新高考数学二轮复习高分突破训练第17讲 均值不等式（2份，原卷版+解析版）

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1.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量
①求和的式子→乘积为定值
②乘积的式子→和为定值
（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。
2.常见求最值的题目类型
（1）构造乘积与和为定值的情况
（2）已知（为常数），求的最值，
此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解。
（3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解：
典型例题：
例1．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））已知，（，），若，则的最小值为__________．
【答案】16
【解析】
【分析】
由，列方程化简变形可得，从而，然后利用基本不等式可得答案
【详解】
因为，，，
所以，
因为，，所以，
所以，
当且仅当，即取等号，
所以的最小值为16，
故答案为：16
例2．（2022·江西上饶·一模（文））已知a，b均为正数且满足，则，的最小值为___________.
【答案】8
【解析】
【分析】
巧用值的代换拼凑，展开利用基本不等式即求得最小值.
【详解】
因为，
故，
当且仅当时即时等号成立，故最小值为8.
故答案为：8.
例3．（2022·江苏扬州·高三期末）已知正实数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】
利用基本不等式来求得最小值.
【详解】
由题意可知，＝＝＝＋＝（＋）（x＋y）
＝4＋5＋＋≥9＋2＝，
当且仅当＝，时取等号， 此时，
故的最小值为．
故答案为：
例4．（2022·湖南娄底·高三期末）已知a，b为正实数，且，则的最小值为______．
【答案】6
【解析】
【分析】
利用已知化简可得，根据基本不等式计算即可.
【详解】
由已知条件得，，
当且仅当，即，时取等号．
故答案为：6.
例5．（2022·浙江杭州·高三期末）已知正实数x，y满足，则的最小值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由基本不等式得出，再由得出最值.
【详解】
，当且仅当时，取等号，即
，当且仅当时，取等号.
故的最小值是
故答案为：
例6．（2022·全国·高三专题练习）设，则最小值为________
【答案】4
【解析】
【分析】
将原式进行配凑变形得，结合基本不等式可求出代数式的最小值.
【详解】
原式
，
，则，，，
，，
当且仅当，时，即时等号成立，
又，当时等号成立，所以原式，故最小值为4.
故答案为：4
例7．（2022·全国·高三专题练习）若，，则的最小值为________
【答案】##0.75
【解析】
【分析】
由题意可知，，再根据基本不等式“1”的用法，即可求出结果.
【详解】
因为，，
所以，，
所以．
当且仅当时，取得最小值．
故答案为：.
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，若，则的最小值为________
【答案】##
【解析】
【分析】
对已知条件进行因式分解，转化为一次因式的积，再由均值定理解决即可.
【详解】
，．
，，
令，解得，，．
则，
当且仅当，即，时取等号．
的最小值为．
故答案为：．
例9．（2022·全国·高三专题练习）若正数，满足，则的最小值为________
【答案】
【解析】
【分析】
因为正数，满足，所以，再根据基本不等式中“1”的用法，即可求出结果.
【详解】
正数，满足，．
．
当且仅当，即时取等号，此时结合，
得
，可知的最小值为．
故答案为：．
过关练习：
1．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））若，，，则的最小值等于（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，求得，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
由，且，
所以，
又由，可得，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以最小值等于.
故选：D.
2．（2022·浙江·绍兴一中高三期末）若两圆（）和（）恰有三条公切线，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
分别求出两圆得圆心与半径，再根据两圆恰有三条公切线，可得两圆外切，从而可求得，再根据，利用基本不等式即可得出答案.
【详解】
解：圆化为，
则圆心为，半径，
圆化为，
则圆心为，半径，
因为两圆（）和（）恰有三条公切线，
所以两圆外切，
则圆心距，
所以，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.
故选：C.
3．（2022·河南·模拟预测（文））已知，，，则以下不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据条件结合基本不等式进行求解.
【详解】
由题意，，故选项A错误；
，当且仅当时，等号成立，故选项B正确；
，则，故选项C错误；
，故选项D错误.
故选：B.
4．（2022·贵州贵阳·高三期末（文））当时，函数的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将函数化为，再运用基本不等式求解.
【详解】
，，
，
当且仅当时取等号，故函数的最小值为.
故选：C.
5．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（理））已知实数，满足，若不等式对任意的正实数恒成立，那么实数m的最大值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由根据函数的单调性求，再由基本不等式求的最小值，由此可求实数m的最大值.
【详解】
设，则，
当时，，
所以函数在上为增函数，
∵
∴ ，即，又，
∴ ，
∴
当且仅当时等号成立，
∵不等式对任意的正实数恒成立，
∴ ，
故选：D.
6．（2022·广东·模拟预测）已知，，，则的最小值为（ ）
A．13B．19C．21D．27
【答案】D
【解析】
【分析】
利用基本不等式“1”的妙用求最小值.
【详解】
，当且仅当，即，b＝6时，等号成立，故的最小值为27
故选：D
7．（2022·江西宜春·高三期末（理））在正项等比数列}中，存在两项且 ，使得，且，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知条件结合等比数列通项公式可得，进而有，再应用基本不等式“1”的代换求最值，注意等号成立条件.
【详解】
令公比为，由题设，又，
所以，可得或(舍)，
由，即，可得，
所以，又，则，
，当且仅当时等号成立，
所以，故当时.
故选：C
8．（2022·福建宁德·模拟预测）已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．8C．D．10
【答案】D
【解析】
【分析】
对方程变形，再利用基本不等式进行求解.
【详解】
整理为：，由基本不等式得：，即，解得：或，由于，所以舍去，从而的最小值是10
故选：D
9．（2022·山西太原·高三期末（文））已知为正实数，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
由条件可得，然后利用基本不等式可得答案.
【详解】
因为
所以
当且仅当，即时等号成立
故选：A
10．（2022·广东·金山中学高三期末）已知，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由，得到，结合不等式的基本性质、作差比较、基本不等式和对数的运算法则，逐项判定，即可求解.
【详解】
由，可得，则，
对于A中，由，所以，所以A不正确；
对于B中，由，且，则，所以B不正确；
对于C中，由，且，
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时，所以C不正确；
对于D中，由，因为，可得，
所以，可得，所以D正确.
故选：D.
11．（2022·江西赣州·高三期末（文））已知函数的图像恒过的定点，且点在直线上，则的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【解析】
【分析】
由给定条件求出点A的坐标即可得出，再利用“1”的妙用即可得解.
【详解】
解：函数中，由可得，，即函数的图象恒过定点，
若点在直线上，即有，
于是得，
当且仅当时取“=”，
所以时，的最小值为.
故选：D
12．（2022·浙江上虞·高三期末）已知，满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由，得到，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
由，可得，
因为，可得且，解得，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
13．（2022·江西上饶·一模（理））已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．12C．D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
根据基本不等中“1”的用法，即可求出结果.
【详解】
因为，，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：A.
14．（2022·安徽淮北·一模（文））函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C．8D．9
【答案】D
【解析】
【分析】
由对数性质得出定点，再由基本不等式得出最值.
【详解】
由得，即，故，因为点在直线上，，所以，且.，当且仅当时，等号成立.
故选：D
15．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高三开学考试）已知，，若，则的最小值为（ ）
A．6B．9C．16D．18
【答案】C
【解析】
【分析】
由题可得，然后利用“乘1法”即得.
【详解】
∵，， ，
∴，
∴，即，
∴，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为为16.
故选：C.
16．（2022·安徽宣城·高三期末（文））已知函数，若正实数m，n满足，则的最小值是（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断函数的单调性和奇偶性，将已知条件转化为恒等式，变形为，根据“1”的妙用，利用基本不等式求解即可.
【详解】
∵，
∴函数在上为单调递增函数，
∵，
∴函数为上的奇函数，
∵，
∴，即，
，
当且仅当，即时取得最小值.
故选:.
17．（2022·湖北武昌·高三期末）已知正数x，y满足，则的最小值与最大值的和为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
利用基本不等式进行变形得，然后将进行代换得
，继而解不等式可得答案.
【详解】
因为,
所以 ，即 ，
所以，即，
又因为，
所以，即 ，
解得 ，
故的最小值与最大值的和为5，
故选：B
二、多选题
18．（2022·全国·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
利用不等式的性质及其基本不等即可求解.
【详解】
对于选项,∵，，，∴，解得，同理可知，则不正确，正确；
对于选项,∵，当且仅当时，等号成立，∴，
则正确；
对于选项,∵，当且仅当时，等号成立，
∴，则正确．
故选：.
19．（2022·江苏南通·一模）下列函数中最小值为6的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项.
【详解】
解：对于A选项，当时，，此时，故A不正确.
对于B选项，，当且仅当，即时取“”，故B正确.
对于C选项，，当且仅当，即时取“”，故C正确.
对于D选项，，
当且仅当，即无解，故D不正确.
故选：BC.
20．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知正数a，b满足，下列说法正确的有（ ）
A．ab的最大值为1
B．的最小值为
C．的最大值为
D．的最小值为2
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据基本不等式结合选项一一判断即可．
【详解】
解：对于A：由正数a，b满足，得，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B：，所以的最大值为，
当且仅当时取等号，故B错误；
对于C：，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D：，当且仅当取等号，当时第二个等号成立，故两个等号不能同时成立，故，故D错误．
故选：AC．
21．（2022·重庆市天星桥中学一模）已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值是4
B．的最小值是2
C．的最小值是
D．的最小值是
【答案】AC
【解析】
【分析】
对于A：利用“乘1法”转化后，利用基本不等式求得最小值，进而判定；
对于B：先利用基本不等式求得的取值范围，根据此范围利用基本不等式求最小值时注意基本不等式取等号的条件不能成立，进而判定；
对于C：利用基本不等式和指数幂的运算性质得到最小值，进而判定；
对于D：利用对数的运算法则、对数函数的单调性和B中求得的的取值范围，得到所求式子的最大值为-2，进而判定.
【详解】
对于A：，当且仅当时等号成立，
故A正确；
对于B：，当且仅当时等号成立，
∵,∴，当且仅当时取等号.
但,故等号取不到，∴，故B错误；
对于C：，当且仅当时等号成立，
故C正确；
对于D：，当且仅当时等号成立，故D错误．
故选：AC．
22．（2022·江苏·金陵中学高三阶段练习）已知，，且，则（ ）
A．xy的取值范围是B．的取值范围是
C．的最小值是3D．的最小值是
【答案】BD
【解析】
【分析】
利用基本不等式判断选项A，利用基本不等式判断选项B，利用拼凑法和基本不等式的应用判断选项C、D.
【详解】
因为，，所以，所以，
解得，即，则A错误.
因为，，所以，所以，
即，解得，则B正确.
因为，所以，
则，
当且仅当即时等号成立.因为.所以，则C错误.
，
当且仅当即时等号成立，则D正确.
故选：BD
三、填空题
23．（2022·山东·青岛二中高三开学考试）已知，且，则的最小值是______．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据均值不等式求最小值即可.
【详解】
由题意，得，
则
（当且仅当时取等号，即时取等号），
故的最小值是6．
故答案为：6
24．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知，为正数，满足，则的最小值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】
由已知得，再利用基本不等式以及一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】
因为，为正数，满足，
则可化简为，
当且仅当即，时取等号，
此时，解得或（舍），
由，得，当，时取等号，
故的最小值为.
故答案为：.
25．（2022·重庆长寿·高三期末）已知，则的最小值为______．
【答案】9
【解析】
【分析】
根据对数的运算性质可得x＋2y＝xy，利用基本不等式计算即可得出结果.
【详解】
因为，
所以x＋2y＝xy，x＞0，y＞0，所以，
则，
当且仅当且，即x＝y＝3时取等号．
故答案为：9
26．（2022·江西九江·一模（文））若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则ab的最大值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】
由题得，再利用基本不等式求解.
【详解】
解：依题意得，所以，
即，，当且仅当时，等号成立，
故的最大值为1.
故答案为：1
27．（2022·江苏·苏州中学高三开学考试）已知，直线与曲线相切，则的最小值是________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意设直线与曲线的切点为，进而根据导数的几何意义得，再根据基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】
解：根据题意，设直线与曲线的切点为，
因为，直线的斜率为，
所以，，
所以，
因为
所以，当且仅当时等号成立.
所以的最小值是.
故答案为：
28．（2022·浙江·高三开学考试）已知正实数a，b，c，，则的最小值为_______________．
【答案】##
【解析】
【分析】
利用变形为，再将变形为
，利用基本不等式整理为，进而再用基本不等式求得答案.
【详解】
由正实数a，b，，可得 ，
所以

而，当且仅当 即 时取等号，
故
，
当且仅当 时，即 时取等号，
故答案为：
29．（2022·重庆·模拟预测）已知，则的最小值为__________.
【答案】3
【解析】
【分析】
将原式变形为，然后利用基本不等式求最小值.
【详解】
解：，当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：3.
30．（2022·河南南乐·高三阶段练习（理））已知，，直线与曲线相切，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
设直线与曲线的切点为，求得，，将切点坐标代入切线方程可得出，将所求代数式变形为，将该代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得结果.
【详解】
设直线与曲线的切点为，
对求导得，所以，即，
所以，所以切点为，
由切点在切线上，可得，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立．
所以的最小值是．
故答案为：．