角形，
故大正六边形的面积是，
故答案为：．
17. 如图，在菱形中，点E是的中点，以C为圆心，为半径作弧，交于点F，连接．若，则阴影部分的面积为 _______________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定、菱形的性质、扇形的面积计算等知识点，能求出、和扇形的面积是解题的关键．
如图：连接，根据菱形的性质求出和，求出长，再根据三角形的面积和扇形的面积求解即可．
【详解】解：如图：连接，

∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∵点E是的中点，是等边三角形，
∴，
同理：，
∵，，
∴，
由勾股定理得：，同理可得：，
∴，
∴阴影部分的面积∶ ．
故答案为：．
18. 甲、乙两名同学分别从某月1号，2号和3号中选择一天去图书馆，则他们选中同一天的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了树状图或列表法求概率；列表，由表即可得所有可能结果数，他们选中同一天的的结果数，由概率公式即可求解．
【详解】解：列表如下：
由表知，所有可能结果数共有9种，他们选中同一天的结果数有3种，
∴甲、乙恰好选择相邻两天的概率为．
故答案为：．
19. 在平面直角坐标系中，过原点直线与反比例函数的图象交于A、B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的对称性，先确定它们成中心对称，再根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标都互为相反数即可解答，熟练掌握反比例函数图象的中心对称性质是解决此题的关键．
【详解】解：根据题意，知点A与B关于原点对称，
∵点A的坐标是，
∴B点的坐标为．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，共66分）
20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中作图（保留作图痕迹）．
（1）将绕着点C顺时针旋转，在图①中作出旋转后的对应线段．
（2）在图②中作线段，使点E在边上，且．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了网格作图，熟练掌握全等三角形的判定和性质和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）找出格点、，构造直角三角形和直角三角形，使得，根据全等三角形的对应角相等即可求解；
（2）根据，得到，找出格点、，与交于点，构造直角三角形和直角三角形，使得，且，结合相似三角形的对应边之比相等，即可求解．
【小问1详解】
解：线段即为所求线段，如图：
【小问2详解】
解：线段即为所求线段，如图：
21. 选择适当的方法解方程；
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适方法进行计算是解此题的关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
22. 某校的分校区规划时决定在长为32米，宽为20米的长方形草坪中央修筑同样宽的两条互相垂直的小路，把长方形草坪分割成同样面积的四块小草坪，每块小草坪的面积为135平方米，问道路的宽是多少米？
【答案】道路的宽度为2米.
【解析】
【详解】试题分析：把四块耕地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是（32-x）和（20-x），根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解．
试题解析：设道路的宽度为x米. 由题意得，
（32-x）（20-x）=135×4
整理得，
x2-52x+100=0
x1=2，x2=50不合题意，舍去
∴.
答：道路的宽度为2米.
23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
（1）求该抛物线的的顶点坐标（用含a的式子表示）；
（2）已知点，将点B向左平移3个单位长度，得到点C．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于分类讨论．
（1）把代入，得到，然后配方成顶点式即可求解；
（2）先求出与坐标轴的交点，，与y轴交于点，根据平移求得，然后分类讨论，画出临界状态分析即可．
【小问1详解】
解：∵点抛物线上
，解得
∴抛物线的顶点坐标为；
【小问2详解】
解：，
当，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为点，与y轴交于点
∵将点向左平移3个单位长度
∴点C的坐标为
由题意，分以下两种情况：
①当时，
∵，对称轴为直线，
∴与轴另一交点记为，如图：
由抛物线与x、y轴的交点可知，抛物线与线段无公共点
②当时
若抛物线的顶点在线段上，则顶点坐标为，如图：
解得
若抛物线的顶点不在线段上，要使抛物线与线段恰有一个公共点，则抛物线与y轴的交点位于点C的上方，符合题意，如图：
解得
综上所述，a的取值范围是或．
24. 正方形边长为4，E、F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据旋转点的性质可得，，再利用边角边证明三角形全等即可；
（2）设，根据正方形的性质，全等三角形的性质和旋转的性质表示出各个边长，再理由勾股定理求解即可；
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵绕点D逆时针旋转，得到，
∴，
∴F、C、M三点共线，
∴，，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
解：∵绕点D逆时针旋转，得到，，
∴，
∵正方形的边长为4，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
即．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，旋转的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
25. 如图，是的直径，点A在上，点C在的延长线上，，平分交于点D，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
（1）如图，连接，根据直径所对的的圆周角为直角得到，即，根据等腰三角形的性质得到，求得，进而得到，最后根据切线的判定定理即可证明结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质定理得到，求得，如图，连接，根据角平分线的定义得到，求得，然后说明，最后根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理即可证明结论．
【小问1详解】
证明∶如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
如图，连接，
∵AD平分∠BAE，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，即，
解得：．
26. “读万卷书，行万里路．”阅读可以增长见识，拓展视野．某校九年级通过开展以“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动来了解学生的阅读情况，学生根据自己的爱好选择一类书籍（：政史类，：科技类，：文学类，：艺术类，：其他类）．根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示），请你根据图中信息，解答下列问题：
（1）在这项调查中，共调查了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整，其中扇形统计图中“”所在扇形圆心角的度数为 ；
（3）在选择“”的学生中有名女生，名男生，现从这四名学生中随机选出两名学生做读书分享，请求出刚好选到相同性别学生的概率．
【答案】（1）
（2）见解析，
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了读扇形统计图和条形统计图，用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据统计图中的数据计算即可得到答案；
（2）求出选择“”的人数，补全统计图即可，根据 “”所占百分比，计算即可得到答案；
（3）画树状图，得到所有等可能的结果，用概率公式计算即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意得（名）
在这项调查中，共调查了名学生，
故答案为：80；
【小问2详解】
解：选择“D”的人数（名），
补全统计图如图所示：
，
扇形统计图中“”所在扇形圆心角的度数为，
故答案为：；
【小问3详解】
解：作树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中刚好选到相同性别学生的结果为4种，
∴刚好选到相同性别学生的概率为．
27. 如图1，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，若点P是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点Q，当最大时，在抛物线对称轴上找一点M，使的值最小，求出此时点M的坐标；
（3）若点P在直线上的运动过程中，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，P点坐标为或或或
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的几何应用、等腰三角形的定义、勾股定理等知识点，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，可得，得到当时PQ最大为，此时；再求得点B的坐标为，再利用待定系数法求出直线的表达式为，最后把代入计算即可求解；
（）设，由勾股定理可得，根据等腰三角形的定义分三种情况解答求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线交y轴于点，则，
再把代入抛物线，得：，
解得：，
所以抛物线的函数表达式为．
【小问2详解】
解：设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴当时，最大为，此时，
当时，，
解得：或1，即
设直线的表达式为，代入B、Q两点坐标，
得，
解得，
∴直线的表达式为，
∵抛物线的对称轴为直线，把代入，得，
∴M点坐标为．
【小问3详解】
解：存在，理由如下：
由抛物线的对称轴为直线、、 ，
设，
∴，
①当时，即，
得，
解得：，
∴P点坐标为或；
②当时，即，
得，
解得或1（舍去），
∴P点坐标为；
③当时，易知P点的横坐标为，
代入中得，
∴P点坐标为．
综上，P点坐标为或或或．
1
2
3
1
1，1
1，2
1，3
2
1，2
2，2
2，3
3
1，3
2，3
3，3