新高考数学三轮复习考前冲刺练习11 解三角形大题综合（2份，原卷版+解析版）

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1．（2023·山东青岛·统考模拟预测）如图，在中，，在边上.
(1)若，求的长；
(2)若，求DC长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）应用余弦定理解三角形即可；
（2）先应用两角和的正弦值，再应用正弦定理求解即得.
【详解】（1）在中，由余弦定理·
，
在中，由余弦定理
·
（2）由（1）知，
，，
，·
，
在由正弦定理得
解得·
2．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知在中，其角、、所对边分别为、、，且满足．
(1)若，求的外接圆半径；
(2)若，且，求的内切圆半径
【答案】(1)1
(2)1
【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式和辅助角公式化简已知式，可得，即可求出，再由正弦定理的定义可求得的外接圆半径；
（2）由余弦定理和三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，所以，
因为，所以，
所以，所以外接圆半径．
所以.
（2）因为，由题可知，所以，
又因为，可得，
因为．
由的面积，得．
3．（2023·江苏·统考一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)若，求的值；
(2)在下列条件中选择一个，判断是否存在，如果存在，求的最小值；如果不存在，说明理由.
①的面积；
②；
③.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）在中用正弦定理将边转化为角化简，再根据同角的平方关系，结合角的范围即可得出结果；
（2）选①，根据面积公式结合题中等式可建立关于的等式，根据等式求出的最小值以及最小值时的边和角即可判断是否存在；选②，将带入题中等式可建立关于的等式，进而求得的最小值以及最小值时的边和角即可判断是否存在；选③，根据可知为直角三角形且，互余，结合正弦定理代入题中等式进行化简可得，显然不成立，可得结果.
【详解】（1）解：因为，在中由正弦定理可得，
代入可得：，
又，所以或，
又因为，所以，故；
（2）选①，因为，所以，
所以，因为，
所以，
所以
，
因为，所以，
所以，所以当，
即时，，，
此时，，，所以存在.
选②，因为，，所以.
所以，
因为，所以，
所以当，即时，，，
此时，，，所以存在.
选③，因为C为直角，所以A，B互余，且，
由，在中由正弦定理代入可得：
，
化简可知，等式矛盾，故这样的不存在.
4．（2023·吉林长春·统考三模）从下列条件中选择一个条件补充到题目中：
①，其中为的面积，②，③．
在中，角，，对应边分别为，，，_______________．
(1)求角；
(2)若为边的中点，，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①，利用余弦定理可得，再结合面积公式，可得，进而求解；
选②，由结合正弦定理可得，再结合余弦定理可得，进而求解；
选③，由结合正弦定理可得，进而得到，进而求解.
（2）在中，设，由正弦定理可得，，进而得到，进而求解.
【详解】（1）选①，由余弦定理得：，
又，所以，
得，
因为，所以．
选②，因为，由正弦定理得：，
整理得：，
由余弦定理得：，
因为，所以．
选③，因为，由正弦定理得：，
即，
又因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，即．
（2）在中，设，
由正弦定理得，
所以，，
∴，其中，
当时取等号，所以的最大值是．
5．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模）已知在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，．
(1)若BC边上的高等于，求；
(2)若，求AB边上的中线CD长度的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求得（用表示），然后利用余弦定理求得.
（2）先求得，利用向量法求以及基本不等式求得长度的最小值.
【详解】（1）过作，垂足为，则，
，
，
在三角形中，由余弦定理得.
（2），
，两边平方得
，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
6．（2023·浙江·校联考二模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)证明：；
(2)若△ABC的面积为，求B．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由三角形内角性质，应用三角恒等变换化简已知条件即可证结论；
（2）根据三角形面积公式、正弦边角关系有，再由三角形内角性质和三角恒等变换及（1）结论得，进而求B．
【详解】（1）由，△ABC的内角A，B，C，
则，
，，
，
，
，
.
（2）由题意，结合正弦边角关系有，且，
，
，而，
所以.
7．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）在中，角的对边分别为，已知，且.
(1)求的外接圆半径；
(2)求内切圆半径的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及余弦定理求得，由求；
（2）由正弦定理求的范围，再用求得后即可求的取值范围.
【详解】（1）由正弦定理，，可得
再由余弦定理，，又，所以.
因为，所以.
（2）由（1）可知：，则.
则.
在中，由正弦定理，
，所以，
则
，
又，所以，
所以，
，所以.
8．（2023·广东湛江·统考二模）在中，角，，的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若，且，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由得出，结合，即可得出答案；
（2）由得出，由余弦定理得出，再由及得出，结合三角形面积公式，即可得出面积的范围．
【详解】（1）因为，
所以．
由余弦定理得．
因为，
所以．
（2）由及正弦定理，得，
所以，
由余弦定理得，，
所以
当且仅当时，等号成立，
因为，
所以，则，
所以，
因为的面积为，
所以面积的取值范围是．
9．（2023·广东·统考模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，．点D为BC边的中点，已知，，．
(1)求b；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理，边角互化后，再结合余弦定理，即可求解；
（2）由条件可知，，再结合向量数量积公式，求，再根据三角形面积公式，即可求解.
【详解】（1）因为,
由正弦定理得，
由余弦定理得，
所以，
又因为，所以；
（2）因为，
所以，即，
因为，
所以，
化简得，解得：或（舍去），
因为，
所以,
所以.
10．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若________．
在以下两个条件中任选一个补充在横线上：①；②，并解答下列问题．
(1)求角A；
(2)若，求面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）若选①利用正弦定理和余弦定理即可求解；若选②利用正弦定理将边化角即可求解；
（2）结合（1）结论，利用余弦定理和基本不等式得到，再利用三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）若选①：因为，
所以由正弦定理得，
即，
又由余弦定理得，所以，
又因为，所以．
选②：由得，
则由正弦定理得，
因为A，，所以，所以，
所以．
（2）由（1）可知，则由余弦定理得
，当且仅当时取等号，
又，所以，
所以，
所以面积的最大值为．
11．（2023·江苏盐城·盐城中学一模）已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，且.
(1)若角，求角；
(2)若，求的最大值
【答案】(1)
(2)最大值为
【分析】（1）运用两角和差的正余弦公式进行化简即可；
（2）根据（1）中结论运用正弦定理得到，然后把表示为的函数，再利用降次公式化简，结合内角取值范围及求解.
【详解】（1）由题意知.
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，因为，所以，
由角，所以.
（2）由（1）知，所以，，
因为，所以，
由正弦定理得：，所以，
因为，所以，
所以，
因为为锐角三角形，且，则有，得，所以，
由二次函数的性质可得，当时，取得最大值，
所以的最大值为.
12．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知条件：①；②；③.在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在中，角，，所对的边分别是，，，满足：______.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
(1)求角的大小；
(2)若为锐角三角形，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)选择条件①时利用三角恒等变换公式化简即可求解，选择条件②时利用三角恒等变换公式化简即可求解，选择条件③时利用正弦定理和三角恒等变换公式化简即可求解；
(2)根据正弦定理可得，，从而，再根据，即可得到，利用三角函数的性质即可求取值范围.
【详解】（1）选择条件①：
，
所以，于是，又，所以.
选择条件②：
因为，
解得，又，所以.
选择条件③：
则，
由正弦定理得：，
即，
整理得：，
由得：，又，所以.
（2）由（1）知，，为锐角三角形，所以，
由正弦定理，得，，
于是，
化简得，，
因为,所以，所以，
，
故的取值范围为.
13．（2023·重庆九龙坡·统考二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角A；
(2)若，的面积为，求边BC的中线AD的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）应用正弦定理结合,可得可得角；
（2）根据余弦定理及的面积，求得，再根据向量关系平方应用数量积公式求解即可.
【详解】（1）因为,所以,
可得,
又由两角和差正弦公式可得,
,，
所以,
.
（2）因为,所以,
因为余弦定理得,又已知,
可得,即得.
因为BC的中线AD,可得,
.
14．（2023·重庆·统考二模）在中，角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角；
(2)若的面积为1，求的周长的最小值.
【答案】(1)
(2)（或写成）
【分析】（1）利用正弦定理边角互化，结合三角函数恒等变形，化简求，即可求解；
（2）首先由面积公式得，再结合余弦定理和基本不等式，即可求解周长的最小值.
【详解】（1）因为，
所以，
即,
由正弦定理得，
，
，即，且，
所以，，
则；
（2）由题知，，则，
，
当时，等号成立，
，
，即，
所以当（或写成），时，
周长的最小值是（或写成）
15．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）已知的内角的对边分别为，面积为 ，满足．
(1)证明：；
(2)是否存在正整数m，n，使得和同时成立．若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，，
【分析】（1）由三角形的面积公式，化简得到，求得，结合正弦定理，即可求解；
（2）假设存在正整数，使得和同时成立，结合正弦、余弦定理，化简得到，鸡儿得到，结合为均为正整数，求得的值，即可求解.
【详解】（1）解：由，即，
因为，可得，所以，
即，即，
又因为，所以，
又由正弦定理，可得．
（2）解：假设存在正整数，使得和同时成立．
所以，即，
化简整理可得，
因为，，所以，即
又因为均为正整数，所以，．
故存在，使得和同时成立
16．（2023·河北张家口·统考一模）在中，．
(1)求；
(2)如图，为平面上外一点，且，，若，求四边形ABDC面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，利用二倍角公式得到求解；
（2）在中，利用余弦定理得到，易得为等边三角形，再由表示，然后由四边形的面积求解.
【详解】（1）解：由，
得，
化简得，
所以，故．
又，所以．
（2）在中，
．
由（1）知．又，所以为等边三角形，
所以的面积
．
又的面积，
故四边形的面积，
，
，
当时，四边形的面积最大，最大值为．
17．（2023·福建·统考模拟预测）在中，内角的对边分别为，，，．
(1)证明：；
(2)若，当A取最大值时，求的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意结合三角恒等变换整理得，再利用正、余弦定理边化角分析运算；
（2）利用余弦定理结合基本不等式可得A取最大值时，，，进而可求三角形的面积.
【详解】（1）∵，则，
可得，
∴，
又∵，则，
由正弦定理可得：，
由余弦定理可得：，整理得.
（2）由（1）可得：，即，
则，
当且仅当，即时，取最大值，
此时，则，
∵，则，可得，
故．
18．（2023·福建·统考模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求C；
(2)若，D为的外接圆上的点，，求四边形ABCD面积的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式化简，即可得出，进而根据角的范围得出答案；
（2）解法一：由已知可推出，然后根据正弦定理可求出，进而求出，.设，，表示出四边形的面积，根据基本不等式即可得出答案；解法二：根据投影向量，推出，然后同解法一求得.设，表示出四边形的面积，根据的范围，即可得出答案；解法三：同解法一求得，设点C到BD的距离为h，表示出四边形的面积，即可推出答案；解法四：建系，由已知写出点的坐标，结合已知推得BD是的直径，然后表示出四边形的面积，即可推出答案.
【详解】（1）因为，
在中，由正弦定理得，.
又因为，
所以，
展开得，
即，
因为，故，即.
又因为，所以.
（2）解法一：
如图1
设的外接圆的圆心为O，半径为R，
因为，所以，
即，所以，
故BD是的直径，所以.
在中，，，所以.
在中，.
设四边形ABCD的面积为S，，，则，
，
当且仅当时，等号成立.
所以四边形ABCD面积最大值为.
解法二：
如图1
设的外接圆的圆心为O，半径为R，在上的投影向量为，
所以.
又，所以，
所以在上的投影向量为，
所以.
故BD是的直径，所以.
在中，，，所以，
在中，.
设四边形ABCD的面积为S，，，
则，，
所以，
当时，S最大，所以四边形ABCD面积最大值为.
解法三：
如图1
设的外接圆的圆心为O，半径为R，
因为，所以，即，
所以.
故BD是的直径，所以.
在中，，，所以.
在中，.
设四边形ABCD的面积为S，点C到BD的距离为h，
则，
当时，S最大，所以四边形ABCD面积最大值为.
解法四：
设的外接圆的圆心为O，半径为R，
在中，，，
故外接圆的半径.
即，所以.
如图2，以外接圆的圆心为原点，OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，
则，.
因为C，D为单位圆上的点，设，，
其中，.
所以，，
代入，即，可得，
即.
由可知，
所以解得或，即或.
当时，A，D重合，舍去；当时，BD是的直径.
设四边形ABCD的面积为S，
则，
由知，所以当时，即C的坐标为时，S最大，
所以四边形ABCD面积最大值为.
19．（2023·山东菏泽·统考二模）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知的外接圆半径，且.
(1)求B和b的值；
(2)求AC边上高的最大值.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）把给定的等式切化弦，再逆用和角的正弦求出B，利用正弦定理求出b作答.
（2）利用余弦定理、均值不等式求出的最大值，借助面积三角形求出AC边上高的最大值作答.
【详解】（1）由，得，即，
因此，在中，，即，
而，即，于是，又，解得，
因为的外接圆半径，由正弦定理得，
所以，.
（2）由（1）知，，，由余弦定理，得，
于是，当且仅当时取等号，令的边上的高为，
则由，得
所以AC边上高的最大值是.
20．（2023·江苏·校联考模拟预测）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
在中，内角，，所对应的边分别为，，，且满足________．
(1)求；
(2)若，，为边上的一点，且，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①：由条件和正弦定理得，根据得出，根据二倍角公式得出，进而得出，再结合的范围即可求出；选②：由二倍角公式及同角三角函数的平方关系得出，解出，再结合的范围即可求出；
（2）首先在中，由余弦定理求出和，在中，由正弦定理得出，由得出代入，结合二倍角公式即可得出答案．
【详解】（1）选择①：
在中，由正弦定理，得．
因为，
所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为，
所以，
所以，所以．
选择②：
因为，
所以，
所以，
所以，即，
解得或（舍去），
因为，所以．
（2）在中，由余弦定理，
得，解得，
，
在中，由正弦定理得：，
得，
因为，
所以，
所．