（寒假讲义）新高考数学二轮复习高分突破训练第04讲 等差数列、等比数列的综合问题（2份，原卷版+解析版）

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1.等差数列性质与等比数列性质：
2.如何判断一个数列是等差（或等比）数列
（1）定义法（递推公式）：（等差），（等比）
（2）通项公式：（等差），（等比）
（3）前项和：（等差），（等比）
（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项
3.如何证明一个数列是等差等比数列：
（1）通常利用定义法，寻找到公差（公比）
（2）也可利用等差等比中项来进行证明，即，均有：
（等差） （等比）
典型例题：
例1．已知正项数列的前项和为，且和满足：．
（1）求的通项公式；
（2）设，求的前项和；
（3）在（2）的条件下，对任意，都成立，求整数的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）7．
【解析】（1）由所给等式根据的关系证明数列为等差数列，确定数列的首项与公差即可写出通项公式；（2）利用裂项相消法求和；（3）作差证明数列是递增数列，根据题意，解不等式即可.
【详解】（1）∵，① ∴，②
①-②得．
∴，化简．
∵，∴．∴是以1为首项，2为公差的等差数列．
∴．
（2）．
∴．
(3)由(2)知，
．
∴数列是递增数列，则，∴，解得，
∴整数的最大值是7．
例2．已知数列各项均为正数，其前n项和，数列是公差为正数的等差数列，且成等比数列
（1）求数列的通项公式;
（2）令求数列的前n项和
【答案】（1）；；（2）.
【解析】（1）由数列与的关系可得，进而可得，结合等差数列的性质即可得；由等差数列的通项公式结合等比数列的性质可得数列的公差和首项，即可得；
（2）转化条件为，利用裂项相消法即可得解.
【详解】（1）在数列中，，当时，，
所以，化简得，
又数列各项均为正数，所以，所以，
因为，解得或（舍去），
所以数列是以3为首项，公差为2的等差数列，所以；
设数列的公差为，因为，所以，
又成等比数列，所以即，所以，
所以；
（2）由题意，，
所以.
例3．已知数列满足，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意判断出为等比数列，，，成等差数列，列式求解出，可得的通项公式；（2）得，所以，则前项和利用错位相减法计算即可.
【详解】解：（1）依题，∴是以为公比的等比数列，
又，，成等差数列.
∴，即，∴，∴.
（2）由（1）得，设， ①
②
①-②：，
∴.
【点睛】
本题的核心是考查错位相减求和，一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用错位相减法求和，一般是式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解．
例4．已知正项数列的前项和为，对任意且.
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和为.
【答案】(1)答案见解析；(2).
【详解】试题分析：(1)利用递推关系证得后项与前项做差为2即可证得数列为等差数列，据此可求得数列的通项公式为；(2)结合(1)的结论裂项求和可得数列的前项和为.
试题解析：
（1）由得，∴，
又，∴，所以数列是公差为2的等差数列，
又，∴.
（2）由（1）知，
∴ .
例5．已知数列满足.
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)证明： .
【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.
【详解】试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式.
试题解析：（1）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得.
（2）由（1）知：，所以，
因为当时，，所以，于是=，
所以.
过关练习：
1．设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1=0，cn=an+bn，若数列{cn}是1，1，2，…，则数列{cn}的前10项和为（ ）
A．978 B．557 C．467 D．979
【答案】A
【分析】设等比数列{an}的公比为q，等差数列{bn}的公差为d，由cn=an+bn列出方程组，求出数列的通项公式，利用分组求和法可得数列{cn}的前10项和．
【详解】设等比数列{an}的公比为q，等差数列{bn}的公差为d.∵cn=an+bn，
解得，∴cn=2n-1+(1-n).∴{cn}的前10项和为．故选：A
2．已知正项等差数列和正项等比数列}，，是，的等差中项，是，的等比中项，则下列关系成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设等差数列公差为d，等比数列公比为q，由题意可得：，进而可得结果.
【详解】设等差数列公差为d，等比数列公比为q，由题意可得：
A. ,故A不正确；B. ，故B正确；
C. ，故C不正确；D. ，故D不正确.故选：B
3．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足、、成等差数列.其前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据，，成等差数列以及单调递减，求出公比，再由即可求出，
再根据等比数列通项公式以及前项和公式即可求出.
【详解】解：由，，成等差数列，得：，设的公比为，则，
解得：或，又单调递减， ，，解得：，
数列的通项公式为：，.故选：C．
4．设数列满足，，，（ ）
A．存在， B．存在，使得是等差数列
C．存在， D．存在，使得是等比数列
【答案】D
【解析】由，得到，递推作差求得，进而得到，结合选项和等差、等比数列的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】由，即，则，
两式相减，可得，可得，
即恒成立，所以数列为常数列，
因为又由，，可得，则，所以，即，
因为，可得，可判定A、C不正确；
由，，可得，假设B成立，则成等差数列，则，此时无解，所以B不正确；
对于D中，假设，所以，由，解得，
所以存在使得是等比数列.故选：D.
5．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列中，，，依次成等比数列，则的值是（ ）
A． B． C． D．58
【答案】A
【解析】由已知得和，可求出，利用等差数列的通项公式得到.
【详解】设公差不为零的等差数列的公差为d，则有，因为，，依次成等比数列，，
所以有，即，整理得，因为，所以，，
因此，故选：A.
6．已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由等差，等比数列的形式特征画函数的图象，根据图象判断选项.
【详解】等差数列的通项公式是关于的一次函数，，图象中的孤立的点在一条直线上， 而等比数列的通项公式是关于的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上，如图所示当时，如下图所示，
当公差时，如下图所示，
如图可知当时，，，，.故选：D
7．已知为等比数列，且，与的等差中项为，则（ ）
A．1 B．2 C．31 D．
【答案】A
【分析】根据已知条件列出首项和公比的方程组可得答案.
【详解】由得，①又，得，②
由①②得，，.故选：A.
8．数列，满足，，，则数列的前n项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，得到数列是等差数列，数列是等比数列，求得，得到，结合等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】由题意，数列，满足，，，所以数列是等差数列，且公差是2，是等比数列，且公比是2，又因为，所以
所以，设，所以，则，所以数列是等比数列，且公比为4，首项为4．由等比数列的前n项和的公式，可得数列前n项的和为
故选：B.
9．已知数列，中满足，，，若前项之和为，则满足不等式的最小整数是（ ）.
A．8 B．9 C．11 D．10
【答案】D
【解析】由可求得数列的通项公式，进而求得数列，表示出，令，即可得到满足不等式的最小整数.
【详解】解：由题意可知：，即，即，
又，，即数列是以首项为9，公比为的等比数列，
，即，，
，则，
即，又，满足不等式的最小整数，即.故选：D.
10．已知，，，……，是各项不为零的项等差数列，且公差不为零，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，则的值为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．无法确定
【答案】A
【解析】可以使用排除法进行判断．当时，无论删掉哪一项，必定会出现连续三项既是等差数列．又是等比数列，则为常数列，于是该数列公差为零，不满足题意。当时，经过运算可得，不符合题意．经过进一步验证，当存在数列符合题意。
【详解】当时，无论删掉哪一项，必定会出现连续三项既是等差数列．又是等比数列，则为常数列，于是该数列公差为零，不满足题意，则或．当时，由以上分析可知，只能删掉第三项，此时，不满足题意．故．验证过程如下：
当时，有，，，．将此数列删去某一项得到的数列（按照原来的顺序）是等比数列．
如果删去，或，则等于有3个项既是等差又是等比，不满足题意．故可以知道删去的是，或．
如果删去的是，则，故，
整理得到，即，故即．
如果删去的是，则，故，
整理得到即，故即．可得或1．故答案为：A．
11．已知1，a1，a2，9四个实数成等差数列，1，b1，b2，b3，9五个数成等比数列，则b2（a2﹣a1）等于（ ）
A．8 B．﹣8 C．±8 D．
【答案】A
【解析】由已知条件求出公差和公比，即可由此求出结果.
【详解】设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则有，，
解之可得，，.故选：A.
二、多选题
12．在数列{an}中，若为常数），则{an}称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为（ ）
A．若{an}是等方差数列，则{an2}是等差数列
B．若{an}是等方差数列，则{an2}是等方差数列
C．{（﹣1）n}是等方差数列
D．若{an}是等方差数列，则{akn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列
【答案】ACD
【分析】利用等方差的定义和等差数列的定义逐个进行演算，能够推出B不正确，其余的都正确．
【详解】对于A中，数列{an}是等方差数列，可得为常数），
即有是首项为，公差为d的等差数列，故A正确；
对于B中，例如：数列是等方差数列，但是数列不是等方差数列，所以B不正确；
对于C中，数列中，，所以数列是等方差数列，故C正确；
对于D中，数列{an}中的项列举出来是：，数列中的项列举出来是，
因为（ak+12﹣ak2）＝（ak+22﹣ak+12）＝…＝a2k2﹣a2k﹣12＝p
所以（ak+12﹣ak2）+（ak+22﹣ak+12）+…+（a2k2﹣a2k﹣12）＝kp
所以akn+12﹣akn2＝kp，所以，数列{akn}是等方差数列，故D正确．故选：ACD．
13．已知数列的前项和为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，则数列的前项和为
C．若，则是等比数列
D．若，则
【答案】ACD
【解析】当时，化简得，得到，求得，进而求得，得到A正确，B不正确；当时，得到，求得，求得，可判定C正确，D正确.
【详解】因为数列的前项和为，且满足，
当时，可得，即，所以，
可得，即，又因为，所以，
则，可得，故A正确，B不正确.
当时，由已知得，即，
所以，所以，所以，所以，
所以，故C正确，D正确.故选：ACD.
三、填空题
14．已知数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比q等于________．
【答案】
【分析】由，，成等差数列，根据等差中项的定义结合等比数列的通项列出方程，求出q即可.
【详解】∵，，成等差数列，∴，即，∴，
∴，∴或 (舍)．∴.故答案为：.
15.已知公差不为0的等差数列的部分项，，，……构成等比数列，且，，，则___________.
【答案】
【分析】设等差数列的公差为，则，由等比数列的性质列式求得 ．然后再由等差数列与等比数列的通项公式列式求得．
【详解】解：设等差数列的公差为，则，由已知，
即，得，于是，在等比数列中，
公比．由为数列的第项，知；
由为数列的第项，知，，
故.故答案为．
16．在各项均为正数的等比数列中公比，若，，记数列的前n项和为，则的最大值为_______
【答案】18
【分析】根据题意和等比数列的性质，求得，，进而求得等比数列的通项公式，得到，在由等差数列的求和公式，得到，再结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】因为为各项均为正数的等比数列，且公比，由，
可得，为方程的两根，又由，所以，，
得，即，所以，由，所以为等差数列，
所以，则，即数列也为等差数列，
所以，结合二次函数的图象与性质，可得当或9时，最大，最大值为18．故答案为：18．
四、解答题
17．已知是等差数列，，，且，，是等比数列的前3项.
（1）求数列，的通项公式；
（2）数列是由数列的项删去数列的项后仍按照原来的顺序构成的新数列，求数列的前20项的和.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）根据以及等差数列的通项公式计算即可得到结果，然后根据可得，最后简单计算可得.
（2）根据（1）的条件可知求解的是，计算即可.
【详解】（1）数列是等差数列，设公差为，且，.则，解得，
所以.
又因为，，是等比数列的前3项，则，由于，代入上式解得.
于是，，，因此等比数列的公比.
故数列的通项公式为.
（2）设数列的前20项的和为.因为，，
则.
18．已知正项等差数列的前项和为，若构成等比数列.
（1）求数列的通项公式.
（2）设数列的前项和为，求证:
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）由等差数列和等比数列的定义，即可求出通项公式.
（2）利用裂项相消法即可求出数列的和，进而利用不等式放缩即可证明结果.
【详解】（1）由为等差数列，得，则
又构成等比数列，所以，
即解得或(舍)，所以;
（2）因为，
所以
19．已知等差数列和等比数列满足，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）数列和中的所有项分别构成集合，，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前60项和.
【答案】（1），；（2）.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，∴，，∴，.
（2）当的前60项中含有的前6项时，令，
此时至多有项（不符）.当的前60项中含有的前7项时，令，
且，，是和的公共项，则的前60项中含有的前7项且含有的前56项，再减去公共的三项.∴.
20．已知各项为正数的等比数列，前项和为，若成等差数列，，数列满足，，数列的前项和为
（1）求的公比的值；
（2）求的通项公式.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）对正项的等比数列，利用基本量代换，列方程组，解出公比q；
（2）设，由题意分析、计算得 ，从而得到，用累加法和错位相减法求出 .
【详解】（1）∵成等差数列，∴ ，
即，又，
又解得或(舍).
记，当时，
又也符合上式，.而，，
，
两式相减得，.
而也符合上式，故.
21．已知正项等差数列满足，且、、成等比数列，数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由，，成等比数列，得，再由可求出公差为，从而可求出，则，再由可知数列是以为首项，1为公差的等差数列，从而可求出，进而可得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，再利用裂项求和法可求出
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，，成等比数列，所以．
所以，整理得，
将代入得，解得或，
由于是正项等差数列，舍去，即．所以，．因为，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以，即．
（2）因为，，所以，
所以，
故．
所以数列的前n项和．
等差数列
等比数列
递推公式
通项公式
等差（比）中项
等间隔抽项
仍构成等差数列
仍构成等比数列
相邻项和
成等差数列
成等比数列