新高考数学二轮复习高分突破训练第21讲 数列求和（2份，原卷版+解析版）

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1.等差数列求和公式：

2.等比数列求和公式：
3.错位相减法：
特点：等差等比
对“错位相减法”的深层理解：通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用？通过解题过程我们可以发现：等比的部分使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比时实现了“错位”的效果。而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致（其系数即为等差部分的公差），从而可圈在一起进行等比数列求和。体会到“错位”与“相减”所需要的条件，则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和
4.裂项相消：
特点：的表达式能够拆成形如的形式（），从而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消。(5）分类求和：如果通项公式是前几种可求和形式的和与差，那么在求和时可将通项公式的项分成这几部分分别求和后，再将结果进行相加。
例：
可知通项公式为，那么在求和的过程中可拆成3部分：分别求和后再相加


5.分组求和
（1）利用周期性求和：如果一个数列的项按某个周期循环往复，则在求和时可将一个周期内的项归为一组求和，再统计前项和中含多少个周期即可
（2）通项公式为分段函数（或含有 ，多为奇偶分段。若每段的通项公式均可求和，则可以考虑奇数项一组，偶数项一组分别求和，但要注意两点：一是序数的间隔（等差等比求和时会影响公差公比），二是要对项数的奇偶进行分类讨论（可见典型例题）；若每段的通项公式无法直接求和，则可以考虑相邻项相加看是否存在规律，便于求和
6.倒序相加：若数列中的第项与倒数第项的和具备规律，在求和时可以考虑两项为一组求和，如果想避免项数的奇偶讨论，可以采取倒序相加的特点，
典型例题：
例1．（2022·山东菏泽·高三期末）已知数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，设其公差为，求的前项和.
例2．（2022·河南濮阳·高三开学考试（文））已知在单调递增的等差数列中，，为方程的两个实根．
(1)求的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
例3．（2022·贵州贵阳·高三期末（文））设是首项为1的等比数列，数列满足，已知成等差数列.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和.
例4．（2022·福建福州·高三期末）设数列是首项为1的等差数列，若是，的等比中项，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项的和.
例5．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知数列的前n项和为，且组成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，且数列的前n项和为，求证：．
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知公差不为零的等差数列中，，又成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设 ，求数列的前项和．
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
例8．（2022·江西九江·一模（文））已知数列的前n项和为，且满足，数列的前n项和为.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求.
过关练习：
一、单选题
1．（2022·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（文））已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·四川·威远中学校高三阶段练习（文））已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=n2，记数列的前n项和为Tn，n∈N*.则T20的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习（理）（文））定义为n个正数u1，u2，u3，…，un的“快乐数”.若已知正项数列{an}的前n项的“快乐数”为，则数列的前2 022项和为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
4．（2022·黑龙江·哈九中高三开学考试（文））数列中，，且，记数列的前n项和为，则______.
5．（2022·全国·模拟预测）已知数列、，，，其前项和分别为，，记最接近的整数为，则______．
6．（2022·吉林·长春十一高高三阶段练习（理））数列已知数列满足：，（）.正项数列满足：对于每个，，且，，成等比数列，则的前n项和为_____．
7．（2022·全国·高三专题练习（理））数列的通项公式为，前项和为，则＝________.
8．（2022·浙江·模拟预测）数列的通项公式为，其中表示不超过x的最大整数，则的前32项和为__________．
9．（2022·福建福州·高三期末）函数称为高斯函数，表示不超过，x的最大整数，如，.已知数列满足，且，若，则数列的2022项和为___________.
三、解答题
10．（2022·四川·模拟预测（理））给出以下条件：①成等比数列；②成等比数列；③.从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答.已知递增等差数列的前n项和为，且，______________.
(1)求数列的通项公式；
(2)若是以2为首项，2为公比的等比数列，求数列的前n项的和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
11．（2022·四川成都·高三阶段练习（理））已知数列的通项公式为
(1)求数列的前项和；
(2)设，求数列的前项和．
12．（2022·四川·眉山市彭山区第一中学模拟预测（文））已知数列满足，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)令，求数列的前n项和．
13．（2022·全国·模拟预测）已知为等差数列，为等比数列，的前项和，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
14．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知等差数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式以及前n项和；
(2)若，求数列的前2n－1项和.
15．（2022·安徽省宣城中学高三开学考试（文））设首项为2的数列的前项积为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
16．（2022·湖北·高三开学考试）已知在数列中，.
(1)求数列的前项和；
(2)设，求数列的项的和.
17．（2022·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（理））已知公差不为0的等差数列中，，，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
18．（2022·湖北武汉·高三阶段练习）已知数列的前项和为，且对任意的有.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和.
19．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知数列是等差数列，，数列是等比数列，，公比，且，.
(1)求，的通项公式；
(2)设，，求证：.
20．（2022·广东中山·高三期末）已知数列满足，且数列是等差数列.
(1)求数列的通项公式：
(2)设数列的前项和为，若且，求集合A中所有元素的和.
21．（2022·吉林·长春十一高高三阶段练习（理））已知正项数列满足，，，成等比数列，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求及数列的通项公式；
(3)若，求数列的前n项和
22．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列{an}和{bn}，a1＝2，，，
(1)证明：是等比数列；
(2)若，求数列的前n项和Sn.
23．（2022·江西上饶·高三阶段练习（理））已知等比数列的前n项和为（b为常数）．
(1)求b的值和数列的通项公式；
(2)记为在区间中的项的个数，求数列的前n项和．
24．（2022·广东高州·二模）已知数列的前n项和为，且．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)求数列的前n项和．
25．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））已知数列的首项，数列是等差数列，且，．
(1)求的通项公式．
(2)设数列的前n项和为，证明：．
26．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））已知数列的前项和为，，给出以下三个命题：
①；②是等差数列；③
(1)从三个命题中选取两个作为条件，另外一个作为结论，并进行证明；
(2)利用（1）中的条件，证明数列的前项和.
27．（2022·山东潍坊·高三期末）已知公差不为0的等差数列，，．记，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.7]=0，[1.9]=1．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前101项和．
28．（2022·山西运城·高三期末（理））已知数列的前项和，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
29．（2022·陕西武功·二模（文））已知等差数列的前n项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
30．（2022·浙江·模拟预测）已知数列的首项为正数，其前项和满足．
(1)求实数的值，使得是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．