新高考数学二轮复习高分突破训练第19讲 等差数列、等比数列的综合问题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习高分突破训练第19讲 等差数列、等比数列的综合问题（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考数学二轮复习高分突破训练第19讲等差数列等比数列的综合问题原卷版doc、新高考数学二轮复习高分突破训练第19讲等差数列等比数列的综合问题解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。
1.等差数列性质与等比数列性质：
2.如何判断一个数列是等差（或等比）数列
（1）定义法（递推公式）：（等差），（等比）
（2）通项公式：（等差），（等比）
（3）前项和：（等差），（等比）
（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项
3.如何证明一个数列是等差等比数列：
（1）通常利用定义法，寻找到公差（公比）
（2）也可利用等差等比中项来进行证明，即，均有：
（等差） （等比）
典型例题：
例1．（2022·浙江·高三专题练习）已知正项数列的前项和为，且和满足：．
（1）求的通项公式；
（2）设，求的前项和；
（3）在（2）的条件下，对任意，都成立，求整数的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）7．
【解析】
（1）由所给等式根据的关系证明数列为等差数列，确定数列的首项与公差即可写出通项公式；（2）利用裂项相消法求和；（3）作差证明数列是递增数列，根据题意，解不等式即可.
【详解】
（1）∵，①
∴，②
①-②得．
∴，化简．
∵，∴．
∴是以1为首项，2为公差的等差数列．
∴．
（2）．
∴
．
(3)由(2)知，
．
∴数列是递增数列，则，
∴，解得，
∴整数的最大值是7．
【点睛】
裂项相消求和法适用于通项公式是分式形式的数列求和，求和时把每一项拆成一个或多个分式的差的形式，然后在累加时抵消中间项.常见的拆项公式：
（1） ；
（2）；
（3）；
（4）.
例2．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列各项均为正数，其前n项和，数列是公差为正数的等差数列，且成等比数列
（1）求数列的通项公式;
（2）令求数列的前n项和
【答案】（1）；；（2）.
【解析】
（1）由数列与的关系可得，进而可得，结合等差数列的性质即可得；由等差数列的通项公式结合等比数列的性质可得数列的公差和首项，即可得；
（2）转化条件为，利用裂项相消法即可得解.
【详解】
（1）在数列中，，
当时，，
所以，
化简得，
又数列各项均为正数，所以，所以，
因为，解得或（舍去），
所以数列是以3为首项，公差为2的等差数列，
所以；
设数列的公差为，
因为，所以，
又成等比数列，所以即，
所以，
所以；
（2）由题意，，
所以.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是利用数列与的关系转化条件，求得，要注意裂项相消法的适用条件和使用方法.
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由题意判断出为等比数列，，，成等差数列，列式求解出，可得的通项公式；（2）得，所以，则前项和利用错位相减法计算即可.
【详解】
解：（1）依题，∴是以为公比的等比数列，
又，，成等差数列.
∴，即，∴，
∴.
（2）由（1）得，设，
①
②
①-②：，
∴.
【点睛】
本题的核心是考查错位相减求和，一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用错位相减法求和，一般是式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解．
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
【答案】（1）见解析；（2），．
【解析】
【分析】
(1)可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列；
(2)可通过(1)中的结果推导出数列以及数列的通项公式，然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果．
【详解】
(1)由题意可知，，，，
所以，即，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，，
因为，
所以，数列是首项、公差为的等差数列，．
(2)由(1)可知，，，
所以，．
【点睛】
本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题．
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和为，对任意且.
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和为.
【答案】(1)答案见解析；(2).
【解析】
【详解】
试题分析：
(1)利用递推关系证得后项与前项做差为2即可证得数列为等差数列，据此可求得数列的通项公式为；
(2)结合(1)的结论裂项求和可得数列的前项和为.
试题解析：
（1）由得，∴，又，∴，所以数列是公差为2的等差数列，又，∴.
（2）由（1）知，∴ .
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足.
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)证明： .
【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式.
试题解析：（1）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得.
（2）由（1）知：，所以，
因为当时，，所以，于是=，
所以.
【易错点】对第（1）问，构造数列证明等比数列不熟练；对第（2）问，想不到当时，，而找不到思路，容易想到用数学归纳法证明而走弯路.
考点：本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识，考查同学们的逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.数列是高考的热点问题之一，熟练数列的基础知识是解决好该类问题的关键.
过关练习：
1．（2022·全国·高三专题练习）设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1=0，cn=an+bn，若数列{cn}是1，1，2，…，则数列{cn}的前10项和为（ ）
A．978B．557C．467D．979
【答案】A
【解析】
【分析】
设等比数列{an}的公比为q，等差数列{bn}的公差为d，由cn=an+bn列出方程组，求出数列的通项公式，利用分组求和法可得数列{cn}的前10项和．
【详解】
设等比数列{an}的公比为q，等差数列{bn}的公差为d.
∵cn=an+bn，
解得，∴cn=2n-1+(1-n).
∴{cn}的前10项和为．
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等差数列和正项等比数列}，，是，的等差中项，是，的等比中项，则下列关系成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设等差数列公差为d，等比数列公比为q，由题意可得：，进而可得结果.
【详解】
设等差数列公差为d，等比数列公比为q，
由题意可得：
A. ,故A不正确；
B. ，故B正确；
C. ，故C不正确；
D. ，故D不正确.
故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习）已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足、、成等差数列.其前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据，，成等差数列以及单调递减，求出公比，再由即可求出，
再根据等比数列通项公式以及前项和公式即可求出.
【详解】
解：由，，成等差数列，
得：，
设的公比为，则，
解得：或，
又单调递减，
，
，
解得：，
数列的通项公式为：，
.
故选：C．
4．（2022·全国·高三专题练习）设数列满足，，，（ ）
A．存在，B．存在，使得是等差数列
C．存在，D．存在，使得是等比数列
【答案】D
【解析】
由，得到，递推作差求得，进而得到，结合选项和等差、等比数列的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】
由，即，则，
两式相减，可得，可得，
即恒成立，所以数列为常数列，
因为又由，，可得，则，
所以，即，
因为，可得，可判定A、C不正确；
由，，可得，
假设B成立，则成等差数列，
则，此时无解，所以B不正确；
对于D中，假设，所以，
由，解得，
所以存在使得是等比数列.
故选：D.
【点睛】
与数列的新定义有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列中，，，依次成等比数列，则的值是（ ）
A．B．C．D．58
【答案】A
【解析】
由已知得和，可求出，利用等差数列的通项公式得到.
【详解】
设公差不为零的等差数列的公差为d，则有，
因为，，依次成等比数列，，
所以有，即，整理得，
因为，所以，，
因此，
故选：A.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
由等差，等比数列的形式特征画函数的图象，根据图象判断选项.
【详解】
等差数列的通项公式是关于的一次函数，，图象中的孤立的点在一条直线上，
而等比数列的通项公式是关于的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上，
如图所示当时，如下图所示，
当公差时，如下图所示，
如图可知当时，，，，.
故选：D
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是判断的方法，选择图象法可以比较快速的判断选项.
7．（2022·安徽六安·一模（理））已知为等比数列，且，与的等差中项为，则（ ）
A．1B．2C．31D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知条件列出首项和公比的方程组可得答案.
【详解】
由得，①
又，得，②
由①②得，，.
故选：A.
8．（2022·全国·高三专题练习）数列，满足，，，则数列的前n项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由，得到数列是等差数列，数列是等比数列，求得，得到，结合等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】
由题意，数列，满足，，，
所以数列是等差数列，且公差是2，是等比数列，且公比是2，
又因为，所以
所以，
设，所以，则，
所以数列是等比数列，且公比为4，首项为4．
由等比数列的前n项和的公式，可得数列前n项的和为
故选：B.
9．（2022·全国·高三专题练习）已知数列，中满足，，，若前项之和为，则满足不等式的最小整数是（ ）.
A．8B．9C．11D．10
【答案】D
【解析】
由可求得数列的通项公式，进而求得数列，表示出，
令，即可得到满足不等式的最小整数.
【详解】
解：由题意可知：，
即，
即，
又，
，
即数列是以首项为9，公比为的等比数列，
，
即，
，
，
则，
即，
又，
满足不等式的最小整数，
即.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是利用构造法求出数列的通项公式.
10．（2022·全国·高三专题练习）对于无穷数列，给出下列命题：
①若数列既是等差数列，又是等比数列，则数列是常数列．
②若等差数列满足，则数列是常数列．
③若等比数列满足，则数列是常数列．
④若各项为正数的等比数列满足，则数列是常数列．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
①根据等差、等比数列的性质可判断且；②根据等差数列的单调性无界性判断是否为常数列；③根据特例即可判断是否正确；④由正项等比数列的性质可得，，进而判断是否为常数列.
【详解】
①：若数列既是等差数列又是等比数列，若，则，故，而，所以数列为常数列且，正确；
②：等差数列为无穷数列，若公差不为0，则要么递增要么递减，即无上界，要使等差数列满足，则数列是常数列，正确；
③：若等比数列满足，如，所以数列不一定是常数列，错误；
④：若各项为正数的等比数列满足，即，可得，，
若，则无上界，故，进而数列是常数列，正确．
故选：C．
【点睛】
关键点点睛：根据等差、等比数列的性质，如：、时数列无界性等，判断各项命题的正误.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，……，是各项不为零的项等差数列，且公差不为零，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，则的值为（ ）
A．4B．6C．7D．无法确定
【答案】A
【解析】
可以使用排除法进行判断．当时，无论删掉哪一项，必定会出现连续三项既是等差数列．又是等比数列，则为常数列，于是该数列公差为零，不满足题意。当时，经过运算可得，不符合题意．经过进一步验证，当存在数列符合题意。
【详解】
当时，无论删掉哪一项，必定会出现连续三项既是等差数列．又是等比数列，则为常数列，于是该数列公差为零，不满足题意，则或．当时，由以上分析可知，只能删掉第三项，此时，不满足题意．故．验证过程如下：
当时，有，，，．
将此数列删去某一项得到的数列（按照原来的顺序）是等比数列．
如果删去，或，则等于有3个项既是等差又是等比，不满足题意．
故可以知道删去的是，或．
如果删去的是，则，故，
整理得到，即，故即．
如果删去的是，则，故，
整理得到即，故即．
可得或1．
故答案为：A．
【点睛】
关键点点睛：等差数列中有等比数列，常用基本量来展开计算，注意根据项数来分类讨论．
12．（2022·浙江·高三专题练习）已知1，a1，a2，9四个实数成等差数列，1，b1，b2，b3，9五个数成等比数列，则b2（a2﹣a1）等于（ ）
A．8B．﹣8C．±8D．
【答案】A
【解析】
由已知条件求出公差和公比，即可由此求出结果.
【详解】
设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
则有，，
解之可得，，
.
故选：A.
二、多选题
13．（2022·全国·高三专题练习）在数列{an}中，若为常数），则{an}称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为（ ）
A．若{an}是等方差数列，则{an2}是等差数列
B．若{an}是等方差数列，则{an2}是等方差数列
C．{（﹣1）n}是等方差数列
D．若{an}是等方差数列，则{akn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列
【答案】ACD
【解析】
【分析】
利用等方差的定义和等差数列的定义逐个进行演算，能够推出B不正确，其余的都正确．
【详解】
对于A中，数列{an}是等方差数列，可得为常数），
即有是首项为，公差为d的等差数列，故A正确；
对于B中，例如：数列是等方差数列，但是数列不是等方差数列，所以B不正确；
对于C中，数列中，，
所以数列是等方差数列，故C正确；
对于D中，数列{an}中的项列举出来是：，
数列中的项列举出来是，
因为（ak+12﹣ak2）＝（ak+22﹣ak+12）＝…＝a2k2﹣a2k﹣12＝p
所以（ak+12﹣ak2）+（ak+22﹣ak+12）+…+（a2k2﹣a2k﹣12）＝kp
所以akn+12﹣akn2＝kp，所以，数列{akn}是等方差数列，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】
与数列的新定义有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
14．（2022·全国·高三专题练习）已知数列……，其中第一项是，接下来的两项是再接下来的三项是依次类推…，第项记为，数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】
对于AC两项，可将数列进行分组，计算出前组一共有个数，第组第个数即，可得到选项C
由C得到，则为第11组第5个数，可得
对于BD项，可先算得，即前组数之和
即为前5组数之和加上第6组前3个数，由结论计算即可.
【详解】
A.由题可将数列分组
第一组： 第二组： 第三组：
则前组一共有…个数
第组第个数即，故，C对
又，故
又，
则为第11组第5个数
第11组有数：
故，A对
对于D. 每一组的和为…
故前组之和为…
故D错.
对于B.
由D可知，
，
故B错
故选：AC
【点睛】
数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
15．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，则数列的前项和为
C．若，则是等比数列
D．若，则
【答案】ACD
【解析】
当时，化简得，得到，求得，进而求得，得到A正确，B不正确；当时，得到，求得，求得，可判定C正确，D正确.
【详解】
因为数列的前项和为，且满足，
当时，可得，
即，所以，
可得，即，
又因为，所以，
则，可得，
故A正确，B不正确.
当时，由已知得，
即，
所以，所以，所以，
所以，所以，故C正确，D正确.
故选：ACD.
【点睛】
利用数列的递推公式求解数列的通项公式的策略：
1、对于递推关系转化为（常数）或（常数）可利用等差、等比数列的通项公式求解；
2、对于递推关系式可转化为的数列，通常采用叠加法（逐差相加法）求其通项公式；
3、对于递推关系式可转化为的数列，并且容易求数列前项积时，通常采用累乘法求其通项公式；
4、对于递推关系式形如的数列，可采用构造法求解数列的通项公式.
三、双空题
16．（2022·浙江·高三学业考试）设等差数列的公差为非零常数，且，若成等比数列，则公差___________，___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由等差数列通项及等比数列的性质可得，即可求，并写出通项公式.
【详解】
由题意，，又且成等比数列，
∴，即且，故，
∴.
故答案为：2，
四、填空题
17．（2022·全国·高三专题练习）已知公差不为0的等差数列的部分项，，，……构成等比数列，且，，，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为，则，由等比数列的性质列式求得 ．然后再由等差数列与等比数列的通项公式列式求得．
【详解】
解：设等差数列的公差为，则，
由已知，
即，得，
于是，在等比数列中，
公比．
由为数列的第项，知；
由为数列的第项，知，
，
故.
故答案为．
【点睛】
该题考查的是有关等差数列与等比数列的综合问题，属于中档题目，在解题的过程中，需要对等差数列的通项公式与等比数列的通项公式熟练掌握，并且要注意三项成等差数列的条件，得出等差数列的首项与公差的条件，从而确定出所得的等比数列的项的特点，进一步求得结果，从而求得等比数列的项的特点，得到的关系，从而求得结果，在做题的过程中，如果分析不到位，很容易出错.
18．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比q等于________．
【答案】
【解析】
【分析】
由，，成等差数列，根据等差中项的定义结合等比数列的通项列出方程，求出q即可.
【详解】
∵，，成等差数列，
∴，即，
∴，
∴，
∴或 (舍)．
∴.
故答案为：.
19．（2022·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等比数列中公比，若，，记数列的前n项和为，则的最大值为_______
【答案】18
【解析】
【分析】
根据题意和等比数列的性质，求得，，进而求得等比数列的通项公式，得到，在由等差数列的求和公式，得到，再结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】
因为为各项均为正数的等比数列，且公比，
由，
可得，为方程的两根，又由，所以，，
得，即，所以，
由，所以为等差数列，
所以，则，即数列也为等差数列，
所以，
结合二次函数的图象与性质，可得当或9时，最大，最大值为18．
故答案为：18．
20．（2022·浙江·高三专题练习）为公差不为0的等差数列，且恰为等比数列，其中，则为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
设数列为，利用等比中项运算可求出等差数列的首项以及通项公式，进而由求出的公比，再用可得．
【详解】
设数列为，
则，∵，∴
即，∴，∴，∴，
设的公比为q，则，∴
即，∴．
故答案为：
21．（2022·上海·高三专题练习）已知数列满足：，，记数列的前项和为，若对所有满足条件的列数，的最大值为，最小值为，则________.
【答案】1078
【解析】
根据数列的递推关系式，求出数列的前几项的最大值和最小值，进而结合计算规律和等差、等比数列的求和公式，求得的最大值和最小值，即可求解.
【详解】
由题意，数列满足：，，
由，可得；
由，可得或；
由，可得或；或；
或；
由，可得或或；
或或；或或或或；
或或或或或；

综上可得的最大值，
最小值为，
所以.
故答案为：
【点睛】
与数列的新定义有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
五、解答题
22．（2022·全国·高三专题练习）有下列三个条件：①数列是公比为的等比数列，②是公差为1的等差数列，③，在这三个条件中任选一个，补充在题中“___________”处，使问题完整，并加以解答.
设数列的前项和为，，对任意的，都有___________.已知数列满足，是否存在，使得对任意的，都有？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
根据等差､等比数列的通项公式以及数列单调性来找到数列的最大项，题干中有3个条件，选取一个进行分析即可.
【详解】
记，从而有().
选择①，数列是公比为的等比数列，
因为，所以，即.
所以，所以.
由，当时，，当时，，
所以当或2时，取得最大值，即取得最大值.
所以存在，2，使得对任意的，都有.
选择②，方法一：是公差为1的等差数列，
因为，所以，
当时，，
则，
当时，上式成立，
所以.
所以，从而.
由，
所以当时，；当时，，
所以当时，取得最大值，即取得最大值.
所以存在，使得对任意的，都有.
方法二：利用“夹逼法”，即利用来求解.
，
由()，得，解得.
选择③，方法一：，
则，
从而，
即.
又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以.
所以，从而，即，
所以数列为单调递增数列，
故不存在，使得对任意的，都有.
方法二：利用求解.
，，
则，
因为，所以不存在，使得对任意的，都有.
【点睛】
关键点点睛：本题属于开放性试题，选择不同的条件，根据数列通项及单调性得到的结论不同，关键点即复合数列单调性的判断.
23．（2022·浙江·高三专题练习）已知是等差数列，，，且，，是等比数列的前3项.
（1）求数列，的通项公式；
（2）数列是由数列的项删去数列的项后仍按照原来的顺序构成的新数列，求数列的前20项的和.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据以及等差数列的通项公式计算即可得到结果，然后根据可得，最后简单计算可得.
（2）根据（1）的条件可知求解的是，计算即可.
【详解】
（1）数列是等差数列，设公差为，且，.
则，解得，
所以.
又因为，，是等比数列的前3项，则，
由于，代入上式解得.
于是，，，因此等比数列的公比.
故数列的通项公式为.
（2）设数列的前20项的和为.
因为，，
则
.
24．（2022·浙江·高三专题练习）已知正项等差数列的前项和为，若构成等比数列.
（1）求数列的通项公式.
（2）设数列的前项和为，求证:
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由等差数列和等比数列的定义，即可求出通项公式.
（2）利用裂项相消法即可求出数列的和，进而利用不等式放缩即可证明结果.
【详解】
（1）由为等差数列，
得，则
又构成等比数列，
所以，
即
解得或(舍)，
所以;
（2）因为，
所以
25．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列和等比数列满足，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）数列和中的所有项分别构成集合，，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前60项和.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【详解】
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，
∴，，
∴，.
（2）当的前60项中含有的前6项时，令，
此时至多有项（不符）.
当的前60项中含有的前7项时，令，
且，，是和的公共项，则的前60项中含有的前7项且含有的前56项，再减去公共的三项.
∴.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是分析新数列是由和中的哪些选项构成的，还要注意去掉公共项.
26．（2022·全国·高三专题练习）已知各项为正数的等比数列，前项和为，若成等差数列，，数列满足，，数列的前项和为
（1）求的公比的值；
（2）求的通项公式.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）对正项的等比数列，利用基本量代换，列方程组，解出公比q；
（2）设，由题意分析、计算得 ，从而得到，用累加法和错位相减法求出 .
【详解】
（1）∵成等差数列，∴ ，
即，又
，
又
解得或(舍).
记，当时，
又也符合上式，
.
而，
，
，
两式相减得，
.
而也符合上式，
故.
【点睛】
(1) 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换；
(2)数列求和常用方法：
①公式法；②倒序相加法；③裂项相消法；④错位相减法．
27．（2022·上海·高三专题练习）已知函数的定义域为，数列满足，，(实数是非零常数).
（1）若，且数列是等差数列，求实数的值；
（2）若数列满足，求通项公式；
（3）若，数列是等比数列，且，，试证明：.
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1） 设等差数列的公差，根据，得到，即可求解；
（2）由数列满足，推得数列是首项为，公比为的等比数列，即可求解；
（3）由题意，得到，根据（2）知，利用累加法，求得，结合数列是等比数列，即可求解.
【详解】
由数列满足，，
，
.
（1）因为数列是等差数列，，，
记公差为，则公差，所以，即，解得.
（2）因为数列满足，
所以.
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以.
（3）因为，且，
所以，
根据（2），可知当时，，
所以
，
所以.
因为数列是等比数列，
所以，解得，
又因为，所以.
【点睛】
数列与函数的综合问题的求解策略：
1、已知函数的条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质，图象等研究数列问题；
2、已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的定义，通项公式，前项和公式，求和方法等对式子化简变形；
3、注意数列和函数的不同，数列只能看成是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性.
28．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列
（1）求数列通项公式
（2）设，求数列的前项和
【答案】（1）或；（2）见解析.
【解析】
（1）设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式结合等比数列的性质即可得解；
（2）由分组求和法结合等差、等比数列的前n项和公式即可得解.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，
由题意，得，解得或，
所以或；
（2）当时，，
此时；
当时，，
此时.
29．（2022·河北·高三专题练习）已知正项等差数列满足，且、、成等比数列，数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由，，成等比数列，得，再由可求出公差为，从而可求出，则，再由可知数列是以为首项，1为公差的等差数列，从而可求出，进而可得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，再利用裂项求和法可求出
【详解】
（1）设等差数列的公差为，
因为，，成等比数列，所以．
所以，整理得，
将代入得，解得或，
由于是正项等差数列，舍去，即．所以，．因为，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以，即．
（2）因为，，所以，
所以，
故．
所以数列的前n项和．
30．（2022·浙江·高三专题练习）已知是各项均为正数的等比数列，=1，且，，成等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先由已知求出公比，再根据等比数列的通项公式即可求出；
（2）由（1）先得到数列的通项公式，再利用等差等比公式法求和即可．
【详解】
（1）因为数列是各项均为正数的等比数列，
，，
设数列的公比为，
则，
解得，或（舍），
所以；
（2）因为，
由（1）知：，
则，
设数列的前n项和为，
则


，
数列的前n项和为：.
等差数列
等比数列
递推公式
通项公式
等差（比）中项
等间隔抽项
仍构成等差数列
仍构成等比数列
相邻项和
成等差数列
成等比数列